非线性规划在电力系统中的应用(新)
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非线性规划在电力系统中的应用(新)
概要
非线性规划问题介绍 非线性规划问题分类 在电力系统中应用——最优潮流 经典算法分析对比 结语
非线性规划
定义 如果目标函数或约束条件中至少有一 个是非线性函数时的最优化问题就叫做非线性
规划问题．
一般形局式部:最优和m 全局fin X 最优解：
局部最优解：一部分可行域上的极值点
全局s.t.最 h g优ijX X 解 ：0 0整个ij可 1 1行,2,,域2 ..上lm .,.,的.;.极, 值点
其中 Xx 1 ,x2, ,xnT E n， f , gi,hj 是定义在En 上的
实值函数。
有约束问题 m in f ( x) x
无约束问题 min f (x) x R n
二次规划
定义 二次规划(QP)是指目标函数为决策变量
x的二次函数，而约束是线性函数的非线性规划
。
minf(x)1xTHxcTx
一般模型为：
2
s.t
A A
1x 2x
=
b1 b2
二次规划问题是最早被研究的一类非线性规划，也是最简单 的一类非线性规划约束优化问题。
非线性规划的求解方法
非线性规划
一维优化方法
黄金分割法 切线法 插值法 斐波那契法
无约束优化方法
约束最优化方法
解析法
梯度法
牛顿法 共轭梯度法 变尺度法
直接法
坐标轮换法 模式搜索法 旋转方向法 单纯形加速法
拉格朗日乘子法 制约函数法 可行方向法 近似型算法
1.无约束条件的非线性规划问题
对于函数关系比较简单的非线性规划问题，可按极值存在 的必要条件和充分条件，按微分法求解，对函数关系比 较复杂的问题，常作搜索法。
直接法：爬山法、一维搜索法(0.618法)、座标轮换法 解析法：梯度法、牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法
2.等式约束条件的非线性规划问题
Min(FX)
h i(X ) 0 , i 1 ,2 , ,m
约束方程数目m <变量数n，形成优化问题。 约束方程m =变量数n，有解的话也为唯一解，无优化问题。 约束方程m >变量数n，除唯一解外无解。
只有等式约束的非线性规划问题通常可用消元法、拉格朗日乘 子法或罚函数法，将其化为无约束问题求解。
3.不等式约束条件的非线性规划问题
Min(FX)
拉格朗日乘 子法
引入松驰变量的 方法使不等式变 为等式，用求等 式约束非线性最 优化的方法来解 。
S.t
gi (X)0, hj (X)0,
i1,2,,l j 1,2,,m
X(x1,x2,,xn)T En
库恩－塔克条 件
非线性规划领域 中的重要理论成 果之一，是确定 极值点的必要条
罚函数法
内点法 外点法
应用——最优潮流
最优潮流(Optimal Power Flow, OPF)就是当系统的结构 参数及负荷情况给定时,，通过对某些控制变量的优选， 所能找到的在满足所有指定约束条件，并使系统的某一 个或多个性能指标达到最电优力时系的统潮网流损分最小布。
多种目标函数
发电费用最小
无功补偿经济效益最大
可进行有功优化、无功优化及有功无功混合优化计算
数学模型
电力系统最优潮流的数学模型可以表示为：
min f (u, x)
u
s .t .
g (u,
x)
0
h(u, x) 0
f ( u, x ) ——目标函数，通常为发电成本或网损；
g (u , x ) ——等式约束集，通常为以节点注入功率表示的潮流方程；
h(u,x)0 ——不等式约束集，通常为运行的约束条件。
经典方法
梯度类算法 牛顿法 内点法
1968年由Dommel和Tinney提出
，是能够成功地求解较大规模的最优潮流
问题并被广泛采用的第一个算法。
Sun D.I. 等人于1984年提出，
得到了国内外学者高度评价，成为上世纪
九十年代发展最优潮流程序时优先予以选
用的算法之一。
1984年，AT&T贝尔实验室数学
家Karmaikar提出了内点法。现已广泛应
用于电力系统最优潮流问题研究。
简化梯度法
基本原理——目标函数的梯度方向是它最陡的上升方
向，其负梯度方向便是目标函数最陡的下降方向。如果将 负梯度方向取作d 搜(k 索) 方 向 ，f( 即x ( ：k ))k 0 ,1 ,2 , 则目标函数可以得到最快的下降速度。 最优潮流计算的简化梯度算法是以极坐标形式的牛顿潮 流算法作为基础的。
(1)仅有等式约束条件时的算法
对于仅有等式约束的最优潮流计算，可以表示为
min f (u, x) u
s.t. g(u, x) 0
应用经典的拉格朗日乘子法，引入和等式约束
g(u,x)＝0 中方程式数同样多的拉格朗日乘子 ,则
构成拉格朗日函数为
L (u ,x )f(u ,x )T g (u ,x )
式中： 为由拉格朗日乘子所构成的向量
这样便把原来的有约束最优化问题变成了一个无约束最优 化问题。
采用经典的函数求极值的方法，即将L分别对变量x、u及
求导并令其等于零，从而得到求极值的一组必要条件为
Lx fxgxT 0
①
Luuf guT 0
②
L g(u,x)0
③
最优潮流的解必须同时满足这三组方程。
迭代求解算法的基本要点如下： (1)令迭代记数k=0
(2)假定一组控制变量u(0)；
(3)由于③式就是潮流方程，所以通过潮流计算就可以由
已知的u 求得相应的x(k)
(4)再观察式①， g 就是牛顿法潮流计算的雅可比矩阵J，
x
利用求解潮流时已经求得的潮流解点的J及其LU三角因子矩阵，
可以方便地求出
g x
T
1
f x
(5)将已经求得的u、x及 代入式② ，则有
L u u f g uT g xT1 fx0
(6)若 L 0 ，则说明这组解就是待求的最优解，计算结束。 否则 ，u 转入下一步；
(7)若 L 0 ，为此必须按照能使目标函数下降的方向对u进 行修 正u u(k 1 )u(k) u(k)
概要
非线性规划问题介绍 非线性规划问题分类 在电力系统中应用——最优潮流 经典算法分析对比 结语
非线性规划
定义 如果目标函数或约束条件中至少有一 个是非线性函数时的最优化问题就叫做非线性
规划问题．
一般形局式部:最优和m 全局fin X 最优解：
局部最优解：一部分可行域上的极值点
全局s.t.最 h g优ijX X 解 ：0 0整个ij可 1 1行,2,,域2 ..上lm .,.,的.;.极, 值点
其中 Xx 1 ,x2, ,xnT E n， f , gi,hj 是定义在En 上的
实值函数。
有约束问题 m in f ( x) x
无约束问题 min f (x) x R n
二次规划
定义 二次规划(QP)是指目标函数为决策变量
x的二次函数，而约束是线性函数的非线性规划
。
minf(x)1xTHxcTx
一般模型为：
2
s.t
A A
1x 2x
=
b1 b2
二次规划问题是最早被研究的一类非线性规划，也是最简单 的一类非线性规划约束优化问题。
非线性规划的求解方法
非线性规划
一维优化方法
黄金分割法 切线法 插值法 斐波那契法
无约束优化方法
约束最优化方法
解析法
梯度法
牛顿法 共轭梯度法 变尺度法
直接法
坐标轮换法 模式搜索法 旋转方向法 单纯形加速法
拉格朗日乘子法 制约函数法 可行方向法 近似型算法
1.无约束条件的非线性规划问题
对于函数关系比较简单的非线性规划问题，可按极值存在 的必要条件和充分条件，按微分法求解，对函数关系比 较复杂的问题，常作搜索法。
直接法：爬山法、一维搜索法(0.618法)、座标轮换法 解析法：梯度法、牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法
2.等式约束条件的非线性规划问题
Min(FX)
h i(X ) 0 , i 1 ,2 , ,m
约束方程数目m <变量数n，形成优化问题。 约束方程m =变量数n，有解的话也为唯一解，无优化问题。 约束方程m >变量数n，除唯一解外无解。
只有等式约束的非线性规划问题通常可用消元法、拉格朗日乘 子法或罚函数法，将其化为无约束问题求解。
3.不等式约束条件的非线性规划问题
Min(FX)
拉格朗日乘 子法
引入松驰变量的 方法使不等式变 为等式，用求等 式约束非线性最 优化的方法来解 。
S.t
gi (X)0, hj (X)0,
i1,2,,l j 1,2,,m
X(x1,x2,,xn)T En
库恩－塔克条 件
非线性规划领域 中的重要理论成 果之一，是确定 极值点的必要条
罚函数法
内点法 外点法
应用——最优潮流
最优潮流(Optimal Power Flow, OPF)就是当系统的结构 参数及负荷情况给定时,，通过对某些控制变量的优选， 所能找到的在满足所有指定约束条件，并使系统的某一 个或多个性能指标达到最电优力时系的统潮网流损分最小布。
多种目标函数
发电费用最小
无功补偿经济效益最大
可进行有功优化、无功优化及有功无功混合优化计算
数学模型
电力系统最优潮流的数学模型可以表示为：
min f (u, x)
u
s .t .
g (u,
x)
0
h(u, x) 0
f ( u, x ) ——目标函数，通常为发电成本或网损；
g (u , x ) ——等式约束集，通常为以节点注入功率表示的潮流方程；
h(u,x)0 ——不等式约束集，通常为运行的约束条件。
经典方法
梯度类算法 牛顿法 内点法
1968年由Dommel和Tinney提出
，是能够成功地求解较大规模的最优潮流
问题并被广泛采用的第一个算法。
Sun D.I. 等人于1984年提出，
得到了国内外学者高度评价，成为上世纪
九十年代发展最优潮流程序时优先予以选
用的算法之一。
1984年，AT&T贝尔实验室数学
家Karmaikar提出了内点法。现已广泛应
用于电力系统最优潮流问题研究。
简化梯度法
基本原理——目标函数的梯度方向是它最陡的上升方
向，其负梯度方向便是目标函数最陡的下降方向。如果将 负梯度方向取作d 搜(k 索) 方 向 ，f( 即x ( ：k ))k 0 ,1 ,2 , 则目标函数可以得到最快的下降速度。 最优潮流计算的简化梯度算法是以极坐标形式的牛顿潮 流算法作为基础的。
(1)仅有等式约束条件时的算法
对于仅有等式约束的最优潮流计算，可以表示为
min f (u, x) u
s.t. g(u, x) 0
应用经典的拉格朗日乘子法，引入和等式约束
g(u,x)＝0 中方程式数同样多的拉格朗日乘子 ,则
构成拉格朗日函数为
L (u ,x )f(u ,x )T g (u ,x )
式中： 为由拉格朗日乘子所构成的向量
这样便把原来的有约束最优化问题变成了一个无约束最优 化问题。
采用经典的函数求极值的方法，即将L分别对变量x、u及
求导并令其等于零，从而得到求极值的一组必要条件为
Lx fxgxT 0
①
Luuf guT 0
②
L g(u,x)0
③
最优潮流的解必须同时满足这三组方程。
迭代求解算法的基本要点如下： (1)令迭代记数k=0
(2)假定一组控制变量u(0)；
(3)由于③式就是潮流方程，所以通过潮流计算就可以由
已知的u 求得相应的x(k)
(4)再观察式①， g 就是牛顿法潮流计算的雅可比矩阵J，
x
利用求解潮流时已经求得的潮流解点的J及其LU三角因子矩阵，
可以方便地求出
g x
T
1
f x
(5)将已经求得的u、x及 代入式② ，则有
L u u f g uT g xT1 fx0
(6)若 L 0 ，则说明这组解就是待求的最优解，计算结束。 否则 ，u 转入下一步；
(7)若 L 0 ，为此必须按照能使目标函数下降的方向对u进 行修 正u u(k 1 )u(k) u(k)