覆盖粗糙集模型

C ( X ) {K1} ， X K1 {b, c, e}.
X X X { f }， Bn( X ) {md ( x); x X } md ( f ) {K3}.
C ( X ) {K1, K3}， X K1 K3 {a, b, c, e, f }.
C ( X ) {K1, K2} ， 从 而 X K1 K2 {a, b, c}.
又 C (Y ) ，
md (c) {K2 , K3} ， 故
Bn(Y ) md (c) ， C (Y ) {K2 , K3} ，从而 Y K2 K3 {a, c, d}. 于是， X Y U . 另一方面，

（8） {X ; X A} (A). （9） {C ( X ); X A} C ( A). （10） {C ( X ); X A} C (A). （11） C ({x}) 当且仅当 {x} C. （12） C ({x}) md ( x). （13） md ( x) {K C; x K}. （14）若 {x} C ( X ) ，则 {x} C ( X ). （15） C ( X ) Bn( X ) .
定理 设 (U , C ) 是一个覆盖近似空间， 下列三条件等价： （1） C 是极小的； （2） C 是可表示的； （3） C 是精确的。
３可表示近似空间
定义 设 (U , C ) 是一个覆盖近似空间，若 C 是可表示的，则称
(U , C ) 是一个可表示覆盖近似空间，简称为可表示近似空间。
定理 设 (U , C ) 是一个可表示近似空间，
md (c) md (d ) {K1} ，故 C (~ X ) {K1, K3} ， (~ X ) K1 K3 U .
于是 X ~ (~ X ) 不成立，即上近似与下近似不是对偶的。

定义 设 (U , C ) 是一个覆盖近似空间。 （1）若 K C ， x K 使得 S C ( x S K S ) ， 则称 x 是 K 的一个代表元。 （2）称 C 是极小的，如果

例 3.1.1 设 U {a, b, c, d , e, f } ， K1 {b, c, e} ，
K2 {a, b, c, d , e} ， K3 {a, e, f } ， C {K1, K2 , K3}.
显然 C 构成 U 的覆盖。令 X {b, c, e, f } ，则
由此定义， m d( x) 是 cv( x ) 中关于包含关系的极小元构成的集合，其中
cv( x) {K C; x K}.
定义 3.1.2 设 (U , C ) 是一个覆盖近似空间， X U 。 （1）称 C ( X ) {K C; K X } 为 X 的下近似集合；
C4 ( X ) {N ( x); N ( x) X }
{x; y U ( x N ( y) N ( y) X )}
C4 ( X ) ~ C4 (~ X ) {~ N ( x); N ( x) (~ X ) }
{x; y U ( x N ( y) N ( y) X )}.
X C C Y C 当且仅当 C ( X ) C (Y ) 且 C ( X ) C (Y ).
若 X C C YC ，则称粗糙集 X C 粗糙包含于粗糙集 YC . 显然， C 为 Rs(U , C) 上的偏序关系。
4 覆盖的约简
设 (U , C ) 是一个覆盖近似空间且 K C. 如果存在 A C {K } 使得 K A ，即 K 为 C {K} 中若干元素之并，则称 K 在
第八讲: 覆盖粗糙集模型
Leabharlann Baidu 1基本定义
Z. Bonikowski, E. Bryniarski, U. Wybraniec, Extensions and intentions in the rough set theory, Information Sciences 107 (1998) 149-167.
C {K1, K2 , K3}. 显然 C 构成 U 的覆盖。 N (a) K1 K2 {a, b} N (b) ， N (c) K1 {a, b, c} ， N (d ) K2 K3 {d} ， N (e) K3 {d , e} 。
C0 {x U ; 存在 K C 使得 x 为 K 的一个代表元 }.
则对于任意 X C0 ，有 C ( X ) {md ( x); x X }.

定义 3.1.5 设 (U , C ) 是一个覆盖近似空间，在 P (U ) 上定义 等价关系 C 为：对于任意 X , Y P(U ) ，
定理 设 (U , C ) 是一个覆盖近似空间，则对于任意 X U ， （1） ， U U U . （2） X X X . （3） ( X ) X ， ( X ) X . （4）若 X X ，则 X X ；若 X X ，则 X X .
定义 设 U 是论域， C P(U ) ，如果 C 且 C U ，则称 C 是
U 的一个覆盖， (U , C ) 是一个覆盖近似空间。
设 (U , C ) 是一个覆盖近似空间， x U ， x 关于 (U , C ) 的最小描述 m d( x) 定义为：
md( x) {K C; x K S C ( x S S K S K}.
X Y {a, c} K2 ， ( X Y ) K2 ， ( X Y ) 即 ， Bn( X Y ) ， 故 ( X Y ) K2 .
( X Y ) X Y 不成立。此例中， X ( X Y ) ，即关于上近似的单调性一般不成立。
K ( K C K ( C{ S C ; K }S) ) .
（3）称 C 是可表示的，如果任意 K C ， K 有代表元。 （4） C 称为精确的，如果对于任意 A C ，有
{K C; K A } { K C ; S( S A K )S }.

设 (U , C ) 是一个覆盖近似空间， X U . 若 X 能表示成 C 中 若干元素之并，即存在 C1 C 使得 X C1 ，则称 X 为
(U , C ) 中可定义集。
定理 3.1.2 设 (U , C ) 是一个覆盖近似空间， X U .
X 为 (U , C ) 中可定义集当且仅当 X X X .
X C ( X ) 称为 X 的下近似。
（2）称 X X X 为 X 的边界。
（3）称 C ( X ) C ( X ) Bn( X ) 为 X 的上近似集合；
X C ( X ) 为 X 的上近似，其中 Bn( X ) {md( x); x X }.
C3 ( X ) {N ( x); N ( x) X } {x; y U ( x N ( y) N ( y) X )}
C3 ( X ) ~ C3 (~ X ) {~ N ( x); N ( x ) X }
{x; y U ( x N ( y) N ( y) X )}.
C5 ( X ) {N ( x); x X } {x; y U ( y X x N ( y))} ，
C5 ( X ) ~ C5 (~ X ) {~ N ( x); x ~ X }
{x; y U ( x N ( y) y X )}.
例 设 U {a, b, c, d , e} ， K1 {a, b, c} ， K2 {a, b, d} ， K3 {d , e} ，
C 中是可约简的；否则称 K 在 C 中是不可约简的。如果 C 中 任意元素在 C 中都是不可约简的，则称 C 是不可约简的。 否则称 C 是可约简的。
5 基于邻域的近似算子
C1 ( X ) X {K C; K X } {x; K C(K X x K )}



在覆盖近似空间中，下列性质一般不成立： （1） ( X Y ) X Y ； （2） ( X Y ) X Y ; （3） X ~ (~ X ) ， X ~ (~ X ) ； （4） X Y X Y .



例 设 U {a, b, c, d }， K1 {a, b}， K2 {a, c} ， K3 {c, d} ， C {K1 , K2 , K3}. 显然 C 构成 U 的 覆盖。令 X K1 ，Y K 2 ，则 C ( X ) {K1} ， X K1. C (Y ) {K2 } ，Y K2 . 故 X Y {a}. 另 一方面 X Y {a} ， C ( X Y ) ， ( X Y ) . 故 ( X Y ) X Y 不成立。 若 令 X {a} ， Y {c} ， 则 C ( X ) ， md (a) {K1 , K2} ， 故 Bn( X ) md (a) ，
例 设 U {a, b, c, d , e} ， K1 {a, b, c, d} ， K2 {a, b} ， K3 {e} ，
C {K1 , K2 , K3}. 显然 C 构成 U 的覆盖。令 X K2 ，则 C ( X ) {K2 } ，
X K2 . 又 ~ X {c, d , e} ， C (~ X ) {K3} ， (~ X ) K3 {e}.
C1 ( X ) ~ C1 (~ X ) {~ K ; K C , K X }
{x; K C ( x K K X )}.
\
C2 ( X ) {x U ; N ( x) X }，
C2 ( X ) ~ C2 (~ X ) {x U ; N ( x) X }.
X C Y 当且仅当 C ( X ) C (Y ) 且 C ( X ) C (Y ).
称 C 等价类为 (U , C ) 中粗糙集，包含集合 X 的粗糙集 记为 X C ，所有粗糙集构成的集合记为 Rs(U , C ).
定义 3.1.6 设 (U , C ) 是一个覆盖近似空间，定义 Rs(U , C) 上 的二元关系 C 为：对于任意 X , Y U ，
2 性质
定理 设 (U , C ) 是一个覆盖近似空间，则对于任意 X , Y U ，
A P(U ) ， x U ，
（1） C () C () ， C (U ) C (U ) C. （2） C ( X ) C ( X ). （3） C ( X ) C ( X ) C ( X ). （4）若 X Y ，则 C ( X ) C (Y ) 且 X Y . （5） C ( X ) ( X ) . （6） Bn( X ) Bn( X ) C ( X ). （7） C ( X ) {K C; K C ( X )}.