2020-2021学年高一数学北师大版必修四第一章1.3 弧度制 课件
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(2) －7＝－7=-(118005)°.
12 12
( 225 ) 2
类型二 用弧度表示角及其范围(逻辑推理)
【典例】1.若θ角的终边与 8 的终边相同,则在[0,2π]内终边与 角的终
5
4
边相同的角是________.
2.图中阴影部分表示的角度的集合为________(包括边界).
【思路导引】用终边相同角表示并计算,注意范围.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)1弧度的角的大小与其所在的圆的半径的大小有关. ( )
(2)根据弧度的定义,180°一定等于π弧度. ( )
(3)弧度数为2的角所在圆的半径为1,则其所对的弧长为2.
()
提示:(1)×.1弧度的角的大小与圆的大小无关,只要弧长等于半径,则弧所对的
【解题策略】
角度与弧度互化的策略
(1)原则:牢记180°=π rad,充分利用1°=
180
算.
rad和1 rad=（ 1 8 0 )
进行换
(2)方法:设一个角的弧度数为α,角度数为n,则α rad=α·（ 1 8 0 ) ;
n°=n· rad.
180
(3)注意点:①用“弧度”为单位度量角时,“弧度”二字或“rad”可以省略
(组)求解.
(3)弧长、面积的最值问题:利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长或面积,利
圆心角就是1弧度的角.
(2)√.由角度与弧度的互化可知其正确.
(3)√.由弧长公式得弧长为2×1=2.
2.圆的半径是6 cm,则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是 ( )
A. cm2
2
B. 3 cm2
2
C.π cm2
D.3π cm2
【解析】选B.根据扇形面积公式,得S= 1 × ×62= 3 (cm2).
【解题策略】 1.用弧度表示角的注意点 (1)注意角度与弧度不能混用. (2)各终边相同的角需加2kπ,k∈Z. (3)求两个角的集合的交集时,注意应用数轴直观确定,可对k进行适当地赋值. 2.解决“弧度”与“角度”概念问题的关键点 (1)引入弧度制后,角与实数建立了一一对应关系. (2)用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同(都是0);用角度制和 弧度制度量任意非零角,单位不同,数量也不同.
(3)“角度”与“弧度”可以按照“180° =π rad”这一等量关系进行相互 转化.
【跟踪训练】
1.集合 { |k k ， k Z }所表示的角的范围(用阴影表示)是
4
2
()
2.用弧度制表示:(1)终边在x轴上的角的集合. (2)终边在y轴上的角的集合. (3)终边在坐标轴上的角的集合.
号用rad表示,读作_____.以弧弧度度作为单位来度量角的单位制
叫作弧度制
2.角度制与弧度制的换算 (1)角度制与弧度制的换算
(2)一些特殊角与弧度制的对应关系
【思考】 “弧度”与“度”互化过程中,其“正负”变化吗? 提示:不变.
3.弧度数与弧度制的作用
【思考】 弧度制与角度制相比,有哪些好处? 提示:弧度制使得角和实数建立了一一对应关系.角的集合可以写作(0,π),而不 能写作(0°,180°).
【思路导引】化角度制为弧度制,应用公式.
2
【解析】因为α=120°= 3π,r=6,所以
的A 长B l=
π×62 =4π.
3
【变式探究】
已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是________.
【解析】由已知圆的半径为r= 1 ,故所求的弧长为l=αr= . 2
sin 1
sin 1
§3 弧 度 制
导思
1.什么是弧度制?1弧度是如何规定的? 2.角度制与弧度制是如何进行换算的? 3.弧长公式及扇形的面积公式是什么?
1.角度制和弧度制
角度制 弧度制
用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制,规定1度的角等
于周角的
1
360
长度为1
在单位圆中,________的弧所对的圆心角称为1弧度角,单位符
【解析】(1)终边在x轴上的角的集合 S1={β|β=kπ,k∈Z}. (2)终边在y轴上的角的集合
S2{|k 2,kZ}.
(3)终边在坐标轴上的角的集合 S3{|k2,kZ}.
类型三 弧长公式与面积公式的应用(数学建模、数学运算)
角度1 求弧长
【典例】已知扇形OAB的圆心角α为120°,半径长为6,求 A B 的长.
答案: 2
sin 1
角度2 求圆心角 【典例】已知扇形的周长为6 cm,面积为2 cm2,求扇形圆心角的弧度数. 【思路导引】设出弧长与半径,列方程求解.
角度3 求面积的最值 【典例】已知一扇形的周长为40 cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使 扇形的面积最大?最大面积是多少? 【思路导引】用r表示弧长l,根据扇形的面积公式,构造面积S与半径r的二次函 数,求最值.
不写;
②用“弧度”为单位度量角时,常常把弧度数写成多少π的形式,如无特别要 求,不必把π写成小数; ③度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.
【补偿训练】
(1)把112°30′化成弧度. (2)把 － 7 化为角度.
12
【解析】(1)112°30′=112.5°=
= 225 ＝5.
2 180 8
2 12
2
3.(教材二次开发:习题改编)将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成
的角的弧度是( )
A . 3
B . C .
6
3
D . 6
【解析】选C.将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角.故A,B不正确,又
因为拨快10分钟,故应转过的角为圆周的 1 .即为- 1 ×2π=- .
6
6
3
类型一 角度与弧度的互化(数学抽象)
【题组训练】
1.将下列角度与弧度进行互化.
(1) 5 π;(2) － 7 π;(3)-157°30′;(4)-15°.
12
6
2.设α=510°,β= 1 1 .
6
(1)将角α用弧度表示出来,并指出它的终边所在的象限.
(2)将角β用角度表示出来,并指出它的终边所在的象限.
【解题策略】
(1)三个公式:|α|= l
r
,l=|α|r,S=
1 2
lr=
1 2
|α|r2.要根据已知量、未知量之
间的关系,适当选择公式,建立方程(组)、不等式(组)或函数解决问题.
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知
哪些量求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程
12 12
( 225 ) 2
类型二 用弧度表示角及其范围(逻辑推理)
【典例】1.若θ角的终边与 8 的终边相同,则在[0,2π]内终边与 角的终
5
4
边相同的角是________.
2.图中阴影部分表示的角度的集合为________(包括边界).
【思路导引】用终边相同角表示并计算,注意范围.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)1弧度的角的大小与其所在的圆的半径的大小有关. ( )
(2)根据弧度的定义,180°一定等于π弧度. ( )
(3)弧度数为2的角所在圆的半径为1,则其所对的弧长为2.
()
提示:(1)×.1弧度的角的大小与圆的大小无关,只要弧长等于半径,则弧所对的
【解题策略】
角度与弧度互化的策略
(1)原则:牢记180°=π rad,充分利用1°=
180
算.
rad和1 rad=（ 1 8 0 )
进行换
(2)方法:设一个角的弧度数为α,角度数为n,则α rad=α·（ 1 8 0 ) ;
n°=n· rad.
180
(3)注意点:①用“弧度”为单位度量角时,“弧度”二字或“rad”可以省略
(组)求解.
(3)弧长、面积的最值问题:利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长或面积,利
圆心角就是1弧度的角.
(2)√.由角度与弧度的互化可知其正确.
(3)√.由弧长公式得弧长为2×1=2.
2.圆的半径是6 cm,则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是 ( )
A. cm2
2
B. 3 cm2
2
C.π cm2
D.3π cm2
【解析】选B.根据扇形面积公式,得S= 1 × ×62= 3 (cm2).
【解题策略】 1.用弧度表示角的注意点 (1)注意角度与弧度不能混用. (2)各终边相同的角需加2kπ,k∈Z. (3)求两个角的集合的交集时,注意应用数轴直观确定,可对k进行适当地赋值. 2.解决“弧度”与“角度”概念问题的关键点 (1)引入弧度制后,角与实数建立了一一对应关系. (2)用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同(都是0);用角度制和 弧度制度量任意非零角,单位不同,数量也不同.
(3)“角度”与“弧度”可以按照“180° =π rad”这一等量关系进行相互 转化.
【跟踪训练】
1.集合 { |k k ， k Z }所表示的角的范围(用阴影表示)是
4
2
()
2.用弧度制表示:(1)终边在x轴上的角的集合. (2)终边在y轴上的角的集合. (3)终边在坐标轴上的角的集合.
号用rad表示,读作_____.以弧弧度度作为单位来度量角的单位制
叫作弧度制
2.角度制与弧度制的换算 (1)角度制与弧度制的换算
(2)一些特殊角与弧度制的对应关系
【思考】 “弧度”与“度”互化过程中,其“正负”变化吗? 提示:不变.
3.弧度数与弧度制的作用
【思考】 弧度制与角度制相比,有哪些好处? 提示:弧度制使得角和实数建立了一一对应关系.角的集合可以写作(0,π),而不 能写作(0°,180°).
【思路导引】化角度制为弧度制,应用公式.
2
【解析】因为α=120°= 3π,r=6,所以
的A 长B l=
π×62 =4π.
3
【变式探究】
已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是________.
【解析】由已知圆的半径为r= 1 ,故所求的弧长为l=αr= . 2
sin 1
sin 1
§3 弧 度 制
导思
1.什么是弧度制?1弧度是如何规定的? 2.角度制与弧度制是如何进行换算的? 3.弧长公式及扇形的面积公式是什么?
1.角度制和弧度制
角度制 弧度制
用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制,规定1度的角等
于周角的
1
360
长度为1
在单位圆中,________的弧所对的圆心角称为1弧度角,单位符
【解析】(1)终边在x轴上的角的集合 S1={β|β=kπ,k∈Z}. (2)终边在y轴上的角的集合
S2{|k 2,kZ}.
(3)终边在坐标轴上的角的集合 S3{|k2,kZ}.
类型三 弧长公式与面积公式的应用(数学建模、数学运算)
角度1 求弧长
【典例】已知扇形OAB的圆心角α为120°,半径长为6,求 A B 的长.
答案: 2
sin 1
角度2 求圆心角 【典例】已知扇形的周长为6 cm,面积为2 cm2,求扇形圆心角的弧度数. 【思路导引】设出弧长与半径,列方程求解.
角度3 求面积的最值 【典例】已知一扇形的周长为40 cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使 扇形的面积最大?最大面积是多少? 【思路导引】用r表示弧长l,根据扇形的面积公式,构造面积S与半径r的二次函 数,求最值.
不写;
②用“弧度”为单位度量角时,常常把弧度数写成多少π的形式,如无特别要 求,不必把π写成小数; ③度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.
【补偿训练】
(1)把112°30′化成弧度. (2)把 － 7 化为角度.
12
【解析】(1)112°30′=112.5°=
= 225 ＝5.
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2 12
2
3.(教材二次开发:习题改编)将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成
的角的弧度是( )
A . 3
B . C .
6
3
D . 6
【解析】选C.将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角.故A,B不正确,又
因为拨快10分钟,故应转过的角为圆周的 1 .即为- 1 ×2π=- .
6
6
3
类型一 角度与弧度的互化(数学抽象)
【题组训练】
1.将下列角度与弧度进行互化.
(1) 5 π;(2) － 7 π;(3)-157°30′;(4)-15°.
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6
2.设α=510°,β= 1 1 .
6
(1)将角α用弧度表示出来,并指出它的终边所在的象限.
(2)将角β用角度表示出来,并指出它的终边所在的象限.
【解题策略】
(1)三个公式:|α|= l
r
,l=|α|r,S=
1 2
lr=
1 2
|α|r2.要根据已知量、未知量之
间的关系,适当选择公式,建立方程(组)、不等式(组)或函数解决问题.
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知
哪些量求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程