积分第一中值定理及其推广证明

积分第一中值定理:

如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，()g x 在(,)a b 上不变号，并且()g x 在闭区间[,]a b 上是可积的，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得

成立。

证明如下：

由于()g x 在闭区间[,]a b 上不变号，我们不妨假设()0g x ≥，并且记()f x 在闭区间[,]a b 上的最大值和最小值为M 和m ，即()m f x M ≤≤，我们将不等式两边同乘以()g x 可以推出，此时对于任意的[,]x a b ∈都会有

成立。对上式在闭区间[,]a b 上进行积分，可以得到

()()()()b b b

a a a m g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰⎰。 此时在,m M 之间必存在数值μ，使得m M μ≤≤，即有

成立。

由于()f x 在区间[,]a b 上是连续的，则在[,]a b 上必定存在一点ξ，使()f ξμ=成立。此时即可得到

()()()()b b

a a f x g x dx f g x dx ξ=⎰

⎰， 命题得证。 2.2积分第一中值定理的推广

定理：（推广的第一积分中值定理）若函数()f x 是闭区间[,]a b 上为可积函数，()g x 在[,]a b 上可积且不变号，那么在开区间(,)a b 上至少存在一点ξ，使得

成立。

推广的第一积分中值定理很重要，在这里给出两种证明方法。

证法1：由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上是可积的，()g x 在[,]a b 上可积且不变号，令()()()x a F x f t g t dt =⎰，()()x

a G x g t dt =⎰，很显然(),()F x G x 在[,]a

b 上连续。并且()0,()()()b a F a F b f t g t dt ==⎰，()0,()()b

a G a G

b g t dt ==⎰，()()()F f g ξξξ'=，()()G g ξξ'= 。由柯西中值定理即可得到

()()(),(,)()()()

F b F a F a b

G b G a G ξξξ'-=∈'-， 化简，即

()()()()()()b a b a f t g t dt f g g g t dt ξξξ=⎰

⎰

， 根据上式我们很容易得出 ()()()(),(,)b b

a a f t g t dt f g t dt a

b ξξ=∈⎰

⎰， 命题得证。 证法2：由于函数()g x 在[,]a b 上可积且不变号，我们不妨假设()0g x ≥。而函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，我们令{}inf ()|[,]m f x x a b =∈，{}sup ()|[,]M f x x a b =∈。假设()F x 是()f x 在闭区间[,]a b 上的一个原函数，即()(),[,]F x f x x a b '=∈。我们就可以得到下面等式 此时由于()0g x ≥，则会有()0b

a g x dx ≥⎰，由于存在两种可能性，那么下面我们就要分两种情况以下我们分两种情形来进行讨论：

(1).如果()0b a g x dx =⎰()()0b a f x g x dx =⎰，那么对于(,)a b ξ∀∈

都有

恒成立。

(2).如果()0b a g x dx >⎰()b a g x dx ⎰可得

我们记

此时我们又分两种情形继续进行讨论： （Ⅰ()()()b a b

a f x g x dx

m M g x dx <<⎰⎰成立，则此时一定就存在m M μ<<，可以使得

12(),()m f x f x M μμ<≤<≤，

我们不妨假设12x x <，这其中12,[,]x x a b ∈。因为()()F x f x '=，[,]x a b ∈，则会有

1122()()()()F x f x f x F x μ''=<<=。

此时至少存在一点12(,)x x ξ∈，使得()()F f ξξμ'==，即有

成立，从而结论成立。

（ⅡM μ=，因为()0b

a g x dx >⎰，此时一定存在区间11[,](,)a

b a b ∈（其中11a b <），使得11[,]x a b ∀∈，恒有()0g x >

()()()b b

a a g x dx f x g x dx μ⋅=⎰⎰， 因为M μ=，则有

而且我们已知[()]()0M f x g x -≥，则

110[()]()[()]0x b

y a M f x g x dx M f x dx ≤-≤-=⎰⎰。 于是

11[,](,)a b a b ξ∈⊂，使得()f M ξμ==。

如果不存在一个11[,](,)a b a b ξ∈⊂，使得()f M ξμ==，则在闭区间11[,]x y 上必定有()0M f x ->及()0g x >成立，从而使得[()]()0M f x g x ->。

如果11

[()]()0b a M f x g x dx -=⎰，由达布定理在11[,]a b 上有[()]()0M f x g x -，这与[()]()0M f x g x ->矛盾。

如果 11[()]()0b a M f x g x dx ->⎰[,]a b ξ∈，使()()()(),(,)b b

a a f x g x dx f g x dx a

b ξξ=∈⎰⎰，定理证毕。