向量法求空间角
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四边形 是正方形，
， 分别为 ， 的中点，
平面 ， 平面 ， 平面 .
平面 平面 平面
故平面 与平面 所成锐二面角与二面角 相等.
平面 平面
平面 是二面角 的平面角.
平面 与平面 所成锐二面角的大小为 （或 ）.
考点：1、直线与平面平行的判定；2、平面与平面所成的角.
（1）求证: 平面 ;
（2）求证:平面 平面 ;
（3）求平面 与平面 所成锐二面角的大小.
4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥 中, 底面 ,且底面 为正方形, 分别为 的中点．
（1）求证: 平面 ;
（2）求平面 和平面 的夹角.
5．如图，在直三棱柱 中，平面 侧面 且 .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若直线AC与平面 所成的角为 ,求锐二面角 的大小.
试题解析：（1）取AD中点M，连接MO，PM，依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，则∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角（2分）
∵PO⊥面ABCD，
∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．
∴tan∠PAO＝
设AB＝a，AO＝ a，
∴PO＝AO·tan∠POA＝ a，
tan∠PMO＝ ＝ ．
∴∠PMO＝60°．（4分）
（2）根据AB 平面ACD，DE||AB，则DE 平面ACD，又AF?平面ACD，根据线面垂直的性质可知 ，满足线面垂直的判定定理，证得AF 平面CDE，又BP||AF，则BP 平面CDE，BP 平面BCE，根据面面垂直的判定定理可证得结论；
（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系F﹣xyz．设AC=2，根据线面垂直求出平面BCE的法向量n，而m=（0，0，1）为平面ACD的法向量，设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，根据 可求出所求．
试题解析：解（1）证明：如图，
取 的中点 ，连接 ，因 ，则
由平面 侧面 ，且平面 侧面 ，
得 ，又 平面 ， 所以 .
因为三棱柱 是直三棱柱，则 ，所以 .
又 ，从而 侧面 ，又 侧面 ，故 . -------6分
解法一：连接 ，由（1）可知 ，则 是 在 内的射影
∴ 即为直线 与 所成的角，则 在等腰直角 中， ，且点 是 中点，∴ ，且 ，
设平面 的一个法向量 ，由 ， 得：
令 ，得 ，则
设直线 与 所成的角为 ，则
得 ，解得 ，即
又设平面 的一个法向量为 ，同理可得 ，设锐二面角 的大小为 ，则
，且 ，得
∴锐二面角 的大小为 .
考点：1.用空间向量求平面间的夹角；2.空间中直线与直线之间的位置关系．
6．（1）证明见解析；（2）
【解析】
试题解析：（1）解:取CE中点P,连结FP、BP,
∵F为CD的中点,∴FP||DE,且FP=
又AB||DE,且AB= ∴AB||FPபைடு நூலகம்且AB=FP,
∴ABPF为平行四边形,∴AF||BP
又∵ 平面BCE,BP 平面BCE,
∴AF||平面BCE
（2）∵△ACD为正三角形,∴ .
∵AB 平面ACD,DE||AB,
∴平面PMN⊥平面PBC．（10分）
又PM＝PN，∠PMN＝60°，∴△PMN为正三角形．
∴MG⊥PN．又平面PMN∩平面PBC＝PN，∴MG⊥平面PBC．（12分）
F是AD的4等分点，靠近A点的位置 （13分）
考点：立体几何的综合问题
3．（1）见解析；（2）见解析；（3） .
【解析】
试题分析：（1）取CE中点P，连接FP、BP，根据中位线定理可知FP||DE，且且FP= ，而AB||DE，且AB= 则ABPF为平行四边形，则AF||BP，AF 平面BCE，BP?平面BCE，满足线面平行的判定定理，从而证得结论；
6．如图，四边形 是正方形， 平面 ， ， ， ， ， 分别为 ， ， 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的大小.
参考答案
1．（1）详见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）根据题中所给图形的特征，不难想到建立空间直角坐标，由已知， ， ， 两两垂直，可以 为原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系．表示出图中各点的坐标：设 ，则 ， ， ， ，则可表示出 ， ， ，根据数量积为零与垂直的充要条件进行证明，由 ， ，故 ， ，即可证明；（2）首先求出两个平面的法向量，其中由于 平面 ，所以可取平面 的一个法向量为 ；设平面 的一个法向量为 ，则 ， ，故 即 取 ，则 ，故 ，转化为两个法向量的夹角，设 与 的夹角为 ，则 ．即可求出平面 与平面 所成的锐二面角的大小.
（2）连接AE，OE，∵OE∥PD，
∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．（6分）
∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．
又OE 平面PBD，∴AO⊥OE．
∵OE＝ PD＝ ＝ a，
∴tan∠AEO＝ ＝ ．（8分）
（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG．
∵BC⊥MN，BC⊥PN，∴BC⊥平面PMN
向量法求空间角
1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形 为正方形，四边形 是直角梯形， ， 平面 ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的大小．
2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为 ．
（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；
（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；
（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．
3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知 平面 , ,△ 是正三角形, ,且 是 的中点.
在 中，
即平面BCE与平面ACD所成锐二 面角为 .
考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．
4．证明见解析
【解析】
试题分析：：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2）证明线面平行，需证线线平行，只需要证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.
试题解析：（1）如图，以 为原点,以 为方向向量
建立空间直角坐标系
则 .
.
设平面 的法向量为
即 令
则 .
又 平面 平面
（2） 底面 是正方形, 又 平面
又 , 平面
向量 是平面 的一个法向量, 又由（1）知平面 的法向量 .
二面角 的平面角为 .
考点：（1）证明直线与平面平行；（2）利用空间向量解决二面角问题.
∴DE 平面ACD,又AF 平面ACD,
∴DE AF.又AF CD,CD∩DE=D,
∴AF 平面CDE
又BP||AF,∴BP 平面CDE.又∵BP 平面BCE,
∴平面BCE⊥平面CDE
（3）法一、由（2）,以F为坐标原点,
FA,FD,FP所在的直线分别为x,y,z轴（如图）,
建立空间直角坐标系F—xyz.设AC=2,
∴
过点A作 于点 ，连 ，由（1）知 ，则 ，且
∴ 即为二面角 的一个平面角且直角 中： ，又 ， ∴ ，
且二面角 为锐二面角∴ ，即二面角 的大小为 ----12分
解法二（向量法）：由（1）知 且 ，所以以点 为原点，以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系 ，如图所示，且设 ，则 ， ， ， ， ， ， ，
试题解析：（1）证明： , 分别为 ， 的中点，
.
又 平面 ， 平面 ，
平面 .
（2）解: 平面 ， ， 平面
平面 ， .
四边形 是正方形， .
以 为原点,分别以直线 为 轴, 轴, 轴
建立如图所示的空间直角坐标系，设
,
， ， ， ， ， ,
, .
， ， 分别为 ， ， 的中点，
， ， , ,
（解法一）设 为平面 的一个法向量，则 ,
试题分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2）证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.
试题解析：（1）由已知， ， ， 两两垂直，可以 为原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系．
设 ，则 ， ， ， ，
故 ， ， ，
因为 ， ，故 ， ，
即 ， ， 又
所以， 平面 ．
（2）因为 平面 ，所以可取平面 的一个法向量
为 ，
点 的坐标为 ，则 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ， ，
则C（0,—1,0）,
设 为平面BCE的法向量，
，令n=1,则
显然, 为平面ACD的法向量.
设面BCE与面ACD所成锐二面角为
则 .
即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为
法二、延长EB、DA,设EB、DA交于一点O,连结CO.
则面 面 .
由AB是 的中位线,则 .
在 中 , .
,又 .
面 而CE 面ECD,
即 ，令 ，得 .
设 为平面 的一个法向量,则 ,
即 ，令 ，得 .
所以 = = .
所以平面 与平面 所成锐二面角的大小为 （或 ）
（解法二） ， ,
是平面 一个法向量.
， ,
是平面平面 一个法向量.
平面 与平面 所成锐二面角的大小为 （或 ）.
（解法三）延长 到 使得 连
， ，
四边形 是平行四边形，
5．（Ⅰ）详见解析;（Ⅱ） .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）取 的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面 ，从而 ，由线面垂直得 ．由此能证明 ．（Ⅱ）方法一：连接CD，由已知条件得 即为直线 与平面 所成的角， 即为二面角 的一个平面角，由此能求出二面角 的大小．解法二（向量法）：由（1）知 且 ，所以以点 为原点，以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系 ，设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ，求出平面 的一个法向量 ，设直线 与平面 所成的角为 ，则 得 ，解得 ，即 ，求出平面 的一个法向量为 ，设锐二面角 的大小为 ，则 ，且 ， 即可求出锐二面角 的大小.
故 即 取 ，则 ，
故 ．
设 与 的夹角为 ，则 ．
所以，平面 与平面 所成的锐二面角的大小为
考点：1.空间向量的应用；2.二面角的计算；3.直线与平面的位置关系
2．（1） ;（2） ;（3）F是AD的4等分点，靠近A点的位置.
【解析】
试题分析：（1）取AD中点M，连接MO，PM，由正四棱锥的性质知∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角∴tan∠PAO＝ ，设AB＝a，则AO＝ a，PO＝ a，MO= ,tan∠PMO＝ ,∠PMO＝60°;（2）依题意连结AE，OE，则OE∥PD，故∠OEA为异面直线PD与AE所成的角，由正四棱锥的性质易证OA⊥平面POB,故 为直角三角形，OE＝ PD＝ ＝ a∴tan∠AEO＝ ＝ ；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG，易得BC⊥平面PMN，故平面PMN⊥平面PBC，而△PMN为正三角形，易证MG⊥平面PBC，取MA的中点F,连EF,则四边形MFEG为平行四边形，从而MG
， 分别为 ， 的中点，
平面 ， 平面 ， 平面 .
平面 平面 平面
故平面 与平面 所成锐二面角与二面角 相等.
平面 平面
平面 是二面角 的平面角.
平面 与平面 所成锐二面角的大小为 （或 ）.
考点：1、直线与平面平行的判定；2、平面与平面所成的角.
（1）求证: 平面 ;
（2）求证:平面 平面 ;
（3）求平面 与平面 所成锐二面角的大小.
4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥 中, 底面 ,且底面 为正方形, 分别为 的中点．
（1）求证: 平面 ;
（2）求平面 和平面 的夹角.
5．如图，在直三棱柱 中，平面 侧面 且 .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若直线AC与平面 所成的角为 ,求锐二面角 的大小.
试题解析：（1）取AD中点M，连接MO，PM，依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，则∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角（2分）
∵PO⊥面ABCD，
∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．
∴tan∠PAO＝
设AB＝a，AO＝ a，
∴PO＝AO·tan∠POA＝ a，
tan∠PMO＝ ＝ ．
∴∠PMO＝60°．（4分）
（2）根据AB 平面ACD，DE||AB，则DE 平面ACD，又AF?平面ACD，根据线面垂直的性质可知 ，满足线面垂直的判定定理，证得AF 平面CDE，又BP||AF，则BP 平面CDE，BP 平面BCE，根据面面垂直的判定定理可证得结论；
（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系F﹣xyz．设AC=2，根据线面垂直求出平面BCE的法向量n，而m=（0，0，1）为平面ACD的法向量，设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，根据 可求出所求．
试题解析：解（1）证明：如图，
取 的中点 ，连接 ，因 ，则
由平面 侧面 ，且平面 侧面 ，
得 ，又 平面 ， 所以 .
因为三棱柱 是直三棱柱，则 ，所以 .
又 ，从而 侧面 ，又 侧面 ，故 . -------6分
解法一：连接 ，由（1）可知 ，则 是 在 内的射影
∴ 即为直线 与 所成的角，则 在等腰直角 中， ，且点 是 中点，∴ ，且 ，
设平面 的一个法向量 ，由 ， 得：
令 ，得 ，则
设直线 与 所成的角为 ，则
得 ，解得 ，即
又设平面 的一个法向量为 ，同理可得 ，设锐二面角 的大小为 ，则
，且 ，得
∴锐二面角 的大小为 .
考点：1.用空间向量求平面间的夹角；2.空间中直线与直线之间的位置关系．
6．（1）证明见解析；（2）
【解析】
试题解析：（1）解:取CE中点P,连结FP、BP,
∵F为CD的中点,∴FP||DE,且FP=
又AB||DE,且AB= ∴AB||FPபைடு நூலகம்且AB=FP,
∴ABPF为平行四边形,∴AF||BP
又∵ 平面BCE,BP 平面BCE,
∴AF||平面BCE
（2）∵△ACD为正三角形,∴ .
∵AB 平面ACD,DE||AB,
∴平面PMN⊥平面PBC．（10分）
又PM＝PN，∠PMN＝60°，∴△PMN为正三角形．
∴MG⊥PN．又平面PMN∩平面PBC＝PN，∴MG⊥平面PBC．（12分）
F是AD的4等分点，靠近A点的位置 （13分）
考点：立体几何的综合问题
3．（1）见解析；（2）见解析；（3） .
【解析】
试题分析：（1）取CE中点P，连接FP、BP，根据中位线定理可知FP||DE，且且FP= ，而AB||DE，且AB= 则ABPF为平行四边形，则AF||BP，AF 平面BCE，BP?平面BCE，满足线面平行的判定定理，从而证得结论；
6．如图，四边形 是正方形， 平面 ， ， ， ， ， 分别为 ， ， 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的大小.
参考答案
1．（1）详见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）根据题中所给图形的特征，不难想到建立空间直角坐标，由已知， ， ， 两两垂直，可以 为原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系．表示出图中各点的坐标：设 ，则 ， ， ， ，则可表示出 ， ， ，根据数量积为零与垂直的充要条件进行证明，由 ， ，故 ， ，即可证明；（2）首先求出两个平面的法向量，其中由于 平面 ，所以可取平面 的一个法向量为 ；设平面 的一个法向量为 ，则 ， ，故 即 取 ，则 ，故 ，转化为两个法向量的夹角，设 与 的夹角为 ，则 ．即可求出平面 与平面 所成的锐二面角的大小.
（2）连接AE，OE，∵OE∥PD，
∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．（6分）
∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．
又OE 平面PBD，∴AO⊥OE．
∵OE＝ PD＝ ＝ a，
∴tan∠AEO＝ ＝ ．（8分）
（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG．
∵BC⊥MN，BC⊥PN，∴BC⊥平面PMN
向量法求空间角
1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形 为正方形，四边形 是直角梯形， ， 平面 ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的大小．
2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为 ．
（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；
（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；
（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．
3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知 平面 , ,△ 是正三角形, ,且 是 的中点.
在 中，
即平面BCE与平面ACD所成锐二 面角为 .
考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．
4．证明见解析
【解析】
试题分析：：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2）证明线面平行，需证线线平行，只需要证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.
试题解析：（1）如图，以 为原点,以 为方向向量
建立空间直角坐标系
则 .
.
设平面 的法向量为
即 令
则 .
又 平面 平面
（2） 底面 是正方形, 又 平面
又 , 平面
向量 是平面 的一个法向量, 又由（1）知平面 的法向量 .
二面角 的平面角为 .
考点：（1）证明直线与平面平行；（2）利用空间向量解决二面角问题.
∴DE 平面ACD,又AF 平面ACD,
∴DE AF.又AF CD,CD∩DE=D,
∴AF 平面CDE
又BP||AF,∴BP 平面CDE.又∵BP 平面BCE,
∴平面BCE⊥平面CDE
（3）法一、由（2）,以F为坐标原点,
FA,FD,FP所在的直线分别为x,y,z轴（如图）,
建立空间直角坐标系F—xyz.设AC=2,
∴
过点A作 于点 ，连 ，由（1）知 ，则 ，且
∴ 即为二面角 的一个平面角且直角 中： ，又 ， ∴ ，
且二面角 为锐二面角∴ ，即二面角 的大小为 ----12分
解法二（向量法）：由（1）知 且 ，所以以点 为原点，以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系 ，如图所示，且设 ，则 ， ， ， ， ， ， ，
试题解析：（1）证明： , 分别为 ， 的中点，
.
又 平面 ， 平面 ，
平面 .
（2）解: 平面 ， ， 平面
平面 ， .
四边形 是正方形， .
以 为原点,分别以直线 为 轴, 轴, 轴
建立如图所示的空间直角坐标系，设
,
， ， ， ， ， ,
, .
， ， 分别为 ， ， 的中点，
， ， , ,
（解法一）设 为平面 的一个法向量，则 ,
试题分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2）证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.
试题解析：（1）由已知， ， ， 两两垂直，可以 为原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系．
设 ，则 ， ， ， ，
故 ， ， ，
因为 ， ，故 ， ，
即 ， ， 又
所以， 平面 ．
（2）因为 平面 ，所以可取平面 的一个法向量
为 ，
点 的坐标为 ，则 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ， ，
则C（0,—1,0）,
设 为平面BCE的法向量，
，令n=1,则
显然, 为平面ACD的法向量.
设面BCE与面ACD所成锐二面角为
则 .
即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为
法二、延长EB、DA,设EB、DA交于一点O,连结CO.
则面 面 .
由AB是 的中位线,则 .
在 中 , .
,又 .
面 而CE 面ECD,
即 ，令 ，得 .
设 为平面 的一个法向量,则 ,
即 ，令 ，得 .
所以 = = .
所以平面 与平面 所成锐二面角的大小为 （或 ）
（解法二） ， ,
是平面 一个法向量.
， ,
是平面平面 一个法向量.
平面 与平面 所成锐二面角的大小为 （或 ）.
（解法三）延长 到 使得 连
， ，
四边形 是平行四边形，
5．（Ⅰ）详见解析;（Ⅱ） .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）取 的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面 ，从而 ，由线面垂直得 ．由此能证明 ．（Ⅱ）方法一：连接CD，由已知条件得 即为直线 与平面 所成的角， 即为二面角 的一个平面角，由此能求出二面角 的大小．解法二（向量法）：由（1）知 且 ，所以以点 为原点，以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系 ，设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ，求出平面 的一个法向量 ，设直线 与平面 所成的角为 ，则 得 ，解得 ，即 ，求出平面 的一个法向量为 ，设锐二面角 的大小为 ，则 ，且 ， 即可求出锐二面角 的大小.
故 即 取 ，则 ，
故 ．
设 与 的夹角为 ，则 ．
所以，平面 与平面 所成的锐二面角的大小为
考点：1.空间向量的应用；2.二面角的计算；3.直线与平面的位置关系
2．（1） ;（2） ;（3）F是AD的4等分点，靠近A点的位置.
【解析】
试题分析：（1）取AD中点M，连接MO，PM，由正四棱锥的性质知∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角∴tan∠PAO＝ ，设AB＝a，则AO＝ a，PO＝ a，MO= ,tan∠PMO＝ ,∠PMO＝60°;（2）依题意连结AE，OE，则OE∥PD，故∠OEA为异面直线PD与AE所成的角，由正四棱锥的性质易证OA⊥平面POB,故 为直角三角形，OE＝ PD＝ ＝ a∴tan∠AEO＝ ＝ ；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG，易得BC⊥平面PMN，故平面PMN⊥平面PBC，而△PMN为正三角形，易证MG⊥平面PBC，取MA的中点F,连EF,则四边形MFEG为平行四边形，从而MG