最优化计算方法课后习题答案高等教育出版社施光燕

习题二包括题目：P36页5（1）（4）

5（4）

习题三

包括题目：P61页1(1)(2); 3; 5; 6; 14；15(1)

1(1)(2)的解如下

3题的解如下

5,6题

14题解如下

14. 设22121212()(6)(233)f x x x x x x x =+++---, 求点在(4,6)T

-处的牛顿方向。

解：已知 (1)

(4,6)T x

=-，由题意得

121212212121212(6)2(233)(3)()2(6)2(233)(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +++-----⎛⎫

∇= ⎪+++-----⎝⎭

∴ (1)1344()56g f x -⎛⎫

=∇=

⎪⎝⎭

21212122211212122(3)22(3)(3)2(233)()22(3)(3)2(233)22(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +--+--------⎛

⎫∇= ⎪

+--------+--⎝⎭

∴ (1)2(1)1656()()564G x f x --⎛⎫

=∇=

⎪-⎝⎭

(1)1

1/8007/400()7/4001/200G x --⎛⎫

= ⎪--⎝⎭

∴ (1)(1)11141/100()574/100d G x g -⎛⎫

=-=

⎪-⎝⎭

15（1）解如下

15. 用DFP 方法求下列问题的极小点

（1）22

121212min 353x x x x x x ++++

解：取 (0)

(1,1)T x

=，0H I =时，DFP 法的第一步与最速下降法相同

2112352()156x x f x x x ++⎛⎫∇= ⎪++⎝⎭， (0)(1,1)T x =，(0)

10()12f x ⎛⎫∇= ⎪⎝⎭

(1)0.07800.2936x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭， (1)

1.3760() 1.1516f x ⎛⎫∇= ⎪-⎝⎭

以下作第二次迭代

(1)(0)

1 1.07801.2936x x

δ-⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭， (1)(0)

18.6240()()13.1516f x f x γ-⎛⎫=∇-∇= ⎪-⎝⎭

0110

111011101

T T T T

H H H H H γγδδδγγγ=+-

其中，111011126.3096,247.3380T T T

H δγγγγγ===

11 1.1621 1.39451.3945 1.6734T δδ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ， 01101174.3734113.4194113.4194172.9646T T

H H γγγγ⎛⎫

== ⎪⎝⎭

所以

10.74350.40560.40560.3643H -⎛⎫= ⎪-⎝⎭

(1)(1)1 1.4901()0.9776d H f x -⎛⎫=-∇= ⎪⎝⎭

令 (2)

(1)

(1)

1x

x d α=+ ， 利用 (1)(1)()

0df x d d αα

+=，求得 10.5727α=-

所以 (2)(1)(1)0.77540.57270.8535x x d ⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭ ， (2)

0.2833()0.244f x ⎛⎫∇= ⎪-⎝⎭

以下作第三次迭代

(2)

(1)

20.85340.5599x

x δ⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭ ， (2)(1)

2 1.0927()()0.9076f x f x γ-⎛⎫=∇-∇= ⎪⎝⎭

22 1.4407T δγ=- ， 212 1.9922T H γγ=

220.7283

0.47780.4778

0.3135T δδ-⎛⎫

=

⎪-⎝⎭

1221 1.39360.91350.91350.5988T H H γγ-⎛⎫

= ⎪-⎝⎭

所以

22122121222120.46150.38460.38460.1539T T T T H H H H H δδγγδγγγ-⎛⎫

=+-= ⎪-⎝⎭

(2)(2)20.2246()0.1465d H f x ⎛⎫

=-∇= ⎪-⎝⎭

令 (3)

(2)

(2)

2x

x

d

α=+ ， 利用

(2)(2)()

0df x d d αα

+=，求得 21α= 所以 (3)(2)(2)11x x d ⎛⎫=+=

⎪

-⎝⎭

， 因为 (3)

()0f x ∇=，于是停止 (3)(1,1)T x =-即为最优解。

习题四

包括题目： P95页 3；4；8；9(1)；12选做；13选做 3题解如下

3.考虑问题21),(2)(min 21x x x f s

x x -=∈，其中

{}{

}

.10,1),(1),(21212

22121≤≤≤≤+=x x x x x x x x S T T

（1）画出此问题的可行域和等值线的图形；

（2）利用几何图形求出此问题的最优解及最优值；

（3）分别对点,)1,0(,)0,0(,)1,1(,)0,1(4

3

2

1

T

T

T

T

x x x x -==-==指出哪些约束是紧约束和松约束。 解：（1）如图所示，此问题的可行域是以O 点为圆心，1为半径的圆的上半部分；等值线是平行于直线x 2=2x 1的一系列平行线，范围在如图所示的两条虚线内。

（2）要求f 的最小值，即求出这一系列平行线中与x 2轴相交，所得截点纵坐标的最大值。显然当直线在虚线1的位置，能取得极值。如图求出切点⎪⎭

⎫ ⎝⎛-

51,52P ，此点即为最优解T

x )5

1,52(-

=*，解得最优值5-=*f

（3）对于区间集S 可以简化为g 1:012

22

1≥--x x

g 2:02≥-x

对于点T

x )0,1(1

=，g 1和g 2均为该点处的紧约束； 对于点T

x )1,1(2

-=，g 1和g 2均为该点处的松约束；

P

O 1

x 1

x 2

x 2=2x 1

x

1

1/2

虚线1