有限元分析—温度场与热变形问题专题

• 上式第一部分为内部单元的温度刚阵：
• 对于内部单元的温度刚阵，i,j,k三点轮换，记为矩阵形式：
J e T i bi2 ci2 bi b j ci c j bibk ci ck Ti e e e J k 2 2 b c b b c c T H T 0 j j j k j k j T 4 A j T bk2 ck2 k J e Tk
e
o
x
S S T (1 )Ti Tj SK SK
s k y j i o x T ( x , y )
sj
• B、单元温度刚度矩阵 • 从温度场插值函数可知，温度场已离散到全部节点上， 即求温度场实际是求节点的温度值。因而，泛函式实际 已成为描述未知节点温度的多元函数，而不是温度场 T(x,y)的函数，即问题转化为求多元函数的极值 • 设求解域有n个节点温度未知量，则泛函J[T(x,y)]转化 J [T , T ...T ] 为 1 2 n 的形式，极值条件为：
qz qz dz z
qy
q y y
dy
qx dx x
y
qx
dz y x
qx
•Q
qy
dx
dy
qz
=
传入微元 的 净热量
微元内 + 产生 的热量
• 设微元在dt内，温度升高为： • 相应所积蓄的热量为： • 同一时间内，微元体沿x方向 传入和传出的热量之差，即净 热量为：
qx dydzdt (qx
q y
qz dxdydzdt , dxdydzdt y z
qx q y qz ( )dxdydzdt x y z
T T T , q y k y , qz k z x y z
T T T [ (k x ) (k y ) (k z )]dxdydzdt x x y y z z
T dt t T c dxdydz dt t T T
• 类似，y，z方向的净热量： • 即传入微元体的净热量为： • 由热传导定律：热流密度与温 度梯度成正比，而方向相反， 即： • 代入上式得传入微元体净热量 为：
qx k x
qx q dx)dydzdt x dxdydzdt x x
9-1 温度场与热变形问题
•
工程中的许多结构在高温条件下工作或由于工作过程中运 动副的摩擦发热，都会导致结构产生温度升高，产生热变形或 温度应力，因此，减少或控制热变形/温度应力是设计中不可 忽视的问题。 工程设计中，常期望准确地计算出结构各个部位的温升 或热变形量，分析结构的热平衡状况，从而达到改进结构设计 或环境设计，减少热变形对工作精度的影响。 1、温度场问题的基本方程 2、平面稳态温度场的有限元法 3、热变形的计算
h11
h12 h1n T1 p1 T p h22 h2 n 2 2 hnn Tn pn
H T p
• 对于其他带热源的稳态温度场或三维温度场计算 其方法相似。
• 满足上述热传导方程的解有无限多个，为了确定真 实的温度场，必须知道物体初始瞬态的温度分布， 即初始条件，称为第一类边界条件
T ( x, y, z, t )t 0 T ( x, y, z)
• 同时，还需知道物体表面与周围介质间进行热交换 的规律，即边界条件，称为第二类边界条件。
T ( x, y, z, t ) |1 T (1, t ) 在1边界上
设AB间有n条曲线 yi ( x) i 1, 2,...n ，每 条曲线对应一个时间 Ti i 1, 2,...n ，即T 是y(x)函数，即泛函，求变分的极值则可 得最速下降曲线
A
x
p
B
有关泛函的具体构造可参考相关教材
y
v
• 2、平面稳态温度场的泛函 • 求满足平面温度场方程及边界条件的温度场T(x,y),设k 为常数
J J e 0 m 1, 2,...n Tm e Tm
• 设单元只有三节点温度，jk为边界，将温度插值函数代 入前述的泛函，并求导得极值条件：
J e T T T T k[ ( ) ( )]dxdy Ti x Ti x y Ti y e T (T Ta ) T j jk 0
第九章 温度场与热变形问题
9-1 温度场与热变形问题 9-2 温度场问题的基本方程 9-3 平面稳态温度场的有限元法 9-4 热变形的计算
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பைடு நூலகம்
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2.1 直梁 • 2.1.1梁有限元模型 • 2.1.2节点位移与节点载荷 • 2.1.3单元刚度矩阵 • 2.1.4单元刚度矩阵的叠加 • 2.1.5边界条件 • 2.1.6工程实例 2.2 平面刚架 • 2.2.1有限元法基本思想节点位移与节点载荷 • 2.2.2单元刚度矩阵 • 2.2.3单元刚度矩阵的坐标变换 • 2.2.4总的刚度矩阵叠加 • 2.2.5位移法基本方程 2.3工程实例 • 2.2.1有限元法基本思想节点位移与节点载荷 • 2.2.2单元刚度矩阵 • 2.2.3单元刚度矩阵的坐标变换 • 2.2.4总的刚度矩阵叠加 • 2.2.5位移
J e k [(bi2 ci2 )Ti (bib j ci c j )Tj (bibk ci ck )Tk ] Ti 4 A
• 第二部分：
(T Ta )
jk
s s T si Tj i Tk i Ta Tj 3 6 2
•
0 0 si 3 记为矩阵形式：
• 设微元体内有热源，其热源密度为Q(x,y,z,t)，则该热源在 dt内所共给的热量为：
Qdxdydzdt
• 据热平衡得一般热传导微分方程：
T T T T c dxdydz dt [ (k x ) (k y ) (k z )]dxdydzdt Qdxdydzdt t x x y y z z
9-4 热变形的计算
• 当弹性体的温度改变时，体内各部分将随温度变化而产 生变形，这种变形常称为热变形。考虑到弹性体实际工 作中都受到外界和体内各个部分间的约束，故热变形往 往不能自由发生，从而将导致体内产生应力，这种应力 常称为热应力。与之对应的温度的改变常称为热载荷。 • 设二维平面问题的弹性体两个瞬时的温度变化 T T1 T2 为 ，材料的线膨胀系数为 ，对各向 同性材料，热膨胀只产生正应变，不伴随产生剪应变。 0 0 0 x y T xy 0 即 • 若将物体由热变形产生的应变可视为物体的初应变，则 计算热应力只需算出热变形引起的初应变，求得相应初 应变引起的等效节点载荷（温度等效节点载荷），然后 按通常求解刚度方程计算出节点位移即可。
2T 2T 2 0 在内 2 x y T k (Ta T ) 在1上 n
• 据变分原理，此问题等价于求泛函J[T(x,y)]的极值函数， 参考相关教材，可得上述热传导作为欧拉方程的相应泛 函：
k T 2 T 2 1 2 J [T ( x, y)] [( ) ( ) ]dxdy ( T TaT )ds 2 x y 2 1
• 为n个线性方程组，对于每个方程而言，是对绕节 点m的所有单元求和，如图，节点5，则绕节点5 的单元为1，2，3，而其它单元不含节点5，即它 们的泛函对 的偏导为 0，可不考虑，即 T5 1 2 3 J J J J 0 T5 T5 T5 T5
4
o
x
• 如单元1，3为边界单元，则按边界单元刚阵计算； 如单元2为内部单元，则按内部单元刚阵计算。 • 如此整理可得整体代数方程组：
求解域内部温度 场相应的泛函 求解域边界部分温 度场相应的泛函
• 3、温度场单元分析 • 图示求解域离散为若干三角形单元， 含有边界的单元，称为边界单元， 任取一个单元i,j,k,如图。 • A、温度插值函数
y
T ( x, y) 1 2 x 3 y
T ( x, y ) N T N iTi N jT j N k Tk 1 Ni (ai bi x ci y ) i,j,k轮换 2A • 在边界线(如ij)上的任一点的温度T， 可用两个端点的节点温度线性插值 表示：
微元体温度升 高所需的热量
三个方向传入微 元体的净热量
微元体内热源 产生的热量
——物体密度 c ——比热，单位质量物体温度升高
一度所需的热量
kx ,k y , kz
—— 热传导系数
• 整理得：
c
T T T T (k x ) (k y ) (k z ) Q 0 t x x y y z z
0 0 T i si si e e 1 e T T H T p j a 6 2 Tk s si i Ta 2 3
9-3 平面稳态温度场的有限元法
• 1、泛函与变分 • 函数 y=f(x) 求y 的极值，即求微分，由dy=0 可得。 • 泛函J=J [y(x)] 函数y(x)为自变量，J为函数y的函数，称J为y J 0 的泛函，求泛函的极值，即求变分， 由 可得。 • 例：平面上AB两点，连接AB的曲线很多，要求一条曲线使重 物靠自重由A沿此曲线滑到B所需的时间最短，即求最速下降 曲线。 • 显然，AB间直线路径最短，但重物运动的速度增长并不是最 大，即下滑的时间并非最短。
• 2、二维稳态热传导方程及边界条件
若物体内无热源，则方 程退化为二维无热源稳 态热传导方程
T T (k x ) (k y ) Q 0 在内 x x y y T ( x, y, t ) T (1 , t ) T k (Ta T ) n 在1上 在 2上
• 设热变形引起的初应变： 0 • 则考虑初应变情况的弹性方程(如平面应力问题)：
1 1 x ( x y ) T y ( y z ) T E E
e e e e
• 两部分相加可得边界单元的温度刚阵：
1 ( H H ) T p 0
即
H T p
e e
e
• 3、整体温度场方程
J J e 0 m 1, 2,...n Tm e Tm
y
6 1 3 2 1 5
k T (Ta T ) n
• 1、三维瞬态热传导方程及边界条件
T T T T c (k x ) (k y ) (k z ) Q 0 在内 t x x y y z z T ( x, y, z, t ) T (1 , t ) T k (Ta T ) n 在1上 在 2上
•
• 本章介绍： • • •
9-2 温度场问题的基本方程
• 一般三维问题，物体各点的 温度是坐标和时间变化的， T T ( x, y, z, t ) 即 • 热平衡原理：任一dt时间内， 物体内任一微元体所积蓄的 z 热量（即温度升高所需的热 量）等于传入该微元体的热 量与微元体内热源所产生的 热量之和。即 • 微元温度 • 升高 • 所需热量