数值分析第三章函数逼近与曲线拟合习题答案

第三章 函数逼近与曲线拟合

1． ()sin

2f x x π=，给出[0,1]上的伯恩斯坦多项式1(,)B f x 及3(,)B f x 。

解： ()sin ,2f x π

=Q [0,1]x ∈

伯恩斯坦多项式为

(,)()()n n k k k B f x f P x n ==∑ 其中()(1)k n k k n P x x x k -⎛⎫=- ⎪⎝⎭

当1n =时， 01()(1)0P x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 1101()(,)(0)()(1)()

1(1)sin(0)sin 022P x x

B f x f P x f P x x x x

ππ=∴=+⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭

=

当3n =时， 3

022122233

31()(1)01()(1)3(1)03()(1)3(1)13()3P x x P x x x x x P x x x x x P x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭

⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭

⎛⎫== ⎪⎝⎭

330

223223

3223

(,)()()03(1)sin

3(1)sin sin 6323(1)(1)232

1.50.4020.098k k k B f x f P x n x x x x x x x x x x x x x x x x πππ=∴==+-+-+=-+-+=+≈--∑g g 2． 当()f x x =时，求证(,)n B f x x =

证明：

若()f x x =，则

0(,)()()n

n k k k B f x f P x n ==∑ 00111(1)(1)11

(1)(1)(1)(1)!(1)[(1)(1)1](1)(1)!1(1)

11(1)

1[(1)]n

k n k

k n k n k

k n k n k k n k n k k n k n k k n n k x x k n k n n n k x x n k n n k x x k n x x k n x x x k x x x x

-=-=-=-=----=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭

--+=-----+=---⎛⎫=- ⎪-⎝⎭

-⎛⎫=- ⎪-⎝⎭

=+-=∑∑∑

∑∑L L 3．证明函数1,,,n

x x L 线性无关

证明：

若20120,n n a a x a x a x x R ++++=∀∈L 分别取(0,1,2,,)k

x k n =L ，对上式两端在[0,1]上作带权()1x ρ≡的内积，得

0101

010211111n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭

++L M O M M M L Q 此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异， ∴只有零解a=0。

∴函数1,,,n x x L 线性无关。

4。计算下列函数()f x 关于[0,1]C 的1,f f ∞与2f ：

3(1)()(1),[0,1]

1(2)(),2f x x x f x x =-∈=-

(3)()(1),m n f x x x =-m 与n 为正整数，

10(4)()(1)x f x x e -=+

解：

(1)若3()(1),[0,1]f x x x =-∈，则

2()3(1)0f x x '=-≥

∴3()(1)f x x =-在(0,1)内单调递增

{}{}01

max ()max (0),(1)max 0,11

x f f x f f ∞≤≤====

{}{}01

max ()max (0),(1)max 0,11

x f f x f f ∞≤≤====

1

16

2

20

1

72

((1))

1

1

[(1)]

7

7

f x dx

x

=-

=-

=

⎰

(2)若[]

1

(),0,1

2

f x x x

=-∈，则

01

1

10

1

1

2

1

max()

2

()

1

2()

2

1

4

x

f f x

f f x dx

x dx

∞≤≤

==

=

=-

=

⎰

⎰

1

12

2

20

1

12

2

(())

1

[()]

2

f f x dx

x dx

=

=-

=

⎰

⎰

(3)若()(1),

m n

f x x x

=-m与n为正整数当[]

0,1

x∈时,()0

f x≥

11 11

()(1)(1)(1)

(1)(1)

m n m n m n

f x mx x x n x

n m

x x m x

m

----

'=-+--

+

=--

当(0,)

m

x

n m

∈

+

时,()0

f x

'>

∴()

f x在(0,)

m

n m

+

内单调递减

当(,1)

m

x

n m

∈

+

时,()0

f x

'<

∴()

f x在(,1)

m

n m

+

内单调递减。