【高中数学必修三】1.3.3进位制
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1.3.3
案例3、进位制
我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活 中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单 位用六十进位制,电子计算机用的是二进制.那么什么 是进位制?不同的进位制之间又有什么联系呢? 进位制是人们为了计数和运算的方便而约定的 一种记数系统，约定满二进一,就是二进制;满十进 一,就是十进制;满十六进一,就是十六进制;等等.
• 各种进位制之间的相互转化.
说明：十进制数一般不标注基数.
[问题]十进制数3721中的3表示3个千,7表示7 个百,2表示2个十,1表示1个一,从而它可以写成 下面的形式:
3721=3×103+7×102+2×101+1×100. 想一想二进制数1011(2)可以类似的写成什 么形式? 1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20.
十进制转换为二进制
方法：除2取余法，即用2连续去除89或所得的商，然后取余数。
例2、 把89化为二进制数 解： 根据“满二进一”的原则，有 89＝2×44＋1 89＝2×44＋1 ＝ 2× (2×22＋0)+1 44＝ 2×22＋0 22＝ 2×11＋0 ＝ 2×( 2×( 2×11＋0)+0)+1 11＝ 2× 5＋1 ＝ 2× (2× (2× (2× 5＋1)+0)+0)+1 5＝ 2 × 2＋ 1 ＝ 2× (2× (2× (2× (2× 2＋1)+1)+0)+0)+1 2＝ 2 × 1＋ 0 ＝ 2× (2× (2× (2× (2× (2 ×1+0)＋1)+1)+0)+0)+1 1＝ 2 × 0＋ 1 ＝ 2× (2× (2× (2× (2× (2 ×(2×0+1)+0)＋1)+1)+0)+0)+1
不同进制间的转换
将k进制数转换为十进制数
an an1 a1a0( k )
an k an1k
n
n1
a1k a0k
1
0
例１ 把二进制数110011(2)化为十进制数. 解：110011(2)=1×25+1 ×24+ 0×23+0 ×22 + 1×21+1 ×20 =51
所以89＝2×（2×（2×（2×（2 × (2 × (2 × 0＋1）+0)+1)＋1）＋0）＋0）＋1
＝2×（2×（2×（2×(2x（2+0）＋1）+1)＋0）＋0）＋1 ＝2×（2×(2×（2×(22＋1）＋1)+0）＋0）＋1 ＝2×(2×（2×（23＋2＋1）＋0）+0)＋1 ＝2×(2×（24+22＋2＋0）＋0)+1 = 2×（25+23＋22＋0）＋0)+1 ＝26＋24+23＋1 89＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20 所以：89=1011001（2）
（10）； （10）； （6）； （7）；
（5）213（4）=
（6）1010111（2）=
（3）；
（4）。
课后作业：
阅读教材41页例4、43页例6，了解 进制转换的程序设计
小结
• 进位制的概念及表示方法;
anan-1…a1a0(k) =an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0 .
将k进制数转换为十进制数
an an1 a1a0( k )
an k an1k
n
n1
a1k a0k
1
0
练习：把下列数化为十进制数
(1) 1011010(2)
(2) 10212(3)
将十进制数转换为k进制数
例２ 把89化为二进制数.
例３ 把89化为五进制数.
另解（除2取余法的另一直观写法）： 2 2 2 2 2 2 2
注意： 1.一直除到商为0停止; 2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到： 89=1011001（2） 练习 将下面的十进制数化源自文库二进制数？ 上述方法也可以推广为把十进制数化为 k进制数的算法， （1） 10 （2）20 称为除 k 取余法
同理: 3421(5)=3×53+4×52+2×51+1×50.
一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为 基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起 的形式（其中an,an-1, ‥,a0是自然数） anan-1…a1a0(k) (0<an<k,0≤an-1,…,a1,a0<k) 意思是:(1)第一个数字an不能等于0; (2)每一个数字an,an-1,…,a1,a0都须小于k. k进制的数与十进制一样也可以表示成不 同位上数字与基数k的幂的乘积之和的形式,即 anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1 注意这是一 个n+1位数. 1 0 +…+a1×k +a0×k . 如：1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20
89 44 22 11 5 2 1 0
余数 1 0 0 1 1 0 1
十进制转换为五进制
例3：把89化为五进制数。 解：根据除k取余法 以5作为除数，相应的除法算式为：
5 5
89 17 5 3 0
余数
4 2 3
所以，89=324（5）
练习： 完成下列进位制之间的转化： （1）10231（4）= （2）235（7）= （3）137（10）= （4）1231（5）=
“满几进一”,就是几进制,几进制的基数就是几.
说明：可使用数字符号的个数称为基数.基数都是 大于1的整数.
如二进制可使用的数字有0和1,基数是2; 十进制可使用的数字有0,1,2,…,8,9,基数是10; 十六进制可使用的数字或符号有0~9等10个数字 以及A~F等6个字母(规定字母A~F对应10~15), 十六进制的基数是16. 注意:为了区分不同的进位制,常在数字 的右下脚标明基数,. 如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.
案例3、进位制
我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活 中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单 位用六十进位制,电子计算机用的是二进制.那么什么 是进位制?不同的进位制之间又有什么联系呢? 进位制是人们为了计数和运算的方便而约定的 一种记数系统，约定满二进一,就是二进制;满十进 一,就是十进制;满十六进一,就是十六进制;等等.
• 各种进位制之间的相互转化.
说明：十进制数一般不标注基数.
[问题]十进制数3721中的3表示3个千,7表示7 个百,2表示2个十,1表示1个一,从而它可以写成 下面的形式:
3721=3×103+7×102+2×101+1×100. 想一想二进制数1011(2)可以类似的写成什 么形式? 1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20.
十进制转换为二进制
方法：除2取余法，即用2连续去除89或所得的商，然后取余数。
例2、 把89化为二进制数 解： 根据“满二进一”的原则，有 89＝2×44＋1 89＝2×44＋1 ＝ 2× (2×22＋0)+1 44＝ 2×22＋0 22＝ 2×11＋0 ＝ 2×( 2×( 2×11＋0)+0)+1 11＝ 2× 5＋1 ＝ 2× (2× (2× (2× 5＋1)+0)+0)+1 5＝ 2 × 2＋ 1 ＝ 2× (2× (2× (2× (2× 2＋1)+1)+0)+0)+1 2＝ 2 × 1＋ 0 ＝ 2× (2× (2× (2× (2× (2 ×1+0)＋1)+1)+0)+0)+1 1＝ 2 × 0＋ 1 ＝ 2× (2× (2× (2× (2× (2 ×(2×0+1)+0)＋1)+1)+0)+0)+1
不同进制间的转换
将k进制数转换为十进制数
an an1 a1a0( k )
an k an1k
n
n1
a1k a0k
1
0
例１ 把二进制数110011(2)化为十进制数. 解：110011(2)=1×25+1 ×24+ 0×23+0 ×22 + 1×21+1 ×20 =51
所以89＝2×（2×（2×（2×（2 × (2 × (2 × 0＋1）+0)+1)＋1）＋0）＋0）＋1
＝2×（2×（2×（2×(2x（2+0）＋1）+1)＋0）＋0）＋1 ＝2×（2×(2×（2×(22＋1）＋1)+0）＋0）＋1 ＝2×(2×（2×（23＋2＋1）＋0）+0)＋1 ＝2×(2×（24+22＋2＋0）＋0)+1 = 2×（25+23＋22＋0）＋0)+1 ＝26＋24+23＋1 89＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20 所以：89=1011001（2）
（10）； （10）； （6）； （7）；
（5）213（4）=
（6）1010111（2）=
（3）；
（4）。
课后作业：
阅读教材41页例4、43页例6，了解 进制转换的程序设计
小结
• 进位制的概念及表示方法;
anan-1…a1a0(k) =an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0 .
将k进制数转换为十进制数
an an1 a1a0( k )
an k an1k
n
n1
a1k a0k
1
0
练习：把下列数化为十进制数
(1) 1011010(2)
(2) 10212(3)
将十进制数转换为k进制数
例２ 把89化为二进制数.
例３ 把89化为五进制数.
另解（除2取余法的另一直观写法）： 2 2 2 2 2 2 2
注意： 1.一直除到商为0停止; 2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到： 89=1011001（2） 练习 将下面的十进制数化源自文库二进制数？ 上述方法也可以推广为把十进制数化为 k进制数的算法， （1） 10 （2）20 称为除 k 取余法
同理: 3421(5)=3×53+4×52+2×51+1×50.
一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为 基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起 的形式（其中an,an-1, ‥,a0是自然数） anan-1…a1a0(k) (0<an<k,0≤an-1,…,a1,a0<k) 意思是:(1)第一个数字an不能等于0; (2)每一个数字an,an-1,…,a1,a0都须小于k. k进制的数与十进制一样也可以表示成不 同位上数字与基数k的幂的乘积之和的形式,即 anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1 注意这是一 个n+1位数. 1 0 +…+a1×k +a0×k . 如：1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20
89 44 22 11 5 2 1 0
余数 1 0 0 1 1 0 1
十进制转换为五进制
例3：把89化为五进制数。 解：根据除k取余法 以5作为除数，相应的除法算式为：
5 5
89 17 5 3 0
余数
4 2 3
所以，89=324（5）
练习： 完成下列进位制之间的转化： （1）10231（4）= （2）235（7）= （3）137（10）= （4）1231（5）=
“满几进一”,就是几进制,几进制的基数就是几.
说明：可使用数字符号的个数称为基数.基数都是 大于1的整数.
如二进制可使用的数字有0和1,基数是2; 十进制可使用的数字有0,1,2,…,8,9,基数是10; 十六进制可使用的数字或符号有0~9等10个数字 以及A~F等6个字母(规定字母A~F对应10~15), 十六进制的基数是16. 注意:为了区分不同的进位制,常在数字 的右下脚标明基数,. 如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.