运筹学线性规划模型与图解法

2.1.3 线性规划模型的图解法（适用于2个
变量的一般型） 一、线性规划问题的解的概念
设线性规划问题的一般型为
（1）可行解：满足全部约束条件的决策变量X为可行解； 全部可行解的集合R称为可行解域。
（2）最优解：使目标函数为最大（或最小）的可行解X*。
二、线性规划的图解法
图解法步骤：
1、根据约束条件画出可行解域； （1）先作非负约束 （2）再作资源限制约束 （3）各约束的公共部分即该LP的约束的图形（可行域） 2、画出目标函数的等值线； （1）任给z两个不同的值，作相应两条直线 （2）将目标直线向增大的方向移，直至可行域的边界，
9x1 + 4x2 ≤360 s.t. 4x1 + 5x2 ≤200 ——约束条件
3x1 +10x2 ≤300 x1，x2≥0
（２）配料问题 如何合理地搭配（混合）材料，以最 经济的方式，达到配比要求。
例2：（营养配餐问题）假定一个成年人每天 需要从食物中获得3000千卡的热量、55克蛋白 质和800毫克的钙。如果市场上只有四种食品 可供选择，它们每千克所含的热量和营养成分 和市场价格见下表。问如何选择才能在满足营 养的前提下使购买食品的费用最小？
0
无有限最优解（无界解）
4
x1
x2
1
不存在所有约束条件的
0
1
2
x1
公共范围
-1
无可行解
小结： 1、线性规划问题
2、两个重要结论
1）线性规划的可行域是凸多面体。 2）线性规划的最优解在可行域的角点（顶点）上。
凸多面体
角点 （顶点）
凸多面体
凹多面体
思考题：约束条件不等式的几何意义是什么？ 怎样做图？
二、 LP模型的一般式
一般地，线性规划模型：
1、决策变量：x1,…,xn 2、目标函数： 3、约束条件：
简记为：
n
max(min)Z cj x j j 1
n
aij x j
(, )bi
j1
i 1, 2, , m
xj ()0 j 1, 2, , n
三、LP模型的矩阵式
表示为：
例如：
各种食物的营养成分表
解：设xj(j=1,2,3,4)为第j种食品每天的 购入量，z为每天购买食品的总费用，则 配餐问题的线性规划模型为：
min z=14x1+6x2 +3x3+2x4 1000x1+800x2 +900x3+200x4 3000 50x1+ 60x2 + 20x3+ 10x4 55 400x1+200x2 +300x3+500x4 800 x1,x2 ,x3 ,x4 0
目标函数等值线 l1
100
x1
l3
l2
（2）在模型（1）中，目标函数改为
max z=3x1+10x2，其它不变。
X2
易知，目标函数等值
线与直线l3平行。
90
故线段AD上的点均为 最优解。 有无穷多最优解
40
AD
30
0
40 50
l1
100 l3 X1 l2
x2
可行域无界，在可行域上没
有使目标函数值为有限的最 优解。
交点X*即最优解。 3、求出最优解。
由交点二直线联立求解出最优解X* 的值。
例1 用图解法求解下列线性规划问题。 x2
90
X*
有唯一最优解（顶点D） 解直线l2,l3组成的线性方 程组得：
40
可行域
D
30
X*=(20,24)T ——最优生产方案 Z*=7×20+12×24=428 ——最大收入
0
40 50
xj 0(j=1,2,3,4,5)
2.1.2 线性规划的模型
一、LP模型的三要素 规划问题的数学模型包含三个组成要素：
（1）决策变量：指决策者为实现规划目标采 取的方案措施，是问题中要确定的未知量。
（2）目标函数：指问题要达到的目的要求， 表示为决策变量的函数。
（3）约束条件：指决策变量取值时受到的各 种可用资源的限制，表示为含决策变量的等 式或不等式。
练习1：某畜牧厂每日要为牲畜购买饲料以使其获取A、
B、C、D四种养分。市场上可选择的饲料有M、N两种。 有关数据如下：
饲料
售价
M
10
N
4
牲畜每日需要量
每公斤含营养成分
A
B
CD
0.1 0
0.1 0.2
0 0.1
0.2 0.1
0.4 0.6
2.0 1.7
试决定买M与N二种饲料各多少公斤而使支出的总费用 为最少？
解：设xj(j=1,2,3,4,5)为采用第j种方案截 取的原料根数，z为截取后的余料总米数， 则下料问题的线性规划模型为：
min z=0x1+0.1x2 +0.2x3+0.3x4+0.8x5
x1+2x2
+ x4
200
2x3+ 2x4 + x5 200
3x1+ x2 +2x3
+3x5 200
第２章 线性规划
2.1 线性规划的模型与图解法 2.2 单纯形法 2.3 对偶问题与灵敏度分析 2.4 运输问题
2.1 线性规划的模型与图解法
2.1.1 问题的引入 （１）生产安排问题 如何合理使用有限的人力、物力和资金， 使得收到最好的经济效益。
例1：某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗煤、 电、油三种资源。现将有关数据列表如下：
（3）下料问题
如何截取原材料，在达到截取要求的 情况下，使废料最少。
例3：料长7.4米，截成2.9、2.1、1.5米各 200根,方案如下表。如何截取余料最少？
方案 料型
2.9米 2.1米 1.5米
合计 残料
1
2
1
2
0
0
3
1
7.4 7.3 0 0.1
3
4
5
0
1
0
2
2
Baidu Nhomakorabea
1
2
0
3
7.2 7.1 6.6 0.2 0.3 0.8
资源单耗 资源
产品
甲乙
煤
9
4
电
4
5
油
3 10
单位产品价格 7 12
资源限量
360 200 300
试拟订使总收入最大的生产方案。
甲
煤(t)
9
电（kw·h)
4
油（t）
3
单价（万元）
7
乙
资源限量
4
360
5
200
10
300
12
解：设甲乙产品产量分别为x1和x2 kg，——决策变量 总收入为z万元。
则 max z = 7x1 +12x2 ——目标函数