电容器和电介质

C0
q0 U0
(2) 两极板间充满各向同性的均匀电介质时：
q0
C r
q0
U
测得： U U0 ,
r
C
q0 U
r
q0 U0
rC0
★ 结论：充满电介质电容器的电容是真空时电容的 r 倍。
13
C rC0
2. 电介质的相对电容率 r
r — 称电介质的 相对电容率 （相对介电常数）。
是表征电介质电学性质的物理量（纯数）。
R 0
1 2
0
E内2 dV
1
R2
0
E外2 dV
0 2
(
R 4
q
0r
2
)2
4
r 2dr
q2
8 0R
E内
0
q
R O
另解： C 4 0 R ,
We
q2 2C
q2
8 0R
28
半径 R带电 q 的均匀带电球面和均匀带电球体：
W面
8
q2
0R
W体
3 q2
20 0 R
W面 W体
29
一、本章研究的问题
仍然是静电场 所以场量仍是 EU
基本性质方程仍是
qi
E dS i
S
0
E dl 0
L
思路：物质的电性质 对电场的影响
解出场量 E U
3
§12-1 电容 电容器
一、孤立导体的电容
带电孤立导体球的电势： U q
q
当 R 确定时,
q U
4
0R
4 0
const
R
oR
1. 电容的定义：
S D dS q0
有介质时的高斯定理 — 电场中通过任意闭和曲面的
电位移通量 = 该闭曲面包围的自由电荷的代数和。
二、电位移矢量 D
D 0r E E
1. 上式适合于各向同性的均匀电介质。
2. D是综合了电场和介质两种性质的物理量。
3. 通过闭合曲面的电位移通量仅与面内自由电荷有关，但 D是
Cq
q
即
1 1 1 1
C C1 C2
Cn
q1 -q1 q2 -q2 q3 -q3
U1 U2 U3 U
说明：等效电容值比每一个串联电容值小，但耐压值提高.
§12-3 电介质对电场的影响
电介质 — 不导电的绝缘物质。
q0
1. 充电介质时电容器的电容
以平板电容器 为例：
C0
q0
U0
(1) 两极板间为真空时：
由空间所有自由电荷和极化电荷共同激发的。 4. D是为简化高斯定理的形式而引入的辅助物理量，方便处理
有介质时的电场。
21
5. 有电介质时电场强度计算
对于介质具备某种对称性(球对称,轴对称,面对称)的情
况,可以用介质中的高斯定理求电场强度.
1) 先用 2) 再用
SEDdDS
q0
D
0 r
计算 D
8
RA
RB BA
l r
9
3. 圆柱形电容器
两极板的半径为 RA , RB ( RB RA RA ) , 长为 L 。
(1) 充电 q ，两板间场强：E
(2) 两极板间电势差：
2 0r
q q
U AB
RB dr ln RB RA 2 0r 2 0 RA
(3) 电容： C q 2 0 L
解: 利用高斯定理易求得此带电系统的
电场分布
E1
r 3 0
(r R)
r dr
E2
R3 3 0r 2
(r R)
R
We
wedV
V
0R
0
E12 2
4r 2dr
R
0 E22 2
dA
0Q
q C
dq
Q2 2C
电容器储能
1 Q2 QU CU 2 W
2C 2 2
q
-q
+
-
+
-
+ dq -
+ ⊕-
+
-
+
-
+ +
U
-
A
B
● 讨论:
(1) 该公式适用于一切电容器.
(2) U一定时, W C
二、电场的能量
百度文库
以平行板电容器为例
C 0 r S
d
U Ed
储能：
W
CU 2
0 r SE 2d 2
能量是定域于场的，静电能是定域于静电场的。
23
§12-6 电容器的能量
一、电容器的能量
t=0 开始，每次自右极板把微量电荷dq 移至左板，电容器 间电场逐渐加大，除第一次外，每次移动，外力都要克服 静电力做功，t 时刻带电q ，再移dq ，外力作功
dA Udq q dq C
最后带电Q，则
A
0Q
第 12 章 电容器和电介质
研究电场和导体、电介质的相互作用
教学要求
1.掌握导体静电平衡条件，能该条件分析带电导体的静电场 中的电荷分布；求解有导体存在时场强与电势分布；
2.了解电介质的极化机理，了解电位移矢量的物理意义及 有电介质时的高斯定理；
3.理解电容的定义，能计算简单形状电容器的电容；
4.理解带电体相互作用能，计算简单对称情况下的电磁能量.
U A UB U AB E d
q
得： C 0S
qd
0S
UA UB
d
平板电容器电容：
C 0S
d
仅由 S , d , 0 决定，与其所带电量、极板间电压无关。
6
2. 球形电容器
两极板的半径 RA , RB ( RB RA RA )
(1) (2)
充电 q ； 两板间场强：E
两极板间电势差：
— 电介质表面因极化而出现的电荷。
4. 极化电荷的特点
q
(1) 不能移出电介质；
(2) 各向同性的均匀电介质极化时只在其表面 电介质
出现面极化电荷，内部无体极化电荷。
18
4. 极化电荷与自由电荷的关系
E0 E
0 0
E0
, E
E
1
0
0
( 0
,
)
0
0
EE0 0 E
r
E E0 0 , r 0 r
U1 U2 Un U
C q q1 q2 qn
U
U
C C1 C2 Cn
q1 C1
q2 C2
q3 C3 U
说明：等效电容比每一个并联电容值高，但耐压值受到 并联电容最低耐压值的限制.
2. 电容器的串联
特点 q1 q2 qn q
U U1 U2 Un
1 U U1 U2 Un
在电介质分子中，分布在分子中的正、负电荷 “重心”不重合的称为有极分子介质，而正、负电 荷“重心”相重合的分子，称为无极分子介质。
无极分子例如， CO2 H2 N2 O2 He 有极分子例如， H2O HCl CO SO2
电子云的 正电中心
17
1. 无极分子的位移极化
E
2. 有极分子的转向极化
E
3. 极化电荷（束缚电荷）
空气：r 1; 一般电介质： r 1; 导体：r .
3. 电介质的电容率 0 r
— 称电介质的 电容率 (介电常数) 。
空气： 0
14
4. 常用的充满电介质电容器的电容
(1) 平板电容器电容： C 0 r S S
d
d
(2) 球形电容器电容： C
4
0
r
RA RB RB RA
1
0
(
0
)
0 0 r
得：
(1
1
r
)0
q
(1
1
r
)
q0
19
§12-5 有介质时的高斯定理
一、有介质时的高斯定理
S E dS
qi
0
1
0
(q0
q)
电介质
S
1
0
[q0
(1
1r)q0
]
1
0
r
q0
S
0 r
E
dS
q0
0
导体
引入电位移矢量： D 0r E
上式得：
S D dS q0
20
E dl
A
求
U AB ；
(3) 由定义 C q UAB 计算 C 。
5
三、几种常见电容器的电容
1. 平板电容器
q
S
A
极板面积S ，间距 d ( S >> d 2 )
q
(1) 充电 q ；
E
d
B
则极板间场强为： E q （是均匀电场）
(2) 两极板间电势差：
(3) 由电容定义：C
0 0S
C q
U
2. 电容的单位：F（ 法拉 ） 1F 106 μF 1012pF
3. 注意： C 仅由导体本身的形状、大小和 0 决定。
例：用孤立导体球要得到1F 的电容，球半径为多大 ？
R 1 9109 m
4 0
1600 R地球
4
二、电容器的电容
电容器 — 由两个带等量异号电荷的导体构成的器件。
C
4
0
RA RB RB RA
(1) 若 d RB RA , d RA , RB ,
则：
C
4
0
RA RB RB RA
4
0
RA2 d
0S
d
可视为平板电容器的电容。
(2) 若 RB RA
C
4
0
RA RB RB RA
4
可视为孤立导体球的电容。
0
RA RB
RB (1
RA RB
)
4
0 RA
或 孤立导体球可视为一个极板在 处的球形电容器。
1. 电容器电容的定义
C q q U A UB U AB
其中 q — 极板上的电量； UAB — 两极板间的电势差(电压）。
２. 注意: C 仅与电容器两极板的形状大小、相对位置及内部
介质有关。
3. 电容器电容的计算步骤
(1) 给电容器充电 q，用高斯定理求 E ；
B
(2) 由 U AB
E E0 E E0
E0 E
q
电介质
实验得知： ★ 结论：
E E0
r
（变小）
在空间自由电荷分布不变的情况下，介质中的场强是
真空时该处场强的 1 倍。
r
16
§12-4 电介质的极化
一、电介质的极化 绝缘体都属于电介质。在这种物质中，不存在自
由电荷，但是在静电场的作用下，电介质的表面上 会出现电荷，称为极化电荷。电介质出现极化电荷 的现象，称为电介质极化。
的携带者是电荷, 两者等价. 但对于变化的电磁场, 只能说能 量的携带者是电场和磁场, 凡是场所在的空间就有能量的分 布.
例 1: 求半径为 R 、带电量为q 的均匀带电球体的静电能。
解：由高斯定理得： 均匀带电球体的场强
E内
4
qr
0R
3
E外
4
q
0
r
2
q
r
dr
R o
We
1 2
0
E
2dV
R 0
U AB ln( RB RA )
RA
L
B A RB
圆柱形电容器电容： C 2 0 L
ln( RB RA )
仅由 S , d , 0 决定，与其所带电量、极板间电压无关。
10
4）当电容器充满介质后
C rC0
称电容率， r 称相对电容率，r >1 §12-2 电容器的连接
1. 电容器的并联
特点 q q1 q2 qn
4
RA RB RB RA
(3) 圆柱形电容器电容： C 2 0 r L 2 L
ln( RB RA ) ln( RB RA )
★ 结论:
电容器的电容只决定于两极板的形状、大小、相对位置
和极板间的电介质的电容率。
15
5. 电介质中 的场强
E E0 E , E E0
且有： E E0 ,
1 2
0
E内2 dV
1
R2
0
E外2 dV
0 2
R 0
(
4
q
r 0R3
)2
4
r 2dr
0
2
(
R 4
q
0
r2 )24
r 2dr
3 q2
20 0R 27
例 2: 求半径为 R 、带电量为q 的均匀带电球面的静电能。
解： 由高斯定理得 E内 0 ,
E外
4
q
0r 2
We
1 2
0
E
2dV
例 3：球形电容器电容充电 q 时的电场能。
解：
E
4
q
r
2
( RA r RB )
q q
A RA
We
wedV
RB 1 E 2dV
RA 2
B RB
RB RA
1
2
(
4
q
r2 )24
r 2dr
q2
8
RB RA
dr r2
q 8
2
( RB RA) RARB
另解：球形电容器电容 C 4 RARB
( 0S
2Cq 2d2C0 0
) 2 0S
电场能增加
(2)
2d
外力做功
A外
d ΔWe
q2d
2 0 S
(3) 极板间吸引力 A F d ,
0 F
外力克服电场力 做正功
A q2
或 F qE q q2
d 2 0S
2 0 2 0S
31
例 5 在真空中有一个均匀带电球体, 半径为R,电
荷体密度为,求此带电系统的静电能.
4
q
0
r2
q RB dr q 1 1
U AB
4 0
RA
r2
()
4 0 RA RB
(3) 电容：
C
q U AB
4
0
RA RB RB RA
球形电容器电容：
C
4
0
RA RB RB RA
B
q q RB
RA A
仅由 S , d , 0 决定，与其所带电量、极板间电压无关。
7
★ 讨论： 球形电容器电容：
0 r E 2 V
E 2
V
2
2d
2
2
定义： we
1 E 2 为单位体积能量，称电场能量密度
2
一般情形：W
wedV
V
V
1E
2
2dV
V
1 2
DEdV
●说明:
(1) 电容器的能量表示表明, 电容器的能量与电场的存在
有关.
(2) 上式要比
We
1 CU 2具有更为普遍的意义. 2
大量实验事实表明: 电容器能量的携带者是电场. 对静电场, 也可认为能量
We
1 q2 2C
1 2
4
q2 RA
RB
RB
RA
q
8
2
(
RB RA RA RB
)
RB RA
30
例4: 平板电容器带电 q , 间距 d , 缓慢拉动两极板至 2d 。
求: (1) 电容器能量变化；(2) 外力做功；(3) 极板间吸引力。
解：(1)
q2 q2
2
ΔWe q2
( 0S
W
)2
W0 q2
计算 E
Ｔ０９－９
静电场的能量
一个带电体系所具有的静电能就是该体系所具有 的电势能，它等于把各电荷元从无限远离的状态聚 集成该带电体系的过程中，外界所作的功。
带电体系所具有的静电能是由电荷所携带呢，还 是由电荷激发的电场所携带？能量定域于电荷还是 定域于电场？在静电场中没有充分的理由，但在电 磁波的传播中能充分说明场才是能量的携带者。