高等代数论文

安徽师范大学数学与应用数学系
“高等代数选讲”课程论文
题目：对角化的讨论及应用
姓名：***
学号：************
安徽师范大学数学与应用数学系
数学与应用数学专业2012级
2013年8月25日
对角化的讨论及应用
摘要：本文主要讨论了线性变换的对角化以及实以对称矩阵的对角化的问题,线性变换的对,角化实质上也是矩阵的对角化,分析对角化问题,讨论矩阵是否可与对角矩阵相似,若相似,则有相同的特征值,即可用一定的初等变换将之化为对角阵,以及对角阵在解题材上下班具有比较简便的求法,化一个矩阵为对角阵,不但可以使矩阵运算简化,而且在理论上和应用上都具有十分重要的意义 .
关键词: 对角化实对称矩阵特征值相似标准形式.
( 一 )线性变换的对角化.
1
212111,dim(),(),(),()[],()()()(),, ,.
:()()()()
(),()
()t t j j t F n N L g x h x F x g h h g x x x x x l j x x x λλλννσνσσσσλλλσνννλλλλ+-+=∈∈∈=++
+=----≠=
-j j j,l 正文
一对角化的条件:
设是数域上的线性空间又设则多项式的运算满足乘法交换律知引理1,设是的两两不同的特征值则和是
直和证明g 当时
g 令g 1212112,0
,1,2,.()()()()0
0()(0)()()
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(j t l
j lid l t t j j j j j j t j t c λαααλανσσσλασσααασασασασαλαλαμμμσν++=∈==-===++
=++==≠
=j j,l j j j j j j j j 这也是一个多项式,设其中由g g 有g g g g g 因为g g 而g 所以设是的所有的两两不同的特征值.记1
2
1212)()(),1,2,
,
(),()dim(),()(){,,},
();(),()(,,
)
t
j j j t j j t III III j t III c n III n III III III diag n μμ
μμννννννηηηνσηλησλλλσσ=⊕⊕====j 若是的一个基,则将合并得到的向量组线性无关并且是的一组基:引理2:如果而含有个向量.记则是的一组基记则在下的矩阵是推论:如果有个两两不同的特征值,则可对12121()():{,,},,,,,(),dim(()),,dim(),(),
t n III VI c m c n F n N L σσσααααααννσννσνμ+∈=≥=∈∈角化.
证明:注意到特征子空间的维数是正整数,则此时每一个特征子空间的维数只能是1,故可对角化.
引理3:若有m 个向量,m<n,则不可对角化.证明:(反证)如果有基下的矩阵是对角矩阵
因此所以与已知矛盾
故不可对角化.
定理1:设是数域上的线性空间21
,,dim()j t t
j n
μμμσσλ==∑是的所有的两两不同的特征值,的可对角化的充分
必要条件是:
1212(),,,dim():
(1),,(2)(1),n t j j j j
s j j j j L F m m m m n m F
ψμμμψμωωψμμω⨯∈=++==∈A A n A 二 对角化的计算方法:
现在考虑F 上n n 矩阵A 的对角化的计算问题,注意到A 否相似于对角矩阵,也就是是否可对角化.设是(也是A 的)的所有的两两不同的特征值,
齐次线性方程组(E -A)X=0的解空间记为我们有可对角化的充分必要条件是的重数如果成立将的基(即(121212():{,,},,1,2,
,
(),,
,,j n i i i t n III i n III μξξξξλξψλλλξξξ==n A -1E -A)X=0的一个基础解系),j=1,2,t
合并起来得到向量组于是A 而在下的矩阵是对角矩阵B=diag()
(3)若取C=(),则C 是可逆的,并且C AC=B
三 相似标准形
现在假定A 可对角化,我们来研究与A 相似的对角矩阵是否在某种意义下"惟一"?也就是说,如果G,H 都是12121112,,,,()()
()()
()
()
{,}t t j t i n n x x x x x x λλλμμμλλλμμμψεεε---=---A 对角矩阵,并且G H,G 与H 有什么进一步的关系?
引理4:如果G=diag(),H=diag()都是对角矩阵,并且G H,
则G 与H 只相差主对角线上排列的不同:
证明:先证必要性:如果G H,则G 与H 的特征多功多项式相等
因此,则结论成立.
再证充分性,G 是在基12,()(),,,,t VI F P C σλλλ⨯⨯∈∈=-1n n n n 下的矩阵可以适当排列这个基得到另一个基(VI)
使得在下的矩阵恰是H:
定义1,设A Mat 如果存在F 上可逆矩阵C,使C AC 是对角矩阵G=diag(),
则称G 为A 的(相似)标准形.
定理2:如果矩阵A 可对角化,则它的相似标准形在引理4下意义下惟一.四 可对角化的等价情况
设P 为数域A P 当时则下列条件等价: 1,A 的每个若尔当块皆为1级的, 2,A 的最小多项式无重根, 3,A 的最后一个不变因子无重根, 4,A 的初等因子是一次的, 5,A 的特征多项式无重根.
1
12*,,,
0n n λλλλλ<>⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
-1-1二实对称矩阵的对角化
引理1'任意n 阶复矩阵A 必相似于上三角形矩阵,即存在可逆矩阵P, 使得P AP=其中为A 的全部特征根
引理2'实对称矩阵的特征根为实数.
引理3'设A 与B 为n 阶实矩阵,则A 与B 在实数域上相似的充要条件是 A 与B 在复数域上相似,即有实可逆矩阵P,使得P AP=B 的充要条件 1,μμμμ=-≠≠-1-12 是有可逆复矩阵Q,使得Q AQ=B. 证明:必要性显然.
下证充分性,设有可逆复矩阵Q,使得Q AQ=B,且令Q=C+iD,其中C,D 是 实矩阵,i 而AQ=QB,于是AC=QB,AD=DB,因Q 可逆,故|Q|=|C+iD|0 即|C+iD|不是零多项式,则有实数,使得|C+D|0,即实矩阵C+D 可逆 令P=C+D,则有AP=AC 1
*",
0n μμλλ⎛⎫ ⎪
⇒ ⎪ ⎪⎝⎭
-1-1T -1+AD=CB+BD=PB,于是Q AP=B,即A 与B 在R 上相似 定理1'
(1) n 阶实矩阵A 的特征根都是实数的充要条件是存在正交矩阵Q,使得 Q AQ= Q AQ 为上三角形矩阵.
(2)当A 的特征根都为实数且A 为正交矩阵时,则A 为对称矩阵. 证明:(1) "由引理1'知,存在可逆矩阵P,使得P AQ= 由1
*,0"n λλ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
⇐-1-1-1-1-1-1引理3'知,当在复数域上相似时,必有实域上相似,因而可令P 为实
可逆矩阵,令P=QT,其中,Q 为正交矩阵,T 为上三角形矩阵,且主对角线上的元素都为正数 ,于是Q AQ=T(P AP)T 因T 为上三角形矩阵,
则T 也为上三角形矩阵,可见Q AQ 为上三角形矩阵之积,所以,Q AQ 为上三角形矩阵 "设对于实矩阵A 11212*,,,0,,,n n n λλλλλλλλ⎛⎫
⎪
=
⎪ ⎪⎝
⎭
=-1-1T T T -1-1T ,有正交矩阵Q,使得Q AQ 则为A 的全部特征根,
且都是实数.
(2)由(1)知存在正交矩阵Q,使得 Q AQ= Q AQ=B 为上三角形矩阵,因A 是正交矩阵,Q 是正交矩阵 Q 是正交矩阵,则B 作为正交矩阵之积自然也是正交矩阵,于是B B 而B 为上三角形矩阵, B 为下三角形矩阵,故)T ====T T T T T B 必为对角形矩阵,易得A (QBQ QB Q QBQ A
-1T T T T T T T 定理2' n 阶实对称矩阵A 必正交相似于对角形矩阵,即有正交矩阵Q,使得 Q AQ= Q AQ=B 为对角矩阵.
证明:因A 为实对称矩阵,则由引理2'知A 的特征根都为实数,又由定理1' 的(1)知,有正交矩阵Q,使得Q AQ=B 为上三角形矩阵,而A 是对称的,所以 B =(Q AQ)=Q AQ=B,但B 为下三角形矩阵,故B 必有对角形矩阵定理3'若n 阶实矩阵A 既正定又10,011
0,,
01I ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭T T
正交,那么,A=I(单价阵)
证明:因A 正定,则A 的特征根都是正实数,又A 是正交阵,则A 的特征根只能 均为1,从而,有正交矩阵Q,使得,Q AQ=所以A=Q Q
(三)练习
12311:,155,1,,λλλλλλλξ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
-+-===---12
33T 1122例设A=212A 是否可对角化?如果A 可对角化,求可逆矩阵C,
221 使得C AC 是对角矩阵.
解:A 的特征多项式是|E A|=()()
故A 的全部特征值是解齐次线性方程组(E A)X=0, 得到它的一个基础解系:{=(1 1 1)}, 这也是A 属于5的特征子空间的一个基,
解齐次2,λξξξξξ-3T T 23123-1线性方程组(E A)X=0,得到它的两个基础解系: {=(-1 0 1),=(0 1 -1)},
这是A 属于-1的特征子空间的一个基,令C=(,),则C 是可逆的, C AC=diag(5,-1,-1)
⨯⨯T T T T T T T T T 例 2 设A,B 是两个n n 实对称矩阵,且B 是正定矩阵,证明存在一个n n 实 可逆矩阵T, 使得T AT 与T BT 同时为对角形. 证明: B 是正定矩阵,故存在可逆矩阵Q,使得Q BQ=E
A 是实对称矩阵,故Q AQ 也是实对称矩阵,故存在正交矩阵P,
使得P Q AQP=(QP)AQP 为对角矩阵 故令T=QP,则T AT 为对角矩阵. 则T BT=(QP T T T T )BQP=P EP=P P=E 则T BT 也是对角矩阵.
123123,:2(6),2,6,2(1,1,0),(1,1,0),6(1,2,3)1
12E λλλλλλλλλ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
--======-===-⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥⎢⎣⎦
k
2T 1T T 231-11 例 3 已知 A=24-2求A -3-35解可求得det(A-)=-()所以A 的特征值为 对应于有两个线性无关的特征向量P P 对应于的特征向量为P 故A 可对角化,-1 则P=10
01
3111,(2,2,6),()5*222123*222*4
3*23*23*2k k k k k k k k k k diag νν+++=⎥==⎡⎤
---⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
-1
k
-1k k k -1
k k k k k k k k k P AP= 所以A P P Pdiag(2,2,6)P 66+6 =+2*6+2*6666+3*6
12141
2,lim 2100
7111
:,,,247111(,,),
247
111,,,lim 0
247
n n n n n diag →∞→∞⎡⎤-⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
==n -1
n
-1n 例4 已知 A=求A 的值
解A 有三个互异的特征值所以存在可逆阵P
使得P AP= 而A Pdiag()P 故A
1231231,1,(0,1,1),1,,,0,0λλλλλλ=-=====<>=====T 123T 112312311223例 5 设三阶实对称矩阵A 的特征值为 对应于的特征向量为P 求A
解:因为A 为三阶实对称矩阵,故必可对角化,又因是A 的二重 特征值,故A 的与特征值1对应的线性无关的特征向量有两个,设为P P 且都与P 正交,设所求特征向量为X=(x ,x ,x )则P X 即x +x x x 由x x
x 123123,(1,0,0),(0,1,1),(0,1,1),(1,0,0),1)|||1
10,0,100110110εεεεεενν⎧⎪
==-⎨⎪-⎩=
=====-⎡
⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎥==⎢⎥⎥⎢⎥⎥
⎢-⎢⎣=T T
232T T T
123123-1T
-1得P P x
P P P 规范化得|P |P |P 0
10作正交矩阵P=(,)=则P P 有A=P P
P 0100100110010100
00100101000⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥-⎣
⎦⎣⎦⎢-⎢⎣T P 010所以A=参考文献:
1 屠伯埙 : 线性代数—方法导引 上海:复旦大学出版社,1968.
2 李师正: 高等代数解题方法与技巧 高等教育出版社 2004
3 旋武杰: 高等代数 高等教育出版社 4陈重穆 等: 高等代数 北京:高等教育出版社 1990
5张禾瑞,郝炳新高等代数北京:高等教育出版社1983
6 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编北京:高等教育出版社
7 扬子胥:高等代数习题解(修订版)山东科学技术出版社2001。