大学物理课件：9_2 简谐振动的合成

应用：阻尼装置用于减振或仪器指针调节。
③ 0 时，阻尼较大（过阻尼）。
无振动发生、非周期运动
x
欠阻尼
临界阻尼
过阻尼
o
t
二、受迫振动
1、 受迫振动的定义：
系统在周期性外力持续作用下所发生的振动。
策动力： F F0 cos t
阻尼力: v
m
kx
F
弹性力: kx
x
f
2、 受迫振动的运动微分方程：
4）2 1 3 / 2
x2 y2 轨迹： A12 A22 1
x A1 cos(t 1 )
y A2 cos(t 1 / 2)
3 2
y 比x 位相滞后 / 2，椭圆轨道运动的方向时逆时针，
即左旋的。
四、两个相互垂直的不同频率简谐振动的合成
x A1 cos(1t 1) y A2 cos(2t 2 )
arctg A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2
❖ 合成结果仍为简谐运动 ❖ 合振动与分振动在同一方向，且有相同频率。
讨论
A
A12 A22 2 A1 A2 cos(2 1 )
A
1）2 1 2k
k 0,1,2,
A2
A A1 A2 同相， 合振幅最大
拍 2 1 振幅变化的频率
❖ 用音叉振动校准乐器 拍现象的应用： ❖ 测定超声波
❖ 测定无线电频率 ❖ 调制高频振荡的振幅和频率等
三、两个相互垂直的同频率谐振动的合成：
Baidu Nhomakorabeax A1 cos(t 1 ) y A2 cos(t 2 )
消去参数 t ，得轨迹方程。
x2 A12
y2 A2 2
2 xy A1 A2
x2 (t ) A2 cos(2t 2 )
(2 1 )t (2 1 )
设两振动的振幅相同，初相相同。
x1(t ) Acos(1t ) x2 (t ) Acos(2t )
合振动的运动方程为：
x(t ) Acos(1t ) Acos(2t )
2Acos (2 1 )t cos[(2 1 )t ]
cos ( 2
1 )
sin2 (2
1 )
椭圆方程，形状决定于分振动的振幅和相位差。
1) 2 1 0 两个分振动同相。
轨迹： y A2 x A1
运动方程：r A12 A22 cos(t 1 )
合运动时简谐振动，角频率与初相不变。
2）2 1 ，两个分振动反相。 轨迹： y －A2 x A1
一般情况下，合振动轨道不是封闭曲线，但当频率有简单 的整数比关系时，形成稳定的封闭曲线，称为李萨如图形。
§9.3 阻尼振动、受迫振动和共振
一、阻尼振动
振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动。
1、阻尼的分类 a、摩擦阻尼：机械能转化为内能。
b、辐射阻尼：能量辐射出去，形成波（音叉、乐器等）。
2、阻尼振动的动力学方程： 实验表明当速度不太大时：
2
2
2Acos（2 2 1 t)cos(2 2 1 t )
2
2
❖ 两振动的相位差随时间变化。
❖一般情况下，合振动不再是简谐振动。
讨论:
两频率都较大， 而频率差很小的情况。--- 拍现象
2Acos（2 2 1 t) cos(2 2 1 t )
2
2
振幅
周期振动
单位时间内合振动振幅强弱变化的次数叫拍频。
Acos(t ) 简谐振动，稳定解。
经一段时间受迫振动变为以策动力的频率为振动频率 的简谐振动。
其振幅和相位为：
A
h
(02 2 )2 4 2 2
初相位为：
2
arctg
2 0
2
三、共振：
1、位移共振：
当策动力的角频率为某一定值时, 受迫振动的振幅达到最
大值的现象称为位移共振。
由A
h
(02 2 )2 4 2 2
x(t ) Ae t cos(t ) x
式中： 02 2
欠阻尼特点：
o
A0et cos( t ) A0e t
t
❖ 振幅随时间 t 作指数衰减。 ❖ 阻尼振动周期比系统的固有周期长。
② 0 时，为临界阻尼。
临界阻尼：物体不能往复运动的临界情况。 从周期运动变为非周期振动 。
A1
2） 2 1 (2k 1)
k 0,1,2,
A2
A A1 A2 反相， 合振幅最小
A
A1
3） 一般情况（相位差任意）
2 1 k
A2
A
A1 A2 A A1 A2
A1
相位差在同频率简谐振动合成中起决定性作用
二、两个同方向不同频率谐振动的合成
x1(t ) A1 cos(1t 1 ) (2t 2 ) (1t 1 )
大学物理学
第九章 机械振动和机械波
9.2 简谐振动的合成
一、同方向同频率谐振动的合成
A2
A
x1 A1 cos(t 1 )
x2 A2 cos(t 2 )
2
A1
合振动的运动方程：
o
1
x2
x1 x
x
x x1 x2 Acos(t )
A A12 A22 2A1 A2cos(2 1 )
k
x
m F m
o fr p x
粘滞阻力：
fr
v
dx dt
为阻力系数。
动力学方程：
m
d2 x dt 2
kx
dx dt
令02
k m
2m
d2 x dt 2
2
dx dt
02 x
0
固有角频率：0 k m由系统本身的性质决定。 阻尼因子： 2m由阻力系数决定。
3、 阻尼振动的动力学方程的解：
① 0 时，阻尼较小（欠阻尼）， 此方程的解：
令dA 0
d
r 02 2 2 共振的角频率
Ar 2
h
02 2
共振的振幅
位移共振时，振幅最大， 系统形变最大。
0
较小 较大
m
d2 x dt 2
kx
v
F0
cos
t
m
d2 x dt2
kx
dx dt
F0 cos t
令02
k ;
m
；h
2m
F0 m
d2 x dt2
2
dx dt
2 0
x
h cos
t
在阻尼较小的情况下，微分方程的解为：
x(t ) A0et cos( 02 2 t ) Acos( t )
A0et cos( 02 2 t ) 阻尼振动, 随时间的推移而消失
运动方程： s A12 A22 cos(t 1 )
合运动时简谐振动，角频率与初相不变。
3）2 1 / 2
轨迹：
x2 y2 A12 A22 1
x A1 cos(t 1)
y A2 cos( t 1 / 2)
2
y 比x 位相超前 / 2， 椭圆轨道运动的方向时顺时
针， 即右旋的。