杨辉三角人教版七下数学

A
B
图1
结论：有趣的是，B处所对应的数6，正好是答案( 6)． 一般地, 每个交点上的杨辉三角数，就是从A到达该点的方法 数．由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系
A 1
1 1
A
A
1
2 3 3
B
1 C B
D
B
6
杨辉三角基本性质
1
1.三角形的两条斜边上都是 数字1，而其余的数都等于 它肩上的两个数字相加 2.杨辉三角具有对称性（对 称美），与首末两端“等距 离 ”的两个数相等
1 1 3.每一行的第二个数就是这 1 2 1 行的行数 1 3 3 1 1 4 6 4 1 4.所有行的第二个数构成等 1 5 10 10 5 1 差数列 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 5.第n行包含n+1个数 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
n行中的第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和
斐波那契数列
换一角度“斜”向看： 斜线的和依次为： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．． a1=1,a2=1, a3 ＝2，…… 1 1 1 有：an=an-1+an-2 (n≥3) 2 3 1 1 5 8 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
杨辉
中国南宋末年数学家、数 学教育家。大约在13世纪 中叶至后半叶活动于苏、 杭一带。字谦光，钱塘 （今杭州）人。其生卒年 及生平无从详考。杨辉的 数学著作甚多有《日用算 法》 《杨辉算法》等
“杨辉三角”出现在杨辉 编著的《详解九章算法》一 书中，且我国北宋数学家贾 宪（约公元11世纪）已经用 过它，这表明我国发现这个 表不晚于11世纪．在欧洲， 这个表被认为是法国数学家 物理学家帕斯卡首先发现的, 他们把这个表叫做帕斯卡三 角．杨辉三角的发现要比欧 洲早500年左右.
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
与数字2的幂的关系
1+1 2 1 + 2 +1 1 + 3 + 3 +1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
n( n 1) an 2
与数字11的幂的关系
y 11
n
11 1 11 2 11 3 11
0
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
1 2 1 4 3 8 10 32 15 64
1 8ຫໍສະໝຸດ Baidu5 32 6 64
1 32 1 64
A
B
C
D
E
F
G
杨辉三角的实际应用
“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题．图1是某城市的 部分街道图，纵横各有三条路，如果从A处走到B处 (只能由 北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？ 我们把图顺时针转45度，使A在正上方，B在正下方， 然后在交叉点标上相应的杨辉三角数．B处的 杨辉三角数与A到B的走法有什么关系? ．
行数整除所有的数
都是质数
1 1 第 2行 1 2 1 1 3 3 1 第3行 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 第5行 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 第7行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
第
2
n
行的数字特征
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
在弹球游戏中的应用
弹球游戏，小球向容器内 跌落，碰到第一层挡物后 向两侧跌落碰到第二层阻 挡物，再向两侧跌落第三 层阻挡物，如此一直下跌 最终小球落入底层。根据 具体地区获的相应的奖品 （AG区奖品最好，BF区 奖品次之，CE区奖品第三， D 区奖品最差）。
A B C D E F G
1 2 1 4 1 8 1 32 1 64 6 64 5 32 15 64 10 32 20 64 3 8 2 4
2 2
1
2
0
1
2
3
杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂。
斜行和水平行之间的关系
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
斐波那契数与植物花瓣 3……百合和蝴蝶花
5…蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花
8………………………翠雀花 13………………………金盏和玫瑰
21……………紫宛 34、55、89……………雏菊
第2k行的数字特征
所有数的和是偶数
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
杨辉三角的奥秘及应用
这个表就称为杨辉三角
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
行数为质数的数都能被行数整除
在弹球游戏中的应用
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
1 1 与二项式展开系数的关系 1 2 1 1 3 3 1 （a+b)1= 1a+1b 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 2 2 2 （a+b) = 1a +2ab+1b 1 6 15 20 15 6 1
（a+b)3= 1a3+3a2b+3ab2+1b3
（a+b)4= 1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4
（a+b)5= 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5 （a+b)6=1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b
6
（a+b)n 展开式的系数就是杨辉三角的第n行
杨辉三角
这样的二项式系 数表，早在我国南 宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九 章算法》一书里就 已经出现了，在这 本书里，记载着类 似下面的表：