32双因素方差分析

这是一个双因素无重复试验的方差分析问题。
1
rs
r i 1
s
ij
j 1
i•
1 s
s
ij
j 1
• j
1 r
r i 1
ij
i i•
j • j
xij i j ij (i 1, 2,L , r; j 1, 2,L , s)
若ij=+i+j，我们称该方差分析模型为无交互作用的方差
1))
FB
Se
SB /(s
/(s 1) 1)(r 1)
~
F
(s
1,
(s
1)(r
1))
对给定的显著性水平，当
FA>F(r-1, (s-1)(r-1))时拒绝H01, FB>F(s-1, (s-1)(r-1))时拒绝H02 .
来源 A B e
总和
平方和 SA SB
Se St SA SB ST
自由度 r-1 s-1
xijk
i
j
ij
ijk
r
i 0,
s
j 0,
r
ij 0,
s
ij 0
i1
j 1
i 1
j 1
诸ijk相互独立均服从N (0, 2 )分布
要检验假设:
i 1, 2,L , r j 1, 2,L , s k 1, 2,L ,t
H01: α1=α2=…=ar=0， H11:α1,α2,…, ar不全为零 H02: β1=β2=…=βs=0 ， H12:β1, β2,…,βs不全为零
36.0
35.5
34.3
36.1
35.8
32.8
28.5
29.4
F 值 显著性
20.49
**
1.61
查表得临界值F0.05(4，12)=3.26，F0.01(3，12)=5.95。由于 FB＜F0.05(4，12)，故认为地块不同对收获量无显著影响。 由于FA＞F0.01(3，12)，故认为品种不同对收获量影响极显著。
(r-1)(s-1) rs-1
方差分析表
均方和
SA r 1
SB s 1 se (r 1)(s 1)
F比
FA
Se
SA /(s
/(r 1) 1)(r 1)
FB
Se
SB /(s
/(s 1) 1)(r 1)
对给定的显著性水平，当
FA>F(r-1, (s-1)(r-1))时拒绝H01, FB>F(s-1, (s-1)(r-1))时拒绝H02 .
H01: α1=α2=…=ar=0， H11:α1,α2,…, ar不全为零 H02: β1=β2=…=βs=0 ， H12:β1, β2,…,βs不全为零
若检验结果拒绝H01 (H02)，则认为因子A (B) 的不同水平对结 果有显著影响，若二者均不拒绝，那就说明因子A与B的不同水
平组合对结果无显著影响。
例3 将土质基本相同的一块耕地分成均等的五个地块，每块又 分成均等的四个小区。有四个品种的小麦，在每一地块内随机分 种在四个区上，每小区的播种量相同，测得收获量如下表（单位： 公斤），试以显著性水平α1=0.05,α2=0.01考察品种和地块对收获 量的影响是否显著。
地块
品种
B1
B2
B3
B4
B5
A1 A2 A3 A4
H03: 对一切i, j 有 ij=0, H13:ij不全为零
将总的离差平方和分解：
rs
误差平方和 Se
(xij xi x j x)2
i1 j1
反映了随机误差引起的波动。
在H01，H02为真时
1
2
St
~
2 (rs
1)
1
2
SB
~
2 (s
1)
1
2
SA
~
2(r
1)
1
2
Se
Байду номын сангаас
~
2 (s
1)(r
1)
FA
Se
SA /(s
/(r 1) 1)(r 1)
~
F (r
1, (s
1)(r
方差来源
品种(A) 地块(B) 误差(e) 总和(t)
32.3 33.2 30.8 29.5
平方和
SA=134.65 SB=14.10 Se=26.28 St=175.03
34.0 33.6 34.4 26.2
自由度 3 4 12 19
34.7 36.8 32.3 28.1
均方 44.88 3.53 2.19
若ij≠ + i + j ，则称 = ij - - i - j为因子A的第i个水
平与因子B的第j个水平的交互效应，它们满足关系式：
r
s
ij 0, j 1, 2,L , s
ij 0, i 1, 2,L , r
i 1
j 1
为了研究交互效应是否对结果有显著影响，那么在（Ai,Bj）
水平组合下至少要做t（≥2）次试验，记其结果为xijk，则
为研究三种不同作物对污泥中镉吸收能力的差别， 选择4个地块划分成三个小区，三种作物随机分种在 每个地块的三个小区上。在所有地块上施用同等数 量的污泥，作物收获后分别测定其中镉的积累量 （微克/千克）
地块1 地块2 地块3 地块4
作物1 7
6
8
7
作物2 2
4
4
4
作物3 4
6
5
3
二、双因素等重复试验的方差分析
rs
总的偏差平方和 St
(xij x)2 SA SB Se
i1 j 1
反映了数据xij总的波动大小。
r
因素A的偏差平方和 SA s(xi x)2 i 1
反映因素A的水平间的差异引起的波动。
s
因子B的偏差平方和 SB r(x j x)2 j 1
反映了因素B的水平间的差异引起的波动。
双因素无重复试验的方差分析
设在某试验中，有二个因素A、B在变动。 因素A取r个不同水平 A1，A2，…，Ar， 因素B取s个不同水平 B1，B2，…，Bs，
在(Ai, Bj)水平组合下的试验结果独立地服从N(ij,2)
分布。
例3 将土质基本相同的一块耕地分成均等的五个地块，每块 又分成均等的四个小区。有四个品种的小麦，在每一地块内随 机分种在四个区上，每小区的播种量相同，测得收获量如下表
分析模型。此时，我们只需对（Ai, Bj）的每个组合各做一次试
验，记其结果为xij，则 xij=+i+j+ij。因此，无交互作用的
方差分析模型为
xij
i
j
ij ,i
1, 2,L
, r,
j
1, 2,L
.s
r
i 0,
s
j 0
i i•
j • j
i1
j 1
诸ij间相互独立,且都服从N(0, 2)分布
（单位：公斤），试以显著性水平1=0.05, 2=0.01考察品种和
地块对收获量的影响是否显著。
地块
品种
B1
B2
B3
B4
B5
A1
32.3
34.0
34.7
36.0
35.5
A2
33.2
33.6
36.8
34.3
36.1
A3
30.8
34.4
32.3
35.8
32.8
A4
29.5
26.2
28.1
28.5
29.4