第三章 模糊控制

3.2模糊数学的有关知识
3.2.1模糊集合及其运算
3.2.1.1模糊集合的定义及表示方法
模糊集合理论可以看成为集合论的推广、发 展。
先看一下集合论的基本概念—特征函数 CA(x)
域中特的征元函素数，CXA
(x)
到
的定义：给定论域 X 0,1 的一个映射为CA
，x 是论
(x) ，它
确定了论域中的一个集合 A（也可称为子集）。
第三章 模糊控制
3.1 概述 由人作为控制器的控制系统是典型的智
能控制系统，因为其中包含了人的高级智能 活动。模糊控制就是模仿人的控制，它不需 要被控对象的数学模型（但需要有人控制这 被控对象的操作经验和知识）。因此它是一 种智能控制方法。
例如，一个操作员通过观察仪表的显示 对某工业过程进行控制。仪表反映这过程 的输出量。当操作员通过仪表观察到输出 量发生变化时，他根据他平时积累的知识 和操作经验，做出决策，并采取相应的控 制动作。这是一个从过程变化到控制行动 之间的映射关系。这个映射是通过操作员 的决策来实现的。这个决策过程并不是通 过精确的定量计算，而是依据操作员定性 或模糊的知识。
里“大苹果”就是一个模糊的概念。如果将“大 苹果”看成是一个集合的话，那么“大苹果”就 是一个模糊集合用表示。
如果我们认为差不多比2两重的苹果称之为 “大苹果”，那么2.5两的苹果肯定属于大苹果， 如果对此加以量化，则可设其归属的程度为1。
然科学和社会科学的各个领域，并取得引人注目的成果。 笼统地说，模糊集合是一种特别定义的集合，它可用来描 述模糊现象。有关模糊集合，模糊逻辑等的数学理论，称 之为模糊数学。
模糊性也是一种不确定性，但是不同于随机性。所以
模糊理论不同于概率论。模糊性通常指对概念的定义以及 语言意义的理解上的不确定性。例如，“老年人”、“温 度高”、“数量大”等所含的不确定性即为模糊性。可见， 模糊性主要是人为的主观理解上的不确定性，而随机性是 反映事件发生的偶然性。偶然性与模糊性在本质上是不同 的。如果要把偶然性也理解为不确定性（因为它偶然）。 那么当事件发生后，随机性事物的不确定就会变成了确定 性的事物。但模糊性无论事件发生的前后都是不确定的。 例如在掷骰子之前不知道（不确定）它是几点？但一旦掷 后那么几点就是几点，这是确定了的。而对“老年人”、 “气温高”这些不确定性，是一直存在的。
1974年英国的E.H.Mamdani首先将模糊集合理论应用 于加热器的控制。此后，模糊控制应用于暖水工厂的控制， 热交换过程的控制，污水处理过程控制以及交通路口控制 等。在模糊控制应用方面，日本走在前列。日本在国内建 立了专门的模糊控制研究所。日本仙台的一条地铁的控制 系统采用了模糊控制的方法取得了很好的效果。日本还率 先将模糊控制应用到日用家电产品的控制中，如照相机、 吸尘器、洗衣机等。
隶属度函数 的定义：给定论域 ， 是论域
中的元素， 到A(x) 的一个映射为 ，X 它x确定了
论域中一个X模糊集0,1合 （用~号区分A普(x)通集合和模
糊集合）。
A ，而 的值可以是0
到1之间的某一A(x个) :值X ，这0,个1 值表示A(x) 这个元素归
属模糊集合 的程度。
x
下面举例A说明：到苹果园去摘“大苹果”。这
模糊集合是一种特别定义的集合，它与普通集合既有 联系但也有分别。对于普通集合而言，任何一个元素要么 属于该集合，要么不属于。非此即彼，界限分明，决无模 棱两可。而于模糊集合来说，一个元素可以属这个集合也 可认为不属于这个集合。例如对“老年人”这个集合来说， 51岁的人算不算这个集合的人？习惯来说过50岁已入土半 截了。但现在50岁的人，往往还年富力强。这种集合就是 模糊的了。如果某种场合希望多一些老年人，那么把51岁 的人也可算成“老年人”。这里可以看到模糊性是人们在 社会交往和生产实践中经常使用的。它提供了定性与定量、 主观与客观、模糊与清晰之间的一个人为的折中。
CA(x) : X 0,1。
而
CA
(
wk.baidu.com
x)
1 0
(x A) (x A)
—表示属于。
CA(x) 是集合 A 的特征函数，它表示 x 与 A 的
归属关系。
CA (只x) 有两个值1，0。也即这个 要x 么属于 ，
要么A不属于 。把集A合论的特征函数的概念推广
到Fu模nc糊tio集n）合。中用来一，个形（成~隶）属下度标函来数表（示M模em糊b集Ae(xr合)sh。ip
例如，若要控制的是水箱中的水温。检测仪
表得到的是一个精确量，譬如是80℃。操作员将 这80 ℃精确量转化到他脑中的概念量。是高还是
低？比如说转化得到的概念量是“温度偏高”。他 使用这概念与头脑中已有的经验和模式去匹配，得 到“温度偏高应加入较多的冷却水”的推断。进而 操作员需将“加入较多冷却水”这个模糊概念给出 定量解释，譬如这时应加入冷却水的流量是10， 然后操作员按此定量值控制执行装置完成此动作。 从而完成了整个控制过程的一个循环。由上述可见， 人在控制时是采用了一种模糊的控制方法。在控 制时人不是按精确计算出来的结果去控制（要精确 计算，时间也来不及），而是根据他的经验去施 加控制的。
模糊控制就是模仿人这样的控制。把人的操作经验和 知识整理出来形成规则。然后构成一个模糊控制器去实现 这些规则。简单的说，就是设计一个模糊控制器来代替这 位操作员去完成控制任务。
既然是模糊控制，那就与模糊有关。我们先来介绍模 糊的概念以及由它引伸出的模糊集合和模糊数学的概念。
什么叫模糊。那就是没有明确的边沿（或者说界限）。 我们在上面控制水箱的水位时提到“温度偏高”中的“偏 高”以及“加入较多冷却水”中的“较多”等，这些都是 一些模糊的概念。而人们利用这些概念，最终却能实现稳 定地控制水箱温度。
如何来描述这些模糊的概念，并对它们进行分析、推 理，这正是模糊集合与模糊数学所要解决的问题。这要归 功于L.A.查德（Zandeh），他在1965年提出了模糊集合的 概念。由此开创了模糊数学及其应用的新纪元。首次解决 了一个定性的事物可用定量的数学形式来描述。
由于模糊集合理论的产生和发展，使得它能渗入到自