美国人口模型预测

2014年数学建模论文

第一套

题目：人口增长模型的确定专业、姓名：自122

专业、姓名：赵世博

专业、姓名：

提交日期：2014.6.29

题目：基于马尔萨斯模型的美国人口预测一、摘要

本文基于美国1790--1980年常住人口数量，运用马尔萨斯模型，进行人口分析和预测，并依据人口增长率的大小分为高、中、低、三个预测方案，通过将预测值与实际值比较，选取偏差率较低的预测值，和预测方案，从而提升预测准确度。并通过matlab进行数据拟合，从而直观表现马尔萨斯模型的预测情况。

关键词：人口增长马尔萨斯模型

二、问题重述

1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。

表1 人口记录表

试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。如果数据不相符，对模型需要做些什么改进？

三、问题分析

从表中我们可以看到人口数在1790—19年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上述图表和我们学过指数函数的图表有很大的相似性，所以我们很自然想到建立指数模型。因此我们首先建立马尔萨斯模型

马尔萨斯模型

3-1 模型假设

（1）假设人口平稳增长，无大型灾害、战争等因素的影响。Nishi sb

（2）假设境内外迁移率对美国未来人口数量影响不计。

（3）假设人口净增长率为常数。

3-2 变量说明

N0 起始年人口容纳量

N t年后人口容纳量

t年份

r 增长率

3-3 模型建立与求解

设：t表示年份（选定初始年份的t=0），r表示人口增长率，N表示人口数量。记t时刻的人口数量为N(t)，当考察一个国家或一个很大地区的人口时，N(t)是很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将N(t)视为连续、可微函数。记初始时刻(t=0)的人口为N0，人口增长率为r，r是单位时间内N(t)的增量与N(t)的比例系数。根据r是常数的基本假设，于是N(t)满足如下的微分方程：

dN/dt=rN (3-1)

N(0)=N0 (3-2)

由这个线性常系数微分方程容易解出:

N(t)=N0e rt(3-3)

表明人口将按指数规律无限增长(r>0)。将以t年为单位，上式表明，人口以e r 为公比的等比数列增长。因为这时r表示年增长率，通常r<<1，所以可用近似关系e r≈1+r可得出

N(t)=N0(1+r)t即人口增长模型

在应用预测模型的过程中考虑到，若要提高预测结果的准确性，就必须增加预测方案的数量，对比各方案的预测值和误差，选取误差最低的一组预测方案。特别是马尔萨斯模型中，人口增长率r是一定时期内人口增加的综合结果，在预测中它的取值直接关系到预测结果的精度，因此在进行不同阶段的人口预测时根据实际情况对人口增长率r加以分类和处理才能得到理想的预测结果。本文根据1790-1980年计算美国常住人口每年的增长率，按照人口增长率r 的大小设置了高中低三个方案，以此加强预测结果的对比，提高预测的准确度。

图1 美国每10年自然增长率

通过表格和柱状图可以确定自然增长率高，中，低三个方案。通过数据分析可得，上述表格为10年的累计增长率，而自然增长率强调一年，所以可近似除以10求得，高方案中自然增长率为0.033，中方案中自然增长率为0.029，低方案中自然增长率为0.013

3-4 模型作图：

当自然增长率取高方案r=0.033时

图2 r=0.033时马尔萨斯模型曲线拟合当自然增长率取中方案r=0.029时

图3 r=0.029马尔萨斯模型曲线拟合

当自然增长率取低方案r=0.013时

图3 r=0.013马尔萨斯模型曲线拟合

根据上述分析，及曲线拟合可知，取中方案即r=0.029时，马尔萨斯模型更符合实际情况。因此本文自然增长率取r=0.029来预测美国人口数量并与实际情况对比。

3-5 分析检验

由预测公式预测1790-1980年的人口数量，由指数增长模型可得各个年份的真实值与预测值之间的差别如下表：（此时r=0.014）

通过调查得知1990-2010年人口数量统计如下表

通过上表发现，1790-1890指数增长模型确实拟合的比较好，但从1890年开始往后发现误差越来越大，可知指数增长模型只适合于短期的人口预测。为了生存以及人类的发展，人们自然会采取有效措施来控制人口的过度增长，自然资源、环境资源的条件也限制了人口数量的过度增长。因此为了使人口预报模型适合长期的发展趋势，更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型中关于人口增长率是常数这个基本假设了，这时必将导致更适合人类发展的规律的新数学模型的产生。

马尔萨斯模型改进

四、模型二阻滞增长模型

4-1模型假设

上述模型对过去的统计数据吻合得较好，但也存在问题，即人口是呈指数规律无止境地增长，此时人口的自然增长率随人口的增长而增长，这不可能。一般说来，当人口较少时增长得越来越快，即增长率在变大；人口增长到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小这是因为，自然资源、环境条件等因素不允许人口无限制地增长，它们对人口的增长起着阻滞作用，而且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。而且人口最终会饱和，趋于某一个常数x∞，我们假设人口的静增长率为r(1-x(t)/x∞)，即人口的静增长率随着人口的增长而不断减小，当t→∞时，静增长率趋于零。

4-2模型的建立与求解

按照这个假设，得到

⎪⎩⎪

⎨⎧=-=∞00

)()1(x

t x x x r dt

dx

(1) 这便是荷兰数学家Verhulst 于19世纪中叶提出的阻滞增长模型（logistic 模型）。

在MATLAB 命令窗口键入

dsolve(‘Dx=r*x*(1-x/c)’,’x(1790)=3.9’) 输出： ans=

c/(1+1/39*exp(-r*t)*exp(1790*r)*(10*c-39)) 其中c=x ∞。

因此，人口的变化规律为：

r

t e x x x )1790(3910)1(1--∞

∞-+= (2)

利用MATLAB 软件中的“curvefit ”命令和函数(2) 来拟合所给的人口统计数据，从而确定出(2)中的待定参数r 和x ∞。

查阅资料可得r （即a(2)）的初值取为小于1的数，比如取a=[200, 0.1]

时，得到

a =[311.9557 0.0280], y1 =267.1959，即(2)中的r=0.0280, x=311.9557，2010年美国的人口预计为267.1959百万人。这个结果还比较合理，当t 趋于无穷时，静增长率趋于零，人口数趋于311.9557百万人，即极限人口x ∞=311.9557

百万百万。拟合效果见图5，效果比前面两种情形都好。

4-3 模型作图