第2章-结构几何非线性
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第2章 20
若计轴x1 , x2 , x3分别对应x, y, z轴，u , v, w分别 为x, y, z方向的位移分量，则有工程符号表达 的 xx 和 xy为： u 1 u 2 v 2 w 2 xx 11 ( ) ( ) ( ) x 2 x x x u v u u v v w w xy 2 xy 212 ( ) y x x y x y x y
第2章 1
几何非线性问题至今尚未完全成熟，仍然 是一门正在迅速发展与完善的课题。这主 要表现在建立非线性有关基本方程方面存 在不同学派的争论，他们各有优缺点，并 未得到一个权威性的结论；由于大变形引 起载荷的变动（非保守系统）对方程与解 的影响问题研究很少，也无明确、相对肯 定的结论，大多数问题的局限在保守系统 内；大应变下，应变不可叠加性的讨论与 研究也不成熟；几何非线性解法发展尚处 在活跃阶段，尚未找到一种十分满意的适 应性广、收敛快的解法。
d i dxi ui , j dx j ( ij ui , j )dx j
第2章 19
2 ds 2 ds0 ( ij ui , j )dx j ( ik ui ,k )dxk dxi dxi
即有： ds ds ( ij ui , j )( ik ui ,k ) jk dxi dx j =（ui , j u j ,i uk ,i uk , j )dxi dx j 2 ij dxi dx j
1 2 2
第2章
29
l l0 u 2 v [(1 ) ( ) ] 1 l0 x x
1 2 2
u 2 u v [1 ( ) 2( ) ( ) ] 1 x x x 1 u u 2 v 2 1 [2( ) ( ) ( ) ] 1 2 x x x u 1 u 2 1 v 2 ( ) ( ) x 2 x 2 x
第2章 5
尤拉描述法（Eulerian Formulatlon） 独立变量是质点P当前时刻的位置xn+1与时 间tn+1。 现在用得最为广泛的是Lagriangian列式， 因此下面主要讲述T.L和U.L下几何非线性 有限元方程的建立。
第2章
6
三. 线弹性杆单元刚度矩阵建立的步骤 1.选择插值函数描述体内任一点的位移 u
1 e11， 12 2e12
第2章 26
2.杆元的几何运动方程
y (v)
j’
l
u
i’
i
o
l0
v
j
x (u)
第2章
27
u 1 u 2 1 v 2 ( ) ( ) x 2 x 2 x
线性项
非线性项
第2章
28
工程应变 可定义为： （l l0）l0
而在图示情形下： u v 2 l [(l0 l0 u u ) ( l0 v v ) ] x x u 2 v 2 1 l0 [(1 ) ( ) ]2 x x
第2章 2
二.变形体的运动描述
x2
tn t0=0 · Pn · P0 A0 An tn+1=tn+△tn · Pn+1
An+1
o
x1
x3
第2章 3
图示一变形体在to=0时有构形Ao，物体中一 质点Po的坐标为（x10，x20，x30)，在t=tn时， 物体有运动构形An，质点Po运动至Pn，在 时间tn+1=tn+△tn时，物体运动有构形An+1， 质点运动至Pn+1，对于变形体及其上的质点 运动状态，可以随不同的坐标选取有以下 几种描述方法：
P 杆元杆端力列向量； D 材料的弹性矩阵。
第2章 9
4. 根据势能驻值原理求单元刚度矩阵[k]
由势能驻值原理知： 0 则有： [k ]q P [k ] [ B] [ D][ B]dV
T v
第2章
10
四. 杆元非线性几何运动方程
1.变形体运动方程的一般描述
第2章
21
• Green应变张量与工程应变的关系 以11和12为例进行说明：
假定微元PQ初始位置在x1轴上，且P点在原点，则有； ds0 (dx1 , 0, 0), ds 02 dx12
2 ds 2 ds0 2 ij dxi dx j 211dx1dx1 211dx1dx1 211ds 02
2 动和刚体转动，因此可取 ds 2 ds0 作为单元变形的度
量。
第2章
18
ds dxi dxi
2 0 2
ds d i d i
i xi ui d i dxi dui dxi ui , j dx j
ui ui , j x j
ij dx j dxi
12描述了平面（x1，x2）上的工程剪应变 ，且： 212 sin 1 211 1 2 22
仅当 ，11， 22很小时，有： 212
第2章 23
Euler 描述－Almansi应变张量
x3
Q( xi dxi )
Q '(i di )
ds
P' (i )
求和约定
S a1 x1 a2 x2 a3 x3 ai xi ai xi am xm
i 1 3
即约定：若某一项的同一个下标出现2次且仅出现2次时， 就表示将该下标轮换取1，2，3时所得各项之和，这种约定成为求和约定。 同一项中重复一次的标号成为求和标号或哑标； 同一项中不重复出现的标号称为自由标号，它表示一般项， 可取其为1，2，3中的任一值。
第2章
14
x3
.
P(xi)
u
R
r
o x1
.
P’( i )
x2
第2章
15
如图所示，假定物体质点P在初始位置（未变形） 坐标用对应于固定轴x1，x2和x3的坐标xi (i 1, 2,3) 表示；同一质点在变形后的坐标用对应于x1，x2和x3 轴的 （ i i 1, 2,3)来表示。则Lagrange描述用xi 作为 独立变量，而Euler描述用坐标i作为独立变量。 且有： R r u 写成分量形式：
第2章
4
全拉格朗日列式法（ T.L列式法－ Total Lagrangian Formulation）。选取to=0时刻 未变形物体的构形Ao作为参照构形进行分 析。 修正的拉格朗日列式法（ U.L列式法－ Updated Lagrangian Formulation）。选取 tn时刻的物体构形An为参照构形。由于An随 计算而变化，因此其构形和坐标值也是变 化的，即与t有关。tn为非线性增量求解时 增量步的开始时刻。
u N q u 体内位移列向量； N 位移插值函数矩阵； q 节点位移列向量。
第2章 7
2. 根据几何方程及位移函数确定应变矩阵[B]
[ B]q 体内任一点应变； B 应变矩阵； q 节点位移列向量。
第2章 8
第2章 结构几何非线性
1.概述
在线弹性力学分析中，假定位移与应变关系是线 性的，且应变为小量，由此而得到线性几何方程。 当考虑位移与应变的非线性关系或采用大应变理 论（有限变形理论）则都属于几何非线性问题， 亦即非线性问题包括了大位移、小应变以及大位 移、大应变等问题，此时均导致几何运动方程成 为非线性。但材料的本构关系还是符合虎克定律， 结构的弹性稳定问题是结构非线性分析的内容之 一。
2 2 0
上式中的 ij 称为Lagrange应变张量或Green应 变张量，且有： 1 ij ( ij ui , j )( ik ui ,k ) jk 2 1 = （ui , j u j ,i uk ,i uk , j ) （i, j , k 1, 2,3) 2
第2章
12
Kroneker符号 ij
1 ij 0 或:
i j i j
时 时
ij＝ei .e j ei . e j .cos ij
第2章
13
连续体变形的描述方法
Lagrange法－用各质点在初始位置的坐标作为独立变量进 行描述。即以变形前的初Baidu Nhomakorabea构形为基准，然后确定它与变形 构形间的相对变形，导出的应变张量称为Green应变张量。 Euler法－用各质点位置的即时坐标或我们需要的时刻的坐 标作为独立变量进行描述。即以变形构形为基准，然后确定 其余初始构形间的相对变形，由此导出的应变张量成为 Almansi应变张量。 在连续介质力学中，变形体的运动描述仅分为Langrange和 Euler两种方法，UL列式法归结到Euler列式法中。
第2章 25
• Almansi应变张量与工程应变的关系 以e11和e12为例进行说明：
相应的工程正应变和工程剪应变分别为 1和 12， 可以推得：
1 1 1 2e11
2e12 sin 12 1 2e11 1 2e22 可见当e11 , e22和 12均很小时，则同样有：
i xi ui
第2章 16
Lagrange 描述－Green应变张量
x3
Q( xi dxi )
Q '(i di )
ds
P' (i )
ds0
P( xi )
O
x2
x1
第2章 17
图示两相邻点P和Q，变形前其坐标分别为xi 和xi dxi，
单元PQ的长度为ds0；变形后两点分别变位至P ' 和Q '， 其坐标分别为i 和i di，P ' Q '的长度变为ds。点P的 位移向量为ui。 很明显，若ds ds0，则单元没有变形，仅发生刚体平
3. 求单元的总势能∏
U W 1 T T T q ( [ B] [ D][ B]dV ) q q P v 2 1 T U 杆元的变形能，U q ( [ B]T [ D][ B]dV ) q； v 2 W－外力虚功，W q
T
P；
ds 2 (1 211 )ds 02 , ds 1 211 ds0
第2章
22
而PQ内工程应变1的几何意义为PQ沿x1轴方向的伸长量， 即有： ds ds0 1 1 211 1 ds0 仅当11很小时，1 1 211 1 1＋11－1＝11 故11描述了微元在平行于x1轴方向的伸长量。 同样可以推得：
ds0
P( xi )
O
x2
x1
第2章 24
2 ds 2 ds0 （ui , j u j ,i uk ,i uk , j )dxi dx j 2eij d i d j
上式中的eij 称为Euler应变张量或Almansi应 变张量，且有： 1 eij （ui , j u j ,i uk ,i uk , j ) （i, j , k 1, 2,3) 2 其典型项为： u1 1 u1 2 u2 2 u3 2 e11 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 u1 u2 u1 u1 u2 u2 u3 u3 2e12 ( ) 2 1 1 2 1 2 1 2
第2章
11
如式： a j b ji xi 中，j为自由标号，i为求和标号（哑标）， 该式可写为： a1 b11 x1 b12 x2 b13 x3 a2 b21 x1 b22 x2 b23 x3 a b x b x b x 3 31 1 32 2 33 3 或 a1 b11 b12 b13 x1 x a ＝ b b b 2 21 22 23 2 a b b b x 3 31 32 33 3
若计轴x1 , x2 , x3分别对应x, y, z轴，u , v, w分别 为x, y, z方向的位移分量，则有工程符号表达 的 xx 和 xy为： u 1 u 2 v 2 w 2 xx 11 ( ) ( ) ( ) x 2 x x x u v u u v v w w xy 2 xy 212 ( ) y x x y x y x y
第2章 1
几何非线性问题至今尚未完全成熟，仍然 是一门正在迅速发展与完善的课题。这主 要表现在建立非线性有关基本方程方面存 在不同学派的争论，他们各有优缺点，并 未得到一个权威性的结论；由于大变形引 起载荷的变动（非保守系统）对方程与解 的影响问题研究很少，也无明确、相对肯 定的结论，大多数问题的局限在保守系统 内；大应变下，应变不可叠加性的讨论与 研究也不成熟；几何非线性解法发展尚处 在活跃阶段，尚未找到一种十分满意的适 应性广、收敛快的解法。
d i dxi ui , j dx j ( ij ui , j )dx j
第2章 19
2 ds 2 ds0 ( ij ui , j )dx j ( ik ui ,k )dxk dxi dxi
即有： ds ds ( ij ui , j )( ik ui ,k ) jk dxi dx j =（ui , j u j ,i uk ,i uk , j )dxi dx j 2 ij dxi dx j
1 2 2
第2章
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l l0 u 2 v [(1 ) ( ) ] 1 l0 x x
1 2 2
u 2 u v [1 ( ) 2( ) ( ) ] 1 x x x 1 u u 2 v 2 1 [2( ) ( ) ( ) ] 1 2 x x x u 1 u 2 1 v 2 ( ) ( ) x 2 x 2 x
第2章 5
尤拉描述法（Eulerian Formulatlon） 独立变量是质点P当前时刻的位置xn+1与时 间tn+1。 现在用得最为广泛的是Lagriangian列式， 因此下面主要讲述T.L和U.L下几何非线性 有限元方程的建立。
第2章
6
三. 线弹性杆单元刚度矩阵建立的步骤 1.选择插值函数描述体内任一点的位移 u
1 e11， 12 2e12
第2章 26
2.杆元的几何运动方程
y (v)
j’
l
u
i’
i
o
l0
v
j
x (u)
第2章
27
u 1 u 2 1 v 2 ( ) ( ) x 2 x 2 x
线性项
非线性项
第2章
28
工程应变 可定义为： （l l0）l0
而在图示情形下： u v 2 l [(l0 l0 u u ) ( l0 v v ) ] x x u 2 v 2 1 l0 [(1 ) ( ) ]2 x x
第2章 2
二.变形体的运动描述
x2
tn t0=0 · Pn · P0 A0 An tn+1=tn+△tn · Pn+1
An+1
o
x1
x3
第2章 3
图示一变形体在to=0时有构形Ao，物体中一 质点Po的坐标为（x10，x20，x30)，在t=tn时， 物体有运动构形An，质点Po运动至Pn，在 时间tn+1=tn+△tn时，物体运动有构形An+1， 质点运动至Pn+1，对于变形体及其上的质点 运动状态，可以随不同的坐标选取有以下 几种描述方法：
P 杆元杆端力列向量； D 材料的弹性矩阵。
第2章 9
4. 根据势能驻值原理求单元刚度矩阵[k]
由势能驻值原理知： 0 则有： [k ]q P [k ] [ B] [ D][ B]dV
T v
第2章
10
四. 杆元非线性几何运动方程
1.变形体运动方程的一般描述
第2章
21
• Green应变张量与工程应变的关系 以11和12为例进行说明：
假定微元PQ初始位置在x1轴上，且P点在原点，则有； ds0 (dx1 , 0, 0), ds 02 dx12
2 ds 2 ds0 2 ij dxi dx j 211dx1dx1 211dx1dx1 211ds 02
2 动和刚体转动，因此可取 ds 2 ds0 作为单元变形的度
量。
第2章
18
ds dxi dxi
2 0 2
ds d i d i
i xi ui d i dxi dui dxi ui , j dx j
ui ui , j x j
ij dx j dxi
12描述了平面（x1，x2）上的工程剪应变 ，且： 212 sin 1 211 1 2 22
仅当 ，11， 22很小时，有： 212
第2章 23
Euler 描述－Almansi应变张量
x3
Q( xi dxi )
Q '(i di )
ds
P' (i )
求和约定
S a1 x1 a2 x2 a3 x3 ai xi ai xi am xm
i 1 3
即约定：若某一项的同一个下标出现2次且仅出现2次时， 就表示将该下标轮换取1，2，3时所得各项之和，这种约定成为求和约定。 同一项中重复一次的标号成为求和标号或哑标； 同一项中不重复出现的标号称为自由标号，它表示一般项， 可取其为1，2，3中的任一值。
第2章
14
x3
.
P(xi)
u
R
r
o x1
.
P’( i )
x2
第2章
15
如图所示，假定物体质点P在初始位置（未变形） 坐标用对应于固定轴x1，x2和x3的坐标xi (i 1, 2,3) 表示；同一质点在变形后的坐标用对应于x1，x2和x3 轴的 （ i i 1, 2,3)来表示。则Lagrange描述用xi 作为 独立变量，而Euler描述用坐标i作为独立变量。 且有： R r u 写成分量形式：
第2章
4
全拉格朗日列式法（ T.L列式法－ Total Lagrangian Formulation）。选取to=0时刻 未变形物体的构形Ao作为参照构形进行分 析。 修正的拉格朗日列式法（ U.L列式法－ Updated Lagrangian Formulation）。选取 tn时刻的物体构形An为参照构形。由于An随 计算而变化，因此其构形和坐标值也是变 化的，即与t有关。tn为非线性增量求解时 增量步的开始时刻。
u N q u 体内位移列向量； N 位移插值函数矩阵； q 节点位移列向量。
第2章 7
2. 根据几何方程及位移函数确定应变矩阵[B]
[ B]q 体内任一点应变； B 应变矩阵； q 节点位移列向量。
第2章 8
第2章 结构几何非线性
1.概述
在线弹性力学分析中，假定位移与应变关系是线 性的，且应变为小量，由此而得到线性几何方程。 当考虑位移与应变的非线性关系或采用大应变理 论（有限变形理论）则都属于几何非线性问题， 亦即非线性问题包括了大位移、小应变以及大位 移、大应变等问题，此时均导致几何运动方程成 为非线性。但材料的本构关系还是符合虎克定律， 结构的弹性稳定问题是结构非线性分析的内容之 一。
2 2 0
上式中的 ij 称为Lagrange应变张量或Green应 变张量，且有： 1 ij ( ij ui , j )( ik ui ,k ) jk 2 1 = （ui , j u j ,i uk ,i uk , j ) （i, j , k 1, 2,3) 2
第2章
12
Kroneker符号 ij
1 ij 0 或:
i j i j
时 时
ij＝ei .e j ei . e j .cos ij
第2章
13
连续体变形的描述方法
Lagrange法－用各质点在初始位置的坐标作为独立变量进 行描述。即以变形前的初Baidu Nhomakorabea构形为基准，然后确定它与变形 构形间的相对变形，导出的应变张量称为Green应变张量。 Euler法－用各质点位置的即时坐标或我们需要的时刻的坐 标作为独立变量进行描述。即以变形构形为基准，然后确定 其余初始构形间的相对变形，由此导出的应变张量成为 Almansi应变张量。 在连续介质力学中，变形体的运动描述仅分为Langrange和 Euler两种方法，UL列式法归结到Euler列式法中。
第2章 25
• Almansi应变张量与工程应变的关系 以e11和e12为例进行说明：
相应的工程正应变和工程剪应变分别为 1和 12， 可以推得：
1 1 1 2e11
2e12 sin 12 1 2e11 1 2e22 可见当e11 , e22和 12均很小时，则同样有：
i xi ui
第2章 16
Lagrange 描述－Green应变张量
x3
Q( xi dxi )
Q '(i di )
ds
P' (i )
ds0
P( xi )
O
x2
x1
第2章 17
图示两相邻点P和Q，变形前其坐标分别为xi 和xi dxi，
单元PQ的长度为ds0；变形后两点分别变位至P ' 和Q '， 其坐标分别为i 和i di，P ' Q '的长度变为ds。点P的 位移向量为ui。 很明显，若ds ds0，则单元没有变形，仅发生刚体平
3. 求单元的总势能∏
U W 1 T T T q ( [ B] [ D][ B]dV ) q q P v 2 1 T U 杆元的变形能，U q ( [ B]T [ D][ B]dV ) q； v 2 W－外力虚功，W q
T
P；
ds 2 (1 211 )ds 02 , ds 1 211 ds0
第2章
22
而PQ内工程应变1的几何意义为PQ沿x1轴方向的伸长量， 即有： ds ds0 1 1 211 1 ds0 仅当11很小时，1 1 211 1 1＋11－1＝11 故11描述了微元在平行于x1轴方向的伸长量。 同样可以推得：
ds0
P( xi )
O
x2
x1
第2章 24
2 ds 2 ds0 （ui , j u j ,i uk ,i uk , j )dxi dx j 2eij d i d j
上式中的eij 称为Euler应变张量或Almansi应 变张量，且有： 1 eij （ui , j u j ,i uk ,i uk , j ) （i, j , k 1, 2,3) 2 其典型项为： u1 1 u1 2 u2 2 u3 2 e11 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 u1 u2 u1 u1 u2 u2 u3 u3 2e12 ( ) 2 1 1 2 1 2 1 2
第2章
11
如式： a j b ji xi 中，j为自由标号，i为求和标号（哑标）， 该式可写为： a1 b11 x1 b12 x2 b13 x3 a2 b21 x1 b22 x2 b23 x3 a b x b x b x 3 31 1 32 2 33 3 或 a1 b11 b12 b13 x1 x a ＝ b b b 2 21 22 23 2 a b b b x 3 31 32 33 3