正规子群判别

推论1 设G 为群， H 是G 的正规子群．则 (1) 商群G/ H的单位元是 eH(H) ;
(2) 在 G/ H中a H 的逆元是 a 1H ．
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推论2 设 G 为群，H 是 G 的任一子群． 如果 G 是 交换群， 则商群 G/ H 也是交换群．
由于H 在 G 中的指数[G : H ] 就是 H 在 G 中的陪集
K S4
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三、正规子群有下列简单性质
定理2.2.2 设G 为群，H1, H2 是G 的正规子群． 则 H 1 H2与 H 1H2都是 G 的正规子群．
定理2.2.3 设G 是群，H 是G 的一个正规子群，H 的所有陪集组成的集合G /H { a H |a G }关于陪集的 乘法a H b H (a b)H 构成群．
同理有HaaH． 所以 aHHa．因此 H G
由于[Sn:An]2,由此例可知，n 次交代群 A n 是次
对称群S n 的正规子7群．
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二、正规子群的判别
定理2.2.1设G 是群，H 是G 的子群． 则下列四 个条件等价:
(1) H 是G 的正规子群; (2) 对任意的 aG， 有 aHa1H; (3) 对任意的 aG，有 aHa1H; (4) 对任意的aG，有aha1H．
{ a ,b ,c ,d } { 1 ,2 ,3 ,4 } ．则 (( a )( b ) ) (( c )( d ) ) .
因为 可逆，所以 ( a ) , ( b ) , ( c ) , ( d )互不相同，且
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( a ) ,( b ) ,( c ) ,( d ) { 1 , 2 , 3 , 4 } ， 所以1K，由此得
例6
在S
中， 令
4
K { ( 1 ) , ( 1 2 ) ( 3 4 ) , ( 1 3 0 ( 2 4 ) , ( 1 4 ) ( 2 3 ) } .
证明:K 是的正规子群．
证 易知 K 是 S 4 的子群.下面证,对任意的 a S4 ,
K，有 1K
(1) 如果 (1)， 则显然有 (1)1(1)． (2) 如果(ab)(cd)，其中 a,b,c,d 互不相同，且
6
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例5 设 G 为群，H 是G 的子群． 如果 H 在 G 中
的指数[G:H2]， 则 H 是 G 的正规子群． 证 对任意aG,若 aH,则 a H H H a .若aH ，
则 a H 与 H 是 G 的两个不同的陪集.因 [G:H2] ,故
GHaH． 同理有 GHH a． 因为aH H,而a H G HH a ,所以 aHHa．
所以G/ H 中每个元素 a H 都有逆元 a 1H ． 这就证明了 G/ H 是一个群．
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四、商群的定义与性质
定义2.2.2 设G 为群，H 是G 的正规子群． H 的
所有陪集关于 G/ H由(2.2.1)式所规定的运算构成的 群称 G 为群 H 关于子群的商群 ( quotient group）， 仍记作 G/ H．
例4 设 H , K 都是G 的子群.如果H 是G 的正规子 群且HK， 则 H 也是 K 的正规子群．
证 显然 H 是 K 的子群． 因 H 是 G 的正规子群， 所以对任意的 aG ,有 aHHa.特别,对任意的 aK， 由于 KG, 所以也有 aHH .a从而H 也是K 的正规 子群．
有9个元素.而
1H9，
这与
|
H
| 6 矛盾.
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例12 设 G 为有限交换群，| G| n ． 证明: 对 n 的任一素因子 p , G 必有阶为 p 的元素．
证 对n 用归纳法． 首先， 当n 2 时， 结论显然成立． 假设结论对所有阶小于 n 的交换群成立,考察阶为
， 则 H Z． 易知， a H b H m |a b . 由此推出， H 的全体陪集为 00H{zm| zZ},
11H{1zm| zZ}, ............. m1(m1)H{(m1)zm| zZ}.
显然，Z 关于 m 的商群Z/m就是 Z 关于模m 的
例8 设Q * 是所有非零有理数构成的乘法群， H{1,1,}，则H Q．* 对任意的 a Q ，* 有 aH{a,a ．}所以 Q */H { a H |a 0 ,a Q } .显然，Q * / H 是无限群．
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例9 设GZ，m为任一大于1的正整数．令 H m
((4)(1)) 对任意的aG，hH， 有aha1H,所以
ah(aha1)a H a从而aHHa． 反之,对任意的 aG，hH,有
a 1 h aa 1 h (a 1) 1 H .所以 haaH， 从而HaaH．
于是aHHa，由此得 H G ．
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n 的交换群 G ， 并设p为n 的任一素因子．
任取aG,ae， 设 ordar ．
（1）如果 r pk,则 ord ak p， 结论成立．
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（2）如果p不整除r,令Ha.则为的正规子群
(见例3),且商群G/ H为交换群(推论2).而|G /H | n /r n 且因p不整除r,所以 p | n .从而由归纳假设知， 存在
Байду номын сангаас
8
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证 ((1)(2))因为H G，所以对任意的 aH ， 有 aHHa． 因而 a H a 1 (H a ) a 1 H ( a a 1 ) H .
((2)(3))因为 aHa1H ， 所以显然有aHa1H． ((3)(4))由于aHa1H,所以对任意hH有aha1H．
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(3)对每个aG,有
e H a H ( e a ) H a H ( a e ) H a H e H .
所以 eH(H为) G/ H 的单位元． (4) 对任意的 aHG/H,有 a1HG/H ， 且
a 1 H a H ( a a 1 ) H e H a a 1 H a H a 1 H .
(123) H H H (123);
(132) H H H (132);
(23) H (12) H H (23);
(13) H (12) H H (13).
所以对每个a S3 ,都有aHHa.从而H 是 S 3 的一个正规 子群．
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但对子群 H 1{(1),(12)}， 因为(13)H 1H 1(13)． 所 以 H 1 不是 S 3 的正规子群．
例3 如果 G 是交换群,则G 的一切子群都是 G 的 正规子群．
证 因为a H { a h |h H } H a , a G .所以 H G ．
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§2.2正规子群与商群
一、正规子群
定义2.2.1
例1
---正规子群 例2
例3 例4 例5
二、正规子群的判别 定理2.2.1 ---子群的等价条件 例6
三、正规子群的性质 定理2.2.2 定理2.2.3
四、商群的定义与性质
定义2.2.2 例7
---商群
例8
例9
例10
例11 例12
1
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ahha对H 中所有的元素h 都成立． 正确的理解应该
是: 对任意的hH， 存在 hH， 使 ahha ．
2
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例1 由正规子群的定义容易知道， 群的单位元 子群{ e } 和群G 本身都是G 的正规子群． 这两个正规子 群称为G 的平凡正规子群． 如果G 只有平凡的正规子 群， 且 G {e}，则称 G 为单群 ( simple group)．
3
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例2 在 S 3中， 设子群 H { ( 1 ) ,( 1 2 3 ) ,( 1 3 2 ) } .这时，
(1)H H H(1); (12)H {(12),(23),(13)}; H(12) {(12),(13),(23)}.
所以 (12)HH (12).同样可得
剩余类加群 Z m ， 因此我们有 Z/ mZm
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例10 设 G Z 1 8,K 6 , 则
G / H { 0 H , 1 H , 2 H , 3 H , 4 H , 5 H } 1 H .
由于这是一个阶为6的循环群， 所以 G/HZ6. 例11 证明: 在 A 4 中， 不存在6阶的子群．
r
bH G /H 使 ordbHp． 则bp H． 于是b pr e ．由于 p不整除r,所以(bH)r H,即br H ， 于是b r e ． 而
(br )p e ， 所以 ord br p ． 由归纳法原理知结论成 立.
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同理可证abHabH,由此知定义的乘法是上G 的代数运 算．
(2)对任意的a,b,cG， 有
(a H b H )c H (a b H )c H ((a b )c )H (a (b c ))H a H (b c )H a H (b H c H )
所以结合律成立．
的个数， 所以 G/H[G:H]．
G
当G 是有限群时，G/H [G:H] H . 由此推出 推论3 有限群G 的商群的阶是群 G 的阶数的因子．
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例7 在S 3 中， 设 H { ( 1 ) ,( 1 2 3 ) ,( 1 3 2 ) } .则由例2知， H 是 S 3 的正规子群． 而商群 G/ H含有两个元素，(1) H 和 (12)H，所以 G /H { ( 1 )H ,( 1 2 )H } .
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证 (1)若a H a H ,b H b H ,则a1a H ,b1b H. 因此
a H b H a b H a ( a 1 a ) b H a H b H a b H a b ( b 1 b ) H a b H .
证 假设 A 4 有一6阶子群 H ， 则由例6知，H 为的A 4
的正规子群.而 | A4/H|2.所以对任意的 H ,
2H(H)2H,即2 H．易知
{ 2 A 4 } { ( 1 ) , ( 1 2 3 ) , ( 1 3 2 ) , ( 1 2 4 ) , ( 1 4 2 ) , ( 1 3 4 ) , ( 1 4 3 ) , ( 2 3 4 ) , ( 2 4 3 ) }
一、正规子群的定义
定义2.2.1 设H 是群 G 的子群， 如果对每个aG，
都有aHHa则称H 是群G 的一个正规子群（subgroup）
或不变子群( invariant subgroup)， 记作H G．
注 在上述定义中， 条件 aHHa仅仅表示两个
集合a H 与 H a相等.不要错误地认为由 aHHa可推出