二倍角的正弦余弦正切公式微课
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1 tan tan
探究：你能用以上公式推导出 sin 2，cos 2，tan 2
的公式吗？
分析：令 =，代入上述三式可得.
二倍角正弦、余弦、正切公式的推导
sin（+） 2sin cos
即sin 2 2sin cos. 二倍角的正弦公式. 简记为 S2 .
cos 2 co（ s ) cos2 sin2
4.已知tan2 = 1 ,求 tan的值.
3
解：tan2
=
2tan 1-tan2
1 3
tan2 6 tan 1 0，
tan 3 10.
5.已知tan 1 , tan 1 ,求 tan（ +2）的值.
7
3
提示:先求出tan2
=
3 4
,
再利用tan（ +2）= tan +tan2 1-tan tan2
1 cos 2 2sin2
cos2 1 cos 2 2
降幂升角公式
sin2 1 cos 2
2
二倍角公式的应用
例1.已知sin 2 5 , ，
13 4
2
求 sin 4，cos 4，tan 4的值.
分析：先求sin 2,cos2的值，再利用公式求值.
解：由 , 得 2 .
3.1.3 二倍角的正弦、余弦 正切公式
1.理解二倍角公式的推导. 2.灵活掌握二倍角公式及其变形公式. (重点） 3.能综合运用二倍角公式进行计算. (难点）
sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan
4
22
又 sin 2 5 , 13
cos 2 1 sin2 2 1 ( 5 )2 12 .
13
13
sin 4 2sin 2 cos 2
2 5 ( 12) 120 ; 13 13 169
cos 4 1 2sin2 2
1 2 ( 5 )2 119 ; 13 169
tan 4 sin 4 (120)169 120 . cos 4 169 119 119
13
7 1
1
4 3
1.
74
1.二倍角正弦、余弦、正切公式的推导
sin 2 2sin cos
2 cos2 1 1 2sin2 .
二倍角的余弦公式. 简记为 C2 .
tan
2
tan（
)
2 tan 1 tan2
二倍角的正切公式.
简记为 T2 .
倍角公式：
S2 sin 2 2sin cos
C2 cos 2 cos2 sin2 =1-2sin2 =2cos2 -1
T2
tan
8
8
8
42
(3)
1
tan 22.5° tan2 22.5°
1 2 tan 22.5° 2 1 tan2 22.5°
1 2
wk.baidu.com
tan 45°
1; 2
(4)2 cos2 22.5°1 cos 45° 2 . 2
例4.求8sin cos cos cos 的值.
48 48 24 12
解：8sin cos cos cos
82
85
85
sin =2sin cos =2（ 3）（ 4）= 24 ,
4
88
5 5 25
cos =2 cos2 1 2 ( 4)2 1 7 ,
4
8
5
25
tan
= 4
sin 4
cos
=
24
25 7
=
24 . 7
4 25
3.求下列各式的值.
(1) sin 22.5°cos 22.5°; (2) cos2 sin2 ;
.
73
例3.求下列各式的值：
(1)sin15 cos15 ;(2) cos2 sin2 ;
8
8
(3)
1
tan 22.5° tan2 22.5°
;
(4)2
cos
2
22.5°1.
解：(1)sin15°cos15°= 1 2sin15°cos15°= 1 sin 30° 1 ;
2
2
4
(2) cos2 sin2 = cos(2 ) cos 2 ;
2
1
2
tan tan2
这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到 “三倍角”等名词时，“三”字等不能省 去.
公式说明:
1.角的倍半关系是相对而言的, 2 是 的二倍,
4 是 2
的二倍,
2
是
4
的二倍等等;
观察：公式变形：
1 sin 2 (sin cos )2
1 cos2 2cos2 升幂降角公式
tan 2A
2 tan A 1 tan2 A
2 3 4
1 (3)2
24 . 7
4
tan B 2,
2 tan B 2 2 4
tan 2B 1 tan2
B
1 22
. 3
tan(2A 2B) tan 2A tan 2B 1 tan 2A tan 2B
1
24 4 73 24 (
4)
44 117
则cos 的值为（ B ）.
A. 4 B. 7
C.12 D. 8
5
25
25
25
由sin : sin 8 : 5得，cos 4 ,
2
25
cos 2 cos2 1 7 .
2 25
2.已知cos 4 ,8 12,求sin , cos , tan 的值.
85
444
解：由 3 ，cos 4 , 得sin = 3，
例2.在△ABC中，cos A 4 , tan B 2， 5
求 tan (2A 2B)的值.
解法1 在△ABC中，
由cos A 4 , 0 A , 得 5
sin A 1 cos2 A 1 ( 4 )2 3 . 55
tan A sin A 3 5 3 . cos A 5 4 4
3
3
(3)
1
tan15° tan2 15°
;
(4)1 2sin2 22.5° .
解： (1)原式= 1 2sin 22.5°cos 22.5° 1 sin 45° 2 ;
2
2
4
(2)原式 cos 2 1 ;
32
(3)原式 1 tan 30° 3 ;
2
6
（4）原式=cos45° 2 . 2
48 48 24 12
=4 （2 sin cos ）cos cos
48 48
24 12
=4sin cos cos
24 24 12
2 (2sin cos ) cos
24 24 12
2sin cos
12 12
sin 1 .
62
1.(2012聊城高一检测)若为锐角，且sin : sin 8 : 5, 2
探究：你能用以上公式推导出 sin 2，cos 2，tan 2
的公式吗？
分析：令 =，代入上述三式可得.
二倍角正弦、余弦、正切公式的推导
sin（+） 2sin cos
即sin 2 2sin cos. 二倍角的正弦公式. 简记为 S2 .
cos 2 co（ s ) cos2 sin2
4.已知tan2 = 1 ,求 tan的值.
3
解：tan2
=
2tan 1-tan2
1 3
tan2 6 tan 1 0，
tan 3 10.
5.已知tan 1 , tan 1 ,求 tan（ +2）的值.
7
3
提示:先求出tan2
=
3 4
,
再利用tan（ +2）= tan +tan2 1-tan tan2
1 cos 2 2sin2
cos2 1 cos 2 2
降幂升角公式
sin2 1 cos 2
2
二倍角公式的应用
例1.已知sin 2 5 , ，
13 4
2
求 sin 4，cos 4，tan 4的值.
分析：先求sin 2,cos2的值，再利用公式求值.
解：由 , 得 2 .
3.1.3 二倍角的正弦、余弦 正切公式
1.理解二倍角公式的推导. 2.灵活掌握二倍角公式及其变形公式. (重点） 3.能综合运用二倍角公式进行计算. (难点）
sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan
4
22
又 sin 2 5 , 13
cos 2 1 sin2 2 1 ( 5 )2 12 .
13
13
sin 4 2sin 2 cos 2
2 5 ( 12) 120 ; 13 13 169
cos 4 1 2sin2 2
1 2 ( 5 )2 119 ; 13 169
tan 4 sin 4 (120)169 120 . cos 4 169 119 119
13
7 1
1
4 3
1.
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1.二倍角正弦、余弦、正切公式的推导
sin 2 2sin cos
2 cos2 1 1 2sin2 .
二倍角的余弦公式. 简记为 C2 .
tan
2
tan（
)
2 tan 1 tan2
二倍角的正切公式.
简记为 T2 .
倍角公式：
S2 sin 2 2sin cos
C2 cos 2 cos2 sin2 =1-2sin2 =2cos2 -1
T2
tan
8
8
8
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(3)
1
tan 22.5° tan2 22.5°
1 2 tan 22.5° 2 1 tan2 22.5°
1 2
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tan 45°
1; 2
(4)2 cos2 22.5°1 cos 45° 2 . 2
例4.求8sin cos cos cos 的值.
48 48 24 12
解：8sin cos cos cos
82
85
85
sin =2sin cos =2（ 3）（ 4）= 24 ,
4
88
5 5 25
cos =2 cos2 1 2 ( 4)2 1 7 ,
4
8
5
25
tan
= 4
sin 4
cos
=
24
25 7
=
24 . 7
4 25
3.求下列各式的值.
(1) sin 22.5°cos 22.5°; (2) cos2 sin2 ;
.
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例3.求下列各式的值：
(1)sin15 cos15 ;(2) cos2 sin2 ;
8
8
(3)
1
tan 22.5° tan2 22.5°
;
(4)2
cos
2
22.5°1.
解：(1)sin15°cos15°= 1 2sin15°cos15°= 1 sin 30° 1 ;
2
2
4
(2) cos2 sin2 = cos(2 ) cos 2 ;
2
1
2
tan tan2
这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到 “三倍角”等名词时，“三”字等不能省 去.
公式说明:
1.角的倍半关系是相对而言的, 2 是 的二倍,
4 是 2
的二倍,
2
是
4
的二倍等等;
观察：公式变形：
1 sin 2 (sin cos )2
1 cos2 2cos2 升幂降角公式
tan 2A
2 tan A 1 tan2 A
2 3 4
1 (3)2
24 . 7
4
tan B 2,
2 tan B 2 2 4
tan 2B 1 tan2
B
1 22
. 3
tan(2A 2B) tan 2A tan 2B 1 tan 2A tan 2B
1
24 4 73 24 (
4)
44 117
则cos 的值为（ B ）.
A. 4 B. 7
C.12 D. 8
5
25
25
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由sin : sin 8 : 5得，cos 4 ,
2
25
cos 2 cos2 1 7 .
2 25
2.已知cos 4 ,8 12,求sin , cos , tan 的值.
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解：由 3 ，cos 4 , 得sin = 3，
例2.在△ABC中，cos A 4 , tan B 2， 5
求 tan (2A 2B)的值.
解法1 在△ABC中，
由cos A 4 , 0 A , 得 5
sin A 1 cos2 A 1 ( 4 )2 3 . 55
tan A sin A 3 5 3 . cos A 5 4 4
3
3
(3)
1
tan15° tan2 15°
;
(4)1 2sin2 22.5° .
解： (1)原式= 1 2sin 22.5°cos 22.5° 1 sin 45° 2 ;
2
2
4
(2)原式 cos 2 1 ;
32
(3)原式 1 tan 30° 3 ;
2
6
（4）原式=cos45° 2 . 2
48 48 24 12
=4 （2 sin cos ）cos cos
48 48
24 12
=4sin cos cos
24 24 12
2 (2sin cos ) cos
24 24 12
2sin cos
12 12
sin 1 .
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1.(2012聊城高一检测)若为锐角，且sin : sin 8 : 5, 2