运城学院数学分析期末试题1-12答案

运城学院应用数学系

2009—2010学年第一学期期末考试

《数学分析1》试题（A ）标准答案及评分细则

适用范围：数学与应用数学专业 0901、0902班 命题人：王文娟、王莲花 信息与计算科学专业 0903班 审核人：

一、判断题（每题2分，共20分）

⨯∨∨⨯∨∨∨⨯∨⨯

二、填空题（每空2分，共20分）

1、 12

2、(0,10]

3、,x n n Z =∈

4、00,0,||,|()|x x f x A εδδε∀>∃>-<-<

5、2e

6、 低 阶

7、充要

8、()o x ∆

9、1 10、 '02()f x

三、计算题（每题5分，共30分）

1、求1

1

1

lim()1335(21)(21)n n n →∞+++⋅⋅-⋅+ . 解：1

1

1

lim()1335(21)(21)n n n →∞+++⋅⋅-⋅+

1

1

1

11

lim (1)2335(21)(21)n n n →∞=-+-++-⋅+ ------------------------- (3

分) 1

11

lim (1)2212n n →∞=-=+----------------------------------------- (5

分)

2、求01

x x →.

解：

00x x →→=------------------------ (3

分)

13=

---------------------------------------- (5分) 3、求111lim x x x +-→. 解：1

111ln ln 11111lim lim lim x x x x x x x x x e e -+++--→→→== --------------------------- (3分) 111

1lim ln lim 111

x x x x x ++→→==- 故111lim x x x e +-→=------------------------------------------------ (5分)

4、21arcsin(sin ),x y x e π+=++求0|x dy =.

解：'1x y e +=--------------------------------------- (3分)

'0|x y e ==----------------------------------------------------- (4分) dy edx =------------------------------------------------------ (5分) 5、ln(1),y x =+求()n y . 解：'1()1f x x =

+ ''21()(1)f x x =-+ ， '''32()(1)f x x -=-+ ， (4)4

(1)(2)(3)()(1)f x x -⋅-⋅-=+ ---- (3分) ()(1)(1)!()(1)

n n n n f x x -⋅-=+--------------------------------------------- (5分) 6、sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩，求22d y dx . 解：sin cot 1cos 2

dy t t dx t ==-------------------------------------------- (3分) 22421csc 122csc 1cos 42

t d y t dx t -==------------------------------------------ (5分)

四、解答下列各题（每题6分，共12分）

1、求x e 在1x =处带皮亚诺余项的Taylor 公式.

解： 111x x x e e e e -+-==⋅ ---------------------------------------- (2分)

231()2!3!!n

x

n x x x e x o x n =++++++ ------------------------------- (4分) 21(1)(1)(1)()2!!

n

x x n x x e e e e x o x n ---=⋅=+-++++ ------------------ (6分) 2、讨论220()0

x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩在0x =处的连续性与可导性. 解：200

lim ()lim 0(0)x x f x x f ++→→=== ， 200

lim ()lim ()0(0)x x f x x f --→→=-==， 故()f x 在0x =连续. -------------------------------------------- (3分) 200()(0)0lim lim 0x x f x f x x x

++→→--==, 200()(0)0lim lim 0x x f x f x x x

--→→---==, 所以()f x 在0x =可导. -------------------------------------- (6分)

五、证明题（每题6分，共18分）

1、利用归结原则证明01limcos x x

→不存在. 设'''11,,1,2,22

n n x x n n n πππ===+ --------------------------- (3分) '''0,0n n x x →→ 而'''11cos 1,cos 0n n

x x →→ 故由归结原则知01limcos x x

→不存在.

2、证明:()f x =[1,)+∞上一致连续.

证明： '''0,,[1,)x x ε∀>∀∈+∞