随机事件的独立性
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第3讲随机事件的独立性伯努利概型
教学目的：使学生掌握随机事件独立性的概念和伯努利概型。
教学重点：随机事件独立性的概念和伯努利概型中有关概率的计算。
教学难点：学生对随机事件独立性概念的理解
教学时数：2学时
教学过程：
第一章随机事件及其概率
§1.5 随机事件的独立性
对于任意两个事件A、B，若0
(B
A
|
P有定义，此时可能有两种情
P，则)
(>
B
)
况)
(A
|
)
P
P=。前者说明事件B的发生对事件A发生的概率有
(
A
B
(
P≠和)
)
(A
|
A
B
P
影响，只有当)
P
A
P=时才认为这种影响不存在，这时自然认为事件A不依赖B
(
)
|
(A
于事件B，即A、B是彼此独立的。这时有
A
B
P
A
AB
=
P=
P
P
B
P
(
(
)
(B
)
)
(
)
)
(
|
由此引出关于事件独立性的问题。
定义1对任意两个随机事件A与B，若
A
P
P=
P
AB
)
(
(B
)
)
(
则称事件A与B是相互独立的（简称为独立的）。
由定义1不难证明下面的定理。
定理1若事件A与B相互独立，则下列各对事件
A 与
B ， A 与B ， A 与B
也相互独立。
证 这里只证明事件A 与B 相互独立，其它类似。因为
B A AB A +=
从而
)()()(B A P AB P A P +=
由此得
)
()()](1)[()
()()()
()()(B P A P B P A P B P A P A P AB P A P B A p =-=-=-=
所以事件A 与B 相互独立。
例1 设事件A 、B 相互独立，3.0)(,4.0)(==B P A P ，求)(B A P ⋃。
解 )()()()(B A P B P A P B A P -+=⋃
))(1))((1()()()()()(A P B P A P B P A P B P A P --+=-+=
82.06.07.04.0=⨯+=
对于三个或更多个事件，我们给出下面的定义。
定义2 设有n 个事件n A A A ,,,21 （3≥n ），若对其中任意两个事件i A 与)1(n j i A j ≤<≤有
)()()(j i j i A P A P A A P =
则称这n 个事件是两两相互独立的。
定义3 设有n 个事件n A A A ,,,21 （3≥n ），若对其中任意k 个事件)2(,,,21n k A A A k i i i ≤≤ 有
)()()()(2121k k i i i i i i A P A P A P A A A P =
则称这n 个事件是相互独立的。
由上述定义可知，若n 个事件n A A A ,,,21 相互独立，则n 个事件一定是两两相互独立；反之，却不一定成立。
例如，从四张分别写有三位数字{001}，{010}，{100}，{111}的卡片中任取一张，设事件i A 表示“取出的卡片上第i 位数字是0”)3,2,1(=i ，则易知
2
1)(=
i A P ， 3,2,1=i 41)(=j i A A P ， 31≤<≤j i 于是有
)()()(j i j i A P A P A A P =， 31≤<≤j i
由此可见，事件321,,A A A 两两独立。但是，这三个事件却不是相互独立的，因为
)()()(0)(321321A P A P A P A A A P ≠=
由定义3可以得到相互独立事件的概率乘法公式。
定理2 设n 个事件n A A A ,,,21 相互独立，则有
)()()()(2121n n A P A P A P A A A P =
例2 设有甲、乙、丙三人打靶，每人各独立射击一次，击中率分别为0.8，0.6，0.5，求靶子被击中的概率。
解 设A 表示“甲射击击中靶子”，B 表示“乙射击击中靶子”，C 表示“丙射击击中靶子”，则所求概率为
)(1)(C B A P C B A P P ⋃⋃-=⋃⋃=
)()()(1)(1C P B P A P C B A P -=⋃⋃-=
96.05.04.02.01=⨯⨯-=
例3 系统可靠性问题。一个元件能正常工作的概率称为这个元件的可靠性，一个系统能正常工作的概率称为这个系统的可靠性。设一个系统由四个元件按图示方式组成，各个元件能否正常工作是相互独立的，且每个元件的可靠性都等于)10(<
L R
解 设事件i A 表示“第i 个元件能正常工作”)4,3,2,1(=i ，事件A 表示“系统L —R 能正常工作”，则有
))((4321A A A A A ⋃⋃=
注意到
)()(4321A A A A A ⋃⋃⋃=
)()(4321A A A A ⋃=
则有
)]()[()(4321A A A A P A P ⋃=
)()()(43214321A A A A P A A P A A P -+=
)()()()()()()()(43214321A P A P A P A P A P A P A P A P -+=
42)1()1(2p p ---=
于是得
42)1()1(21)(p p A P -+--=
2222)2(])1(1[p p p -=--=
§1.6 伯努利概型