非齐次边界条件定解问题求解

由原定解问题边界条件特点，欲使边界条件齐次 化，可假定：
W (x,t) X (x)sint
将u(x,t)=V(x,t)+X(x)sinωt代入定解问题中分析， 要使关于V(x,t)的定解问题成为齐次方程和齐次边 界条件，只需X(x)满足：
X
2
a2
X
0
X (0) 0, X (L) 1
13
2 x sin t, 0
L
0,V (L, t) 0
x
L, t
0
V
( x,
0)
0,Vt
( x,
0)
x
L
该问题可用齐次化原理或级数法求解!
12
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
但是，是否可以恰当选择W(x,t)，使关于V(x,t)的 定解问题成为齐次方程和齐次边界条件的定解问题？
注：上面定解问题边界条件是第一类的，如果是其它 情形，只需恰当设置待定多项式的形式，也可以求出 需要的W(x,t),具体过程如下：
6
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(1)、若边界条件为：
u x0 u1(t),ux xL u2 (t)
作代换：u(x, t) V (x, t) W (x, t)
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1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
应用举例
例3 求如下定解问题
u2txu20a32,
2u x2 u x
L
sin 6
2
l
x cos
2
l
x, (0
x
l,t
0)
u
t0
3(1
x ), u l t
t0
sin 4
l
x
解：令 u(x, t) V (x, t) W (x)
可将其分解为：
2V Vtx20
a2 V
2V x2 , (0 xL 0
x
L, t
0)
V
t0
W (x), V t
t0 0
a2W (x) A 0 W x0 0,W xL B
于是得：W (x)
A 2a 2
x2
AL 2a 2
B x L
18
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
0,
ut
(
x,
0)
0
令： u(x, t) V (x, t) W (x, t)
11
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
பைடு நூலகம்1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
由边界条件齐次化的多项式待定法可得：
W (x,t) x sin t
L
代入原定解问题得：
2V
V(t02 ,
t)
a2
2V x 2
2
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
具体过程：
(1)、作代换：
u(x, t) V (x, t) W (x, t)
(2)、将代换式代入定解问题中得：
Vtt Wtt a2Vxx a2Wxx f (x,t), (0 x L,t 0)
V x0 W x0 u1(t),V xL W xL u2 (t)
),Vt
t 0
sin
4
l
x
可将其分解为：
V2tVx20aV2
2V x2
xL
, (0 0
x
L,
t
0)
V
t0
3(1
x) l
W (x),
V t
t0
4 l
x
a2W (x) sin
2
l
x cos
2
l
x
0
W x0 3,W xl 6
于是得： W (x)
l2
32 2a2
sin 4
l
x 31
x l
24
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
由分离变量得一般解为：
W
( x, t )
1 L
u2 (t)
u1(t) x
u1(t)
将下式
u
V
u1
u2
u1 L
x
代入原定解问题中：
V2tVx20aV2
2V x2
xL
f1(x, t), (0 0
x
L, t
0)
**
V
t 0
1(x),
V t
t0 1(x)
5
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
所以，原定解问题的解为：
u( x, t )
A 2a 2
x2
AL 2a 2
B x L
Cn
n1
cos
na t sin
L
n
L
x
20
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(二)、分离变量法总结
1、适用范围 :
有界域上的波动、热传导定解问题和一些特殊区 域上的稳态场方程定解问题；
W
(x, t)
u1(t) x
u2 (t) u1(t) 2L
x2
9
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(4)、若边界条件为：
u 1ux x0 u1(t),u 2ux xL u2 (t)
作代换：u(x, t) V (x, t) W (x, t)
4、主要步骤 :
(1)、根据边界的形状选取适当的坐标系 。原则是 使边界条件表达式最简单。若边界是圆、扇形， 柱形，球形，要使用极坐标，柱面坐标和球坐标 表示定解问题；
(2)、若边界非齐次, 作函数代换化为齐次边界问题 ；
(3)、若定解问题是非齐方程、齐次边界条件， 采用函数分解方法将定解问题进行分解。分解后 考虑采用齐次化原理或固有函数值方法求解。
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
本次课主要内容
非齐次边界条件定解问题求解 (一)、边界条件齐次化方法 (二)、分离变量法总结
1
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(一)、边界条件齐次化方法
1、一般方法
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
由分离变量得一般解为：
V (x,t)
n1
C
n
cos
na L
t
Dn
sin
na L
t sin
n L
x
由初值条件得：
W (x)
Cn
n 1
sin
n
L
x
A
2a 2
x2
AL 2a 2
B x L
Cn
n1
sin
n
L
x
由傅立叶级数展开得：
19
1
0.5 n 0
0.5
V
t0 W
t0
( x),
V t
t0
W t
t0 (x)
3
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(3)、选择W(x,t)，使关于V(x,t)定解问题边界条件齐次！
由(2)、只要W(x,t)满足如下条件即可：
W x0 u1(t),W xL u2 (t) *
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例1、设弦的一端（x=0）固定，另一端（x=L）以sinωt
作周期振动，这里ω≠nπa/L(n=1,2…)且初值为零。试研
究弦的自由振动。
解：依题意，得定解问题
2u
t
2
a2
2u x2
,0
x
L, t
0
u(0, t)
0, u(L, t)
sint,
n a
L
u( x, 0)
将其代入定解问题中得：
23
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
Vtt
a 2Vxx
a2W (x) sin
2
l
x cos 2
l
x, (0
x l,t
0)
V x0 W x0 3,V xL W xL 6
V
t 0
W (x)
3(1
x l
L
L
原定解问题解为：
u(t,
x)
2aL
n1
(1)n1
(L)2 (n
a)2
sin
n at
L
sin
n x
L
sin
L
a
1
sin
x
a
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
2、特殊情形下齐次化方法
如果方程自由项和边界条件表达式均与t无关，则可以
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(3)、若边界条件为：
ux x0 u1(t),ux xL u2 (t)
作代换：u(x, t) V (x, t) W (x, t)
得W(x,t)需要满足的条件为：
Wx x0 u1(t),Wx xL u2 (t)
可令：W (x,t) A(t)x2 B(t)x
得W(x,t)需要满足的条件为：
W 1Wx x0 u1(t),W 2Wx xL u2 (t)
可令：W (x,t) A(t)x2 B(t)x
W (x, t)
1
1
u1 (t ) x
u2 (t)
1
1
u1 (t ) L2
2 1
u1 (t )
x2
10
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
讨论如下定解问题边界条件齐次化：
2u utx20
a2 u1
2u x 2
(t),u x
f
L
( x, t), (0 u2 (t)
x
L, t
0)
u
t0
(x), u
t
t0
(x)
采用未知函数代换法：u(x, t) V (x, t) W (x, t)
即：选择适当的W(x,t)，使关于V(x,t)定解问题边界条 件是齐次的。
W(x,t)如何选取？
W(x,t)的选取方式很多！下面采用多项式函数待定法 选择W(x,t)
令： W (x, t) A(t)x B(t)
由*可得：
A(t)
1 L
u
2
(t
)
u1
(t
),
B(t
)
u1(t)
4
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
于是得W(x,t)的一种选择式为：
2、基本要求 :
叠加原理要能够使用，并能够定出固有值问题.
3、主要方法 :
(1)、最基本的分离变量求解(要求齐次方程和齐次 边界条件或园域上的周期性条件); (2)、固有函数展开法(要求齐次边界条件或园域上 的周期性条件)。
21
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
2V
t 2
a2
2V x 2
V (t,0) V (t, L) 0
V (0,
x)
0,Vt (0,
x)
sin sin
x
a
L
a
由分离变量得：
V (t, x) 2aL
(1) n1
nat nx
sin sin
n1 (L)2 (na)2
t
0)
u t0
u t
t0
0
解：令 u(x, t) V (x, t) W (x)
将其代入定解问题中得：
17
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
Vtt a2Vxx a2W (x) A, (0 x L,t 0) V x0 W x0 0,V xL W xL B V t0 W (x) 0,Vt t0 0
令：
u(x,t) V (x,t) W (x)
可以把关于V(x,t)的定解问题直接化为齐次方程和齐次 边界条件。
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1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例2 求如下定解问题
2u utx20
a2 0,
2u x 2 u xL
A, (0 B
x
L,
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
求出X(x)的解为：
X
(
x)
cos
L
a
1
sin
x
a
于是
sin x
W ( x, t)
s in
a
L
sin t
a
将 u(x, t) V (x, t) W (x, t)
代入原定解问题中得：
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1
0.5 n 0
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
Cn
2 L
L A 0 2a2
x2
AL 2a 2
B L
x
sin
n
L
xdx
A
a2L
L x2 sin n
0
L
xdx
A a2
2B L2
L 0
x sin
n
L
xdx
2 AL2
a 2n3 3
2
n
a
AL2
2 n 2
2
B
c os n
作代换：u(x, t) V (x, t) W (x, t)
得W(x,t)需要满足的条件为：
Wx x0 u1(t),W xL u2 (t)
可令：W (x, t) A(t)x B(t)
W (x,t) u1(t)x u2 (t) u2 (t)L
8
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
得W(x,t)需要满足的条件为：
W x0 u1(t),Wx xL u2 (t)
可令：W (x, t) A(t)x B(t)
W (x,t) u1(t) u2 (t)x
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1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(2)、若边界条件为：
ux x0 u1(t),u xL u2 (t)
0.6 0.4 x 0.2
其中：
f1(x, t)
f ( x, t) u1
(t)
u2
(t) u1 L
(t)
x
1( x)
(x)
u1 (0)
u2 (0)
L
u1 (0)
x
1
(
x
)
( x) u1
(0)
u2
(0) u1 L
(0)
x
(**)属于齐次边界条件下的非齐次方程定解问题，可 用齐次化原理或级数法进一步求解！