线性代数第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

元素都为零.
1 0 1 0
0
1
1
0ຫໍສະໝຸດ Baidu
0 0 0 1
0
0
00
c3 c4
c4 c1 c2 c5 4c1 3c2 3c3
4
3
3
B5
0
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
F
0 0 1 0 0
0
0
0
0
0
行最简形矩阵： 4. 非零行的第一个非零元为1; 5. 这些非零元所在的列的其它
元素都为零.
a31
a32
a33
a34
a21 a22 a23 a24
标准形矩阵： 6. 左上角是一个单位矩阵，其
它元素全为零.
F
Er O
O
O
mn
三者之间的包含关系
标准形矩阵由m、n、r三个参 数完全确定，其中 r 就是行阶 梯形矩阵中非零行的行数.
行阶梯形矩阵
行最简形矩阵
标准形矩阵
结论
任何矩阵 有限次初等行变换
行阶梯形矩阵
有限次初等变换
行最简形矩阵
有限次初等行变换
r
行等价，记作 A ~ B
有限次初等行变换
A
B
有限次初等列变换
c
列等价，记作 A ~ B
矩阵 A 与矩阵 B 等价，记作 A ~ B
有限次初等变换
A
B
矩阵之间的等价关系具有下列性质：
反身性 A ~；A 对称性 若 A ~，B则 B；~ A 传递性 若 A ~ B,，B则~ C ． A ~ C
1 1 2 1 4
A34
a21
a22
a23
a24
a31 a32 a33 a34
1 0 0
E3
(
2,
3)
0
0
1
0 1 0
1 0 0 a11 a12 a13 a14
E3
(2,
3)
A34
0
0
1
a21
a22
a23
a24
0 1 0 a31 a32 a33 a34
a11 a12 a13 a14
x4 4, ① x4 0, ② x4 3, ③ 0 0. ④
1 1
0
1
0 0
0
0
2 1 1 1
01 00
4
0
3
B4
0
x1
x2 2x3 x2 x3
x4 4, ① x4 0, ② x4 3, ③ 0 0. ④
1 1 2 1
0
1
1
1
0 0 0 1
0
0
00
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
知识点回顾：克拉默法则
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
设
a21
x1
a22 x2
a2n xn b2
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
结论 1 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该 线性方程组一定有解,而且解是唯一的.（P. 24定理4）
0 0 0 0 1
(3)以 k 乘单位阵第 j 行加到第 i 行, 记作 Em(ij(k))．
1
0
E5
0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0
0
0
1
r3 r5 k
0
0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0
0
两种理解！
k
记作
E5(35(k))
0 0 0 1 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 1
r3 k
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
0
0
k
0
0
记作
E5(3(5))
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
E5
0
0
1
0
0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
c3 k
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
0 0 k 0 0
0
0
0
1
0
0
0
1 0
1 0
1 1
0
3
B4
0
0
00
0
r1 r2
r2 r3
1 0 1 0 4
0
0
1 0
1 0
0 1
3
3
B5
0
0
00
0
行阶梯形矩阵： 1. 可画出一条阶梯线，线的下
方全为零； 2. 每个台阶只有一行； 3. 阶梯线的竖线后面是非零行
的第一个非零元素.
行最简形矩阵： 4. 非零行的第一个非零元为1; 5. 这些非零元所在的列的其它
x1 x2 2x3 x4 4, ①
x2 x3 x4 0, ② 2x4 6, ③
x4 3. ④
③④
④－2×③
x1 x2 2 x3 x4 4, ①
x2 x3 x4 0, ② x4 3, ③
0 0. ④
x1 x2 2 x3 x4 4, ①
x2 x3 x4 0, ② x4 3, ③
1 2
0 6
B3
0
0
0
1
3
x1 x2 2x3 x4 4, ① 1 1 2 1 4
x2 x3 x4 0, ② 2x4 6, ③ x4 3. ④
0
0
0
1 0 0
1 0 0
1 2 1
0 6
B3
3
r3 r4
③④
④－2×③
r4 2r3
x1
x2 2x3 x2 x3
0 0 0 0 1
以 k 乘单位阵第 i 列加到第 j 列．
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
? E5
0
0
1
0
0 c53 c53 k 0
0
1
0
k0
0 0 0 1 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0k 0 1
a11 a12 a13 a14
2 x1 2 x1
3
x2 x2
x3 x3
x4 2, ② x4 2, ③
3x1 6x2 9x3 7 x4 9. ④
2
2
3
1 3
6
1 1
9
1 1
7
2
2
B1
9
x1 x2 2x3
2 x1 2 x1
3
x2 x2
x3 x3
x4 4, ① x4 2, ② x4 2, ③
一、矩阵的初等变换
引例：求解线性方程组
2x1 x2 x3 x4 2, ①
4
x1 x1
6
x2 x2
2 x3 2 x3
2
x4 x4
4, 4,
② ③
3x1 6x2 9x3 7 x4 9. ④
2x1 x2 x3 x4 2, ①
4
x1 x1
6
x2 x2
2 x3 2 x3
结论 1′如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的 系数行列式必为零. （P.24定理4'）
用克拉默法则解线性方程组的两个条件： (1) 方程个数等于未知量个数； (2) 系数行列式不等于零.
线性方程组的 解受哪些因素 的影响？
§1 矩阵的初等变换
一、初等变换的概念 二、矩阵之间的等价关系 三、初等变换与矩阵乘法的关系 四、初等变换的应用
3x1 6x2 9x3 7 x4 9. ④
②－③
③－2×① ④－3×①
x1 x2 2x3 x4 4, ①
2x2 2x3 2x4 0, ② 5x2 5x3 3x4 6, ③
3x2 3x3 4x4 3. ④
1 1 2 1 4
2
2
1 3
1 1
1 1
2 2
2x1 x2 x3 x4 2, ① 2 1 1 1 2
4
x1 x1
6
x2 x2
2 x3 2 x3
2
x4 x4
4, 4,
② ③
3x1 6x2 9x3 7 x4 9. ④
1
4
3
1 6
6
2 2
9
1 2
7
4 4
B
9
①②
③÷2
r1 r2 r3 2
x1 x2 2x3 x4 4, ① 1 1 2 1 4
有限次初等列变换 标准形矩阵
三、初等变换与矩阵乘法的关系
定义：由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等矩阵. (1)对调单位阵的两行（列）； (2)以常数 k≠0 乘单位阵的某一 行（列）； (3)以 k 乘单位阵单位阵的某一 行（列）加到另一 行（列） ．
r1 r2
r2 r3
4
0
3
B4
0
1 0 1 0 4
0
0
1 0
1 0
0 1
3
3
B5
0
0
00
0
1 0 1 0 4
0
0
1 0
1 0
0 1
3
3
B5
0
0
00
0
B5 对应方程组为
x1 x2
x3 x3
4, 3,
x4 3.
x1 c 4 1 4
令 x3
= c ，则
X
x2
c
3
x3
c
c
1 1
3 0
.
x4 3 0 3
备注
• 带有运算符的矩阵运算，用“ = ”．例如：
矩阵加法
＋
数乘矩阵、矩阵乘法
×
矩阵的转置
T（上标）
方阵的行列式
|∙|
• 不带运算符的矩阵运算，用“～”．例如： 初等行变换 初等列变换
二、矩阵之间的等价关系
✓对调两行，记作 ri rj ； ✓以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作 ri k ； ✓某一行加上另一行的 k 倍，记作 ri krj .
其逆变换是：
ri rj ri k ri krj
ri rj ; ri k; ri krj .
初等变换
初等行变换 初等列变换
把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定 义． 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．
2x1 x2 x3 x4 2,
x1 4 x1
6
x2 x2
2 2
x3 x3
2
x4 x4
4, 4,
3x1 6x2 9x3 7 x4 9.
增广矩 阵
2 1 1 1 2
1
1 2
1
4
B
4 6 2 2 4
3 6 9 7 9
结论： 对原线性方程组施行的变换可以 转化为对增广矩阵的变换.
B1
3
6 9
7
9
r2 r3
r3 2r1 r4 3r1
1 1 2 1 4
0
0
2 5
2 5
2 3
0 6
B2
0
3 3
4
3
x1 x2 2x3 x4 4, ①
2x2 2x3 2x4 0, ② 5x2 5x3 3x4 6, ③
3x2 3x3 4x4 3. ④
0
1
0
0
0
E5
0
0
1
0
0
c3 c5
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
0 0 0 0 1
0
0
0
1
0
0 0 1 0 0
(2)以常数 k≠0 乘单位阵第 i 行（列）， 记作 Em(i(k))．
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
E5
0
0
1
0
0
0 0 0 1 0
(1) 对调单位阵的第 i, j 行（列）， 记作 Em( i, j )．
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
E5
0
0
1
0
0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
r3 r5
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
记作 E5(3, 5)
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
1 0 0 0 0
2 2
x1 x1
3
x2 x2
x3 x3
x4 2, x4 2,
② ③
3x1 6x2 9x3 7 x4 9. ④
②－③
③－2×① ④－3×①
x1 x2 2x3 x4 4, ①
2x2 2x3 2x4 0, ② 5x2 5x3 3x4 6, ③
3x2 3x3 4x4 3. ④
x1 x2 2x3 x4 4, ①
2x2 2x3 2x4 0, ② 5x2 5x3 3x4 6, ③
3x2 3x3 4x4 3. ④
② ÷2
③＋5×② ④－3×②
x1 x2 2x3 x4 4, ①
x2 x3 x4 0, ② 2x4 6, ③
x4 3. ④
0 0. ④
取 x3 为自由变量，则
x1 x2
x3 x3
4, 3,
x4 3.
x1 c 4 1 4
令 x3
= c ，则
X
x2
c
3
x3
c
c
1 1
3 0
.
x4 3 0 3
恒等式
三种变换：
✓交换方程的次序，记作 i j ；
✓以非零常数 k 乘某个方程，记作 i ×k ；
✓一个方程加上另一个方程的 k 倍，记作 i ＋k j .
其逆变换是：
ij
i ×k i +k j
ij
i ÷k i －k j
结论： 1. 由于对原线性方程组施行的变
换是可逆变换，因此变换前后 的方程组同解. 2. 在上述变换过程中，实际上只 对方程组的系数和常数进行运 算，未知数并未参与运算．
定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：
② ÷2
③＋5×② ④－3×②
x1
x2 2x3 x4 4, ① x2 x3 x4 0, ②
2x4 6, ③ x4 3. ④
1 1 2 1 4
0
0
2 5
2 5
2 3
0
6
B2
0
3 3
4
3
r2 2
r3 5r2 r4 3r2
1 1 2 1 4
0
0
1 0
1 0
2
x4 x4
4, 4,
② ③
3x1 6x2 9x3 7 x4 9. ④
①②
③÷2
x1 x2 2x3
2 2
x1 x1
3
x2 x2
x3 x3
x4 4, ① x4 2, ② x4 2, ③
3x1 6x2 9x3 7 x4 9. ④
x1 x2 2x3 x4 4, ①