现代控制理论+23+系统的传递函数矩阵 (1)

G21 (s

)
G22 (s)


G2 p (s)U2 (s)

Yq (s) Gq1(s) Gq2 (s) Gqp (s)U p (s)
Y1(s) = G11(s)U1(s)+ G12 (s)U2 (s)++ G1 j (s)U j (s)++ G1p (s)U p (s)
前页
一、定义及表达式
零初始条件下，输出向量的拉氏变换式与输入向量 的拉氏变换式之间的传递关系——传递函数矩阵。
x(t) = Ax(t)+ Bu(t) ⇒ sX(s) = AX(s)+ BU(s) y(t) = Cx(t)+ Du(t) ⇒ Y(s) = CX(s)+ DU(s)
∴ X(s) = (sI − A)−1BU(s) ∴ Y(s) = C(sI − A)−1BU(s)+ DU(s) = G(s)U(s)
∴ X(s) = (sI − A)−1BU(s)
∴ Y(s) = C(sI − A)−1BU(s)+ DU(s) = G(s)U(s)
q× p
G(s) = C(sI − A)−1B + D
Y1(s) G11(s) G12 (s) G1p (s)U1(s)
Y2 (s)

=
现代控制理论提纲
线性连续系统 线性离散系统
可控性 可观性 稳定性
建立 状态空间
建模 表达式 求解
转换
分析
状态反馈
设计 状态观测器
最优控制
返回
第二章 线性系统的状态空间描述
§1 状态空间表达式及其建立方法 §2 线性连续时不变系统状态方程的解 §3 系统的传递函数矩阵 §4 线性系统状态空间模型的线性变换 §5 线性离散系统的状态空间模型
,

y1 y2

=
1 0
0 x1
1

x2

1
G(s)
=

s
0
1
s(s +
1
2)

s + 2
求传递函数矩阵 的表达式
A = [0 1; 0 -2]; B = [1 0; 0 1]; C= [1 0; 0 1]; D = 0; sys = ss(A,B,C,D) tf (sys)
=
1 0
0 x1
1

x2

1
解:
(sΙ
−
)A -1
=
s 0
G(s) = C(sI − A)−1B + D
−1 s + 2
−1
=

s
0
1
s(s +
1
2)

s + 2
1 1
1 1
=
1 0
0 1

s 0
s(s +


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y1 y2

=
1 0
0 x1
1

x2

1 1
解:
G(s) = C(sI − A)−1B + D
=

s
u1 → y1 u2 → y1
0
s(s +
1
2)

s + 2
1
Y1 Y2

=

s
0
1
s(s +
1
1
2)

1 0
s + 2
0 1
=

s

0
s(s +
1
2)

s + 2
传递 函数 组成 的矩 阵！
一、定义及表达式
零初始条件下，输出向量的拉氏变换式与输入向量 的拉氏变换式之间的传递关系——传递函数矩阵。
x(t) = Ax(t)+ Bu(t) ⇒ sX(s) = AX(s)+ BU(s) y(t) = Cx(t)+ Du(t) ⇒ Y(s) = CX(s)+ DU(s)
2)

U1 U 2

s + 2
u1 → y2 u2 → y2
Y1
=
1 s
U1
+
1
s(s +
2)U2
Y2
=
s
1 +
2U2
MATLAB 相关函数
x1

x2

=
0 0
1 − 2

x1 x2

+
1 0
0 1
u1 u2
Yi (s) = Gi1(s)U1(s)+ Gi2 (s)U2 (s)++ Gij (s)U j (s)++ Gip (s)U p (s)
Yq (s) = Gq1(s)U1(s)+ Gq2 (s)U2 (s)++ Gqj (s)U j (s)++ Gqp (s)U p (s)
Gij (s) =
Yi (s) U j (s)
,
i = 1,2,, q;
j = 1,2,,p
第 j 个输入与第i 个输出之间的传递函数。
例：已知系统的状态方程，求系统的传递矩阵。
x1

x2

=
0 0
1 − 2

x1 x2

+
1 0
0u1
1
u2
返回
Transfer function from input 1 to output... 1
#1: s
#2: 0
Transfer function from input 2 to output... 1
#1: --------s^2 + 2 s
1
#2: -----
s+2
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G(s) = C(sI − A)−1B + D = C(sI − A)*B + D
sI − A
例：已知系统的状态方程，求传递函数矩阵。
x1

x2

=
0 0
1 − 2

x1 x2

+
1 0
0u1
1
u2


y1 y2