第六章 三维变换与投影

0 0
T3
0 0
0
c os x sinx
0
s in x c os x
0
0 0 1
（6-20）
(4) 将P(x，y，z）点绕z轴逆时针旋转θ角
cos sin 0 0
T4
sin
0
c os
0
0 1
0 0
0
0 0 1
（6-21）
（5）将 P0P1
绕x轴旋转-x角，即顺时针旋转x角
1 0
0 0
T5
6.3 三维复合变换
P' P T P T1 T2 Tn
T为复合变换矩阵，T1，T2……Tn为n个单次基本几 何变换矩阵。
6.3.1相对于任一参考点的三维几何变换
在三维基本几何变换中，比例变换和旋转变换是与参 考点相关的。相对于任一参考点Q（x,y,z）的比例变换 和旋转变换应表达为复合变换形式。变换方法是首先 将参考点平移到坐标原点，相对于坐标原点作比例变 换或旋转变换，然后再进行反平移将参考点平移回原 位置。
5.关于yoz面的反射
1 0 0 0
T
0
1 0 0
0 0 1 0
0
0 0 1
6.关于xoz面的反射
1 0 0 0 T 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 0 1
（6-12） （6-13）
6.2.5 错切变换
1 b c 0 T d 1 f 0
g h 1 0 0 0 0 1
1.沿x方向错切
a b பைடு நூலகம் p
T d
e
f
q
g h i r
l
m
n
s
（6-1）
6.1.2 三维几何变换
P' P T
x1' x2'
y1' y2'
z1'
z
' 2
1 x1
1
x2
y1
y2
z1 1 a
z2
1
d g
b e h
c f i
p
q
r
xn'
yn'
z
' n
1
xn
yn
zn
1
l
m
n
s
（6-2）
0 0 1 0 0 0 0 1
2.关于y轴的反射
1 0 0 0
T
0
1
0
0
0 0 1 0
0
0
0
1
（6-8） （6-9）
3.关于z轴的反射
1 0 0 0
T
0
1 0 0
0 0 1 0
0
0 0 1
4.关于xoy面的反射
1 0 0 0 T 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 0 1
（6-10） （6-11）
第六章
本章学习目标
三维几何变换矩阵 正交投影 斜投影 透视投影
本章内容
6.1 三维图形几何变换 6.2 三维基本几何变换矩阵 6.3 三维复合变换 6.4 坐标系变换 6.5 平行投影 6.6 透视投影 6.7 本章小结
6.1 三维图形几何变换
6.1.1三维几何变换矩阵
同二维变换类似，三维变换同样引入了齐次坐标技 术，在四维空间（x,y,z,w）内进行讨论。定义了规范化 齐次坐标以后，三维图形几何变换就可以表示为物体顶 点集合的规范化齐次坐标矩阵与某一变换矩阵相乘的形 式。用规范化齐次坐标表示的三维图形几何变换矩阵是 一个4×4方阵，简称为三维几何变换矩阵。
T7
0 0
1 0
0 0 1 0
x0
y0
z0
1
（6-24）
计算中间变量sinθx、sinθy、cosθx、cosθy
将 P0P1 投影到y＝0的平面上，投影矢量为u
u与z轴正向的夹角为θy
将 P0P1 投影到x＝0的平面上，投影矢量为v v与z轴正向的夹角为θx
不需要计算θx和θy的值，只需计算其正弦值与余弦值， 就可以计算出变换矩阵T2、T3、T5和T6。
例6-1 已知空间矢量
P0P1 x1 x0 y1 y0 z1 z0
在3个坐标轴上的方向余弦分别为
nn12
cos cos
，求空间一点
n3 cos
P(x，y，z)绕 P0P1 逆时针旋转θ角的分步变换矩阵。
y
P1
θ
β P0
α γ
0
x
z
(1) 将P0(x0，y0，z0)点平移到坐标原点
6.2 三维基本几何变换矩阵
6.2.1 平移变换
1 0 0 0
T
0
0
1 0
0 0 1 0
Tx Ty Tz 1
（6-3）
6.2.2 比例变换
Sx 0 0 0
T
0
Sy
0
0
0
0
0 0
Sz 0
0 1
6.2.3 旋转变换
1.绕x轴旋转
1 0
0 0
T 0 cos sin 0
0 sin cos 0
1 0 0 0
T1
0 0
1 0
0 0 1 0
x0 y0 z0 1
（6-18）
(2)将P0P1 绕y轴顺时针旋转y角，与yoz平面重合
cos y 0 sin y 0
T2
0
s
in 0
y
1 0 0
0
cos y
0
0 0 1
（6-19）
(3) 将 P0P1
绕x轴逆时针旋转x角，与z轴重合
1 0
0 0
0 1
（6-4） （6-5）
2.绕y轴旋转
cos 0 sin 0
T
0
1
0
0
sin 0 cos 0
0
0
0
1
3.绕z轴旋转
cos sin 0 0
T sin cos 0 0
0
0 1 0
0
0 0 1
β为正向旋转角
（6-6） （6-7）
6.2.4 反射变换
1.关于x轴的反射
1 0 0 0 T 0 1 0 0
1 0 0 0 T d 1 0 0
g 0 1 0 0 0 0 1
（6-14） （6-15）
2.沿y方向错切
1 b 0 0 T 0 1 0 0
0 h 1 0 0 0 0 1
3.沿z方向错切
1 0 c 0 T 0 1 f 0
0 0 1 0 0 0 0 1
（6-16） （6-17）
三维图形几何变换
6.3.2 相对于任意方向的三维几何变换
相对于任意方向的变换方法是首先对任意方向做旋转 变换，使变换方向与某个坐标轴重合，然后对该坐标轴 进行三维基本几何变换，最后做反向旋转变换，将任意 方向还原到原来的方向。三维几何变换中需要进行两次 旋转变换，才能使任意方向与某个坐标轴重合。一般做 法是先将任意方向旋转到某个坐标平面内，然后再旋转 到与该坐标平面内的某个坐标轴重合。
0 0
0
c os x s in x
0
sinx c os x
0
0 0 1
（6-22）
（6）将 P0P1绕y轴旋转-y角，即逆时针旋转y 角
cos y 0 sin y 0
T6
0
s
in
0
y
1 0 0
0
cos y
0
0 0 1
（6-23）
（7）将P0(x0，y0，z0)点平移回原位置
1 0 0 0
y
P0 P1
v
θx
O
u
x
θy
z
将 P0P1 规范为单位矢量n，它在三个坐标轴上的投影 分别为 n1 cos n2 cos n3 cos 。取z轴上一单位矢量k
将其绕x轴顺时针旋转θx角，再绕y轴逆时针旋转θy角， 则单位矢量k将同单位矢量n重合，变换过程为