并联机构分析与应用2
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且有
cos qi 2 0 sin qi 2 RCi = sin qi1 sin qi 2 cos qi1 − sin qi1 cos qi 2 （7） − cos qi1 sin qi 2 sin qi1 cos qi1 cos qi 2
进一步根据式（5）及（6）有
(2)绕二个坐标轴转动 a.绕(z、x)轴转动(θ、 α)
Cij = Cim C mj
cosθ = sin θ 0 cosθ = sin θ 0 0 1 0 0 cosθ 0 0 cosα − sin α 0 1 0 sin α cos α − sin θ cosθ sin θ cosα cosθ cos α − cosθ sin α sin α cosα − sin θ
（14）
式（14）可进一步写为如下矩阵形式
T & s1 l1 ( Z ⋅ l1 ) T & & s = s 2 = l 2 ( Z ⋅ l 2 ) v p = Jv p s l T ( Z ⋅ l ) 3 &3 3
（15）
Z B3 B1 s1 C1 X rA1 D1 l1 A1 z ra1 x p A3 y A2 rb1 O Y C3 B2 C2
注意:串联机构位置正解易于处理,逆解相对困难; 并联机构位置正解处理困难,逆解相对容易,但一些少 自由度并联机构的逆解处理也相对困难.
第二章并联机构运动学分析
第二节 常用运动副形式、刚体位姿变换及刚体上点 的速度和加速度
1.并联机构常用运动副形式及其自由度
回转副(R)自由度f=1; 移动副(P)自由度f=1; 球面副(S)自由度f=3; 圆柱副(C)自由度f=2; 螺旋副(H)自由度f=1; 方向节(U)自由度f=2;
2.刚体的位姿变换 1)共原点坐标变换和刚体定点转动 (1)绕一个坐标轴转动 a.绕z轴转动(θ)
X i = X j cosθ − Y j sin θ + Z j × 0 Yi = X j sin θ + Y j cosθ + Z j × 0 Zi = X j × 0 + Y j × 0 + Z j × 1
rj
刚体共原点转动的坐标变换 公式(适用于任何转动情形)
O 刚体的定点转动
r2 = Cr1
(5)方向余弦矩阵的性质
C11 C12 C ij = C 21 C 22 C 31 C 32 C13 C 23 C 33
C11 C ji = C12 C13
C 21 C 22 C 23
rCi = rbi + s i Z
由式（1）和（2）有
rb1 O Y C3 B2 C2
z ra1 x p
A3 y A2
A1
li2 = (xp + xai − xbi)2 + ( yp + yai − ybi)2 + (zp + zai − zbi − si )2 （3）
进而有滑块位移为
s i = z p ± l i2 − ( x p + x ai − x bi ) 2 − ( y p + y ai − y bi ) 2 （4）
方向余弦矩阵是正交阵
C11 C21 C31 − T Cij 1 = Cij = C ji = C12 C22 C32 C13 C23 C33
2)不共原点的坐标变换
ri = ri + C ij r j
oi
ri Cij = 1 0
根据支链运动学，杆矢量 l i = C i Ai 还可写为 （6）
D1 l1
A1
ROCi 为坐标系 O − XYZ 与 C i − x i1 y i1 z i1 间的常值姿态矩阵,
RCi 为坐标系 C i − x i1 y i1 z i1 与 C i − x i 2 y i 2 z i 2 间的姿态矩阵,
cos θ ri = sin θ 0 − sin θ cos θ 0 0 X j 0 Y j 1 Z j
ri = Cij r j
θ
cosθ θ Cij = sin θ 0
− sin θ cosθ 0
0 0 1
Z B3
求得 s i 后，可得到杆矢量 l i = C i Ai 为
B1 X
rb1 O rA1 z ra1 x p A3 y A2 Y C3 B2 C2
l i = rAi − rCi = r p + rai − rbi − s i Z
l i = ROCi RCi (0 0 l i )
T
s1 （5）C1
p − xyz —动平台联体系，原点位于动平台中心 p
C i − x i1 y i1 z i1 (i = 1,2,3) —固联于滑块的坐标系， 原点
为第一个虎克铰的几何中点 Ci , x i1 轴 与第一个虎克铰的第一条轴线重合, y i1 轴与机构处于初始位形（O 和 轴 z i1 = x i1 × y i1
z11 q12 C1 x12
y12 y11
q11 x11
x12 x11 y11
z11 y12 z12
qi1 zi2 zi1 li
Ai xai yai zai Ai
具有垂直导路的3-PUU 纯移动并联机构
支链坐标系及支链 初始位形
1）坐标系建立
O − XYZ —原点位于静平台中心点 O 的基础坐标系
Ai − x i y i z i 与 C i − x i 2 y i 2 z i 2 系平行.
2）位置分析
rai = (xai yai zai )
T
rbi = (xbi ybi zbi )
（1） （2）
T
rp = (xp yp zp )
B1 s1 C1 rA1 D1 l1 X
T
Z B3
rAi = r p + rai
第二章并联机构运动学分析
第一节 概述
1.并联机构运动学分析的内容 (1)内容:位置分析、速度分析与加速度分析; (2)形式:正解分析与逆解分析(正解与逆解,互逆问题); 正解分析—已知驱动器位置、速度和加速度求解动平台的 位姿、速度和加速度; 逆解分析—已知动平台位姿、速度和角速度求解驱动器的 位置、速度和加速度; 2.并联机构运动学分析的方法 方法:解析法(封闭法)与数值法; 解析法特点:根据机构的结构组成特征建立约束方程组，采用 多种方法从约束方程组中消去中间参数,得到单参数多项
−1 ROCi (r p + rai − rbi − s i Z ) / l i = RCi (0 0 1) T
（8）
根据式（7）及（8）可得两转角分别为
q i1 = a tan (− k i 2 / k i 3 )
q i 2 = a sin (k i1 )
（9）
式中，k i1 ，k i 2 及 k i 3 分别为式（8）左矢量的3个分量。
式后再求解.方法包括矢量代数法、几何法、矩阵法和四元 数法等.优点是可以得到全部解;缺点是难度较大,只有方法 上的通用性,但个例均须结合具体情况进行分析和处理. 数值法特点:采用的方法是直接求解约束方程组.数值法可 以较快地的求得任何机构的实数解,但一般不能得到全部解. 一般而言,初值选取及搜索算法对收敛性及精度影响较大.
C 31 C 32 C 33
C 211 + C 212 + C 213 = 1 C 2 31 + C 2 32 + C 2 33 = 1
C 211 + C 2 21 + C 2 31 = 1
22
C 2 21 + C 2 22 + C 2 23 = 1 C 212 + C
+ C 2 32 = 1
2 2 C 213 + C 23 + C33 = 1
C11C 21 + C12 C 22 + C13 C 23 = 0
C11C12 + C 21C 22 + C 31C 32 = 0
C 21C 31 + C 22 C 32 + C 23 C 33 = 0 C12 C13 + C 22 C 23 + C 32 C 33 = 0 C 31C11 + C 32 C12 + C 33 C13 = 0 C13 C11 + C 23 C 21 + C 33 C 31 = 0
0 0 1 sin θ sin α − cos θ sin α cos α
(4)刚体的定点转动
cosθ θ Cij = sin θ 0
− sin θ cosθ 0
0 0 1
yj
yi P2
θ ri = Cij r j
ri
θ θ
xj P1 xi
第二章并联机构运动学分析
z12
第三节 并联机构的逆运动学分析（示例）
1.垂直导路的3-PUU纯移动并联机构
Z B3 B1 s1 C1 rA1 D1 l1 A1 z ra1 x p A3 y A2 X rb1 O C3 Y B2 C2 xi2 xi1 qi2 yi1 yi2 Bi Ci Bi Ci xi1 yi1 zi1 li
p
的连
线与 Z 轴重合）时虎克铰第二轴线重合,
C i − x i 2 y i 2 z i 2 (i = 1,2,3) —杆 C i Ai 的固联坐标系， 原点
为第一个虎克铰的几何中点 Ci , y i 2 轴 与第一个虎克铰的第二条轴线重合, z i 2 轴与杆矢量 C i Ai 的方向一致, 轴 xi2 = yi2 × zi2
式中，J 为机构的雅克比矩阵. 杆 C i Ai 的角速度 ωi 为
& v p ⋅ l i = v c ⋅ l i = si Z ⋅ l i
B1 s1 C1 rA1 D1 l1 A1 z X rb1
（10）
Z B3
O
Y C3
B2 C2
（13）
则可得到滑块沿导路的速度为
& si = v p ⋅ li Z ⋅ li = l vp Z ⋅ li
T i
ra1 x p
百度文库
A3 y A2
绕Z轴转动
b.绕x、y轴转动(α、β)
绕X轴转动
绕Y轴转动
0 1 α Cij = 0 cos α 0 sin α
0 − sin α cos α
cos β β Cij = 0 − sin β
0 sin β 1 0 0 cos β
l i = rAi − rCi = r p + rai − rbi − s i Z
l i = ROCi RCi (0 0 l i )
T
（5）
（6）
3）速度分析 动平台作纯移动,点 Ai 的速度 v Ai 与动平台速度 v p 相等,即有
v Ai = v p
根据支链运动运动学,点 Ai 的速度还可以写为 （11） v Ai = v Ci + ω i × l i 根据式（10）及（11）有 v p = v Ci + ω i × l i （12） 式（12）两端同时点乘杆矢量 l i
oi r ri j
1 1
不共原点的坐标变换
3.刚体上点的速度与加速度
1)刚体上点的速度 B
v B = v A + ω × l AB
O
A
& ω ω
2)刚体上点的加速度
& & & v B = v A + ω × l AB + ω × (ω × l AB )
刚体上点的速度和 加速度
θα
θ
α
ri = Cij r j
绕Z、X转动
(3)绕三个欧拉角转动(θ、α、γ)
ri = C ij r j
绕Z、X 、Z转动
0 0 cos γ − sin γ cos θ − sin θ 0 1 θαγ cos γ Cij = sin θ cos θ 0 0 cos α − sin α sin γ 0 0 1 0 sin α cos α 0 0 cos θ cos α − sin θ cos α sin γ − cos θ sin γ − sin θ cos α cos γ = sin θ cos γ + cos θ cos α sin γ − sin θ sin γ + cos θ cos α cos γ sin α sin γ sin α cos γ
cos qi 2 0 sin qi 2 RCi = sin qi1 sin qi 2 cos qi1 − sin qi1 cos qi 2 （7） − cos qi1 sin qi 2 sin qi1 cos qi1 cos qi 2
进一步根据式（5）及（6）有
(2)绕二个坐标轴转动 a.绕(z、x)轴转动(θ、 α)
Cij = Cim C mj
cosθ = sin θ 0 cosθ = sin θ 0 0 1 0 0 cosθ 0 0 cosα − sin α 0 1 0 sin α cos α − sin θ cosθ sin θ cosα cosθ cos α − cosθ sin α sin α cosα − sin θ
（14）
式（14）可进一步写为如下矩阵形式
T & s1 l1 ( Z ⋅ l1 ) T & & s = s 2 = l 2 ( Z ⋅ l 2 ) v p = Jv p s l T ( Z ⋅ l ) 3 &3 3
（15）
Z B3 B1 s1 C1 X rA1 D1 l1 A1 z ra1 x p A3 y A2 rb1 O Y C3 B2 C2
注意:串联机构位置正解易于处理,逆解相对困难; 并联机构位置正解处理困难,逆解相对容易,但一些少 自由度并联机构的逆解处理也相对困难.
第二章并联机构运动学分析
第二节 常用运动副形式、刚体位姿变换及刚体上点 的速度和加速度
1.并联机构常用运动副形式及其自由度
回转副(R)自由度f=1; 移动副(P)自由度f=1; 球面副(S)自由度f=3; 圆柱副(C)自由度f=2; 螺旋副(H)自由度f=1; 方向节(U)自由度f=2;
2.刚体的位姿变换 1)共原点坐标变换和刚体定点转动 (1)绕一个坐标轴转动 a.绕z轴转动(θ)
X i = X j cosθ − Y j sin θ + Z j × 0 Yi = X j sin θ + Y j cosθ + Z j × 0 Zi = X j × 0 + Y j × 0 + Z j × 1
rj
刚体共原点转动的坐标变换 公式(适用于任何转动情形)
O 刚体的定点转动
r2 = Cr1
(5)方向余弦矩阵的性质
C11 C12 C ij = C 21 C 22 C 31 C 32 C13 C 23 C 33
C11 C ji = C12 C13
C 21 C 22 C 23
rCi = rbi + s i Z
由式（1）和（2）有
rb1 O Y C3 B2 C2
z ra1 x p
A3 y A2
A1
li2 = (xp + xai − xbi)2 + ( yp + yai − ybi)2 + (zp + zai − zbi − si )2 （3）
进而有滑块位移为
s i = z p ± l i2 − ( x p + x ai − x bi ) 2 − ( y p + y ai − y bi ) 2 （4）
方向余弦矩阵是正交阵
C11 C21 C31 − T Cij 1 = Cij = C ji = C12 C22 C32 C13 C23 C33
2)不共原点的坐标变换
ri = ri + C ij r j
oi
ri Cij = 1 0
根据支链运动学，杆矢量 l i = C i Ai 还可写为 （6）
D1 l1
A1
ROCi 为坐标系 O − XYZ 与 C i − x i1 y i1 z i1 间的常值姿态矩阵,
RCi 为坐标系 C i − x i1 y i1 z i1 与 C i − x i 2 y i 2 z i 2 间的姿态矩阵,
cos θ ri = sin θ 0 − sin θ cos θ 0 0 X j 0 Y j 1 Z j
ri = Cij r j
θ
cosθ θ Cij = sin θ 0
− sin θ cosθ 0
0 0 1
Z B3
求得 s i 后，可得到杆矢量 l i = C i Ai 为
B1 X
rb1 O rA1 z ra1 x p A3 y A2 Y C3 B2 C2
l i = rAi − rCi = r p + rai − rbi − s i Z
l i = ROCi RCi (0 0 l i )
T
s1 （5）C1
p − xyz —动平台联体系，原点位于动平台中心 p
C i − x i1 y i1 z i1 (i = 1,2,3) —固联于滑块的坐标系， 原点
为第一个虎克铰的几何中点 Ci , x i1 轴 与第一个虎克铰的第一条轴线重合, y i1 轴与机构处于初始位形（O 和 轴 z i1 = x i1 × y i1
z11 q12 C1 x12
y12 y11
q11 x11
x12 x11 y11
z11 y12 z12
qi1 zi2 zi1 li
Ai xai yai zai Ai
具有垂直导路的3-PUU 纯移动并联机构
支链坐标系及支链 初始位形
1）坐标系建立
O − XYZ —原点位于静平台中心点 O 的基础坐标系
Ai − x i y i z i 与 C i − x i 2 y i 2 z i 2 系平行.
2）位置分析
rai = (xai yai zai )
T
rbi = (xbi ybi zbi )
（1） （2）
T
rp = (xp yp zp )
B1 s1 C1 rA1 D1 l1 X
T
Z B3
rAi = r p + rai
第二章并联机构运动学分析
第一节 概述
1.并联机构运动学分析的内容 (1)内容:位置分析、速度分析与加速度分析; (2)形式:正解分析与逆解分析(正解与逆解,互逆问题); 正解分析—已知驱动器位置、速度和加速度求解动平台的 位姿、速度和加速度; 逆解分析—已知动平台位姿、速度和角速度求解驱动器的 位置、速度和加速度; 2.并联机构运动学分析的方法 方法:解析法(封闭法)与数值法; 解析法特点:根据机构的结构组成特征建立约束方程组，采用 多种方法从约束方程组中消去中间参数,得到单参数多项
−1 ROCi (r p + rai − rbi − s i Z ) / l i = RCi (0 0 1) T
（8）
根据式（7）及（8）可得两转角分别为
q i1 = a tan (− k i 2 / k i 3 )
q i 2 = a sin (k i1 )
（9）
式中，k i1 ，k i 2 及 k i 3 分别为式（8）左矢量的3个分量。
式后再求解.方法包括矢量代数法、几何法、矩阵法和四元 数法等.优点是可以得到全部解;缺点是难度较大,只有方法 上的通用性,但个例均须结合具体情况进行分析和处理. 数值法特点:采用的方法是直接求解约束方程组.数值法可 以较快地的求得任何机构的实数解,但一般不能得到全部解. 一般而言,初值选取及搜索算法对收敛性及精度影响较大.
C 31 C 32 C 33
C 211 + C 212 + C 213 = 1 C 2 31 + C 2 32 + C 2 33 = 1
C 211 + C 2 21 + C 2 31 = 1
22
C 2 21 + C 2 22 + C 2 23 = 1 C 212 + C
+ C 2 32 = 1
2 2 C 213 + C 23 + C33 = 1
C11C 21 + C12 C 22 + C13 C 23 = 0
C11C12 + C 21C 22 + C 31C 32 = 0
C 21C 31 + C 22 C 32 + C 23 C 33 = 0 C12 C13 + C 22 C 23 + C 32 C 33 = 0 C 31C11 + C 32 C12 + C 33 C13 = 0 C13 C11 + C 23 C 21 + C 33 C 31 = 0
0 0 1 sin θ sin α − cos θ sin α cos α
(4)刚体的定点转动
cosθ θ Cij = sin θ 0
− sin θ cosθ 0
0 0 1
yj
yi P2
θ ri = Cij r j
ri
θ θ
xj P1 xi
第二章并联机构运动学分析
z12
第三节 并联机构的逆运动学分析（示例）
1.垂直导路的3-PUU纯移动并联机构
Z B3 B1 s1 C1 rA1 D1 l1 A1 z ra1 x p A3 y A2 X rb1 O C3 Y B2 C2 xi2 xi1 qi2 yi1 yi2 Bi Ci Bi Ci xi1 yi1 zi1 li
p
的连
线与 Z 轴重合）时虎克铰第二轴线重合,
C i − x i 2 y i 2 z i 2 (i = 1,2,3) —杆 C i Ai 的固联坐标系， 原点
为第一个虎克铰的几何中点 Ci , y i 2 轴 与第一个虎克铰的第二条轴线重合, z i 2 轴与杆矢量 C i Ai 的方向一致, 轴 xi2 = yi2 × zi2
式中，J 为机构的雅克比矩阵. 杆 C i Ai 的角速度 ωi 为
& v p ⋅ l i = v c ⋅ l i = si Z ⋅ l i
B1 s1 C1 rA1 D1 l1 A1 z X rb1
（10）
Z B3
O
Y C3
B2 C2
（13）
则可得到滑块沿导路的速度为
& si = v p ⋅ li Z ⋅ li = l vp Z ⋅ li
T i
ra1 x p
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A3 y A2
绕Z轴转动
b.绕x、y轴转动(α、β)
绕X轴转动
绕Y轴转动
0 1 α Cij = 0 cos α 0 sin α
0 − sin α cos α
cos β β Cij = 0 − sin β
0 sin β 1 0 0 cos β
l i = rAi − rCi = r p + rai − rbi − s i Z
l i = ROCi RCi (0 0 l i )
T
（5）
（6）
3）速度分析 动平台作纯移动,点 Ai 的速度 v Ai 与动平台速度 v p 相等,即有
v Ai = v p
根据支链运动运动学,点 Ai 的速度还可以写为 （11） v Ai = v Ci + ω i × l i 根据式（10）及（11）有 v p = v Ci + ω i × l i （12） 式（12）两端同时点乘杆矢量 l i
oi r ri j
1 1
不共原点的坐标变换
3.刚体上点的速度与加速度
1)刚体上点的速度 B
v B = v A + ω × l AB
O
A
& ω ω
2)刚体上点的加速度
& & & v B = v A + ω × l AB + ω × (ω × l AB )
刚体上点的速度和 加速度
θα
θ
α
ri = Cij r j
绕Z、X转动
(3)绕三个欧拉角转动(θ、α、γ)
ri = C ij r j
绕Z、X 、Z转动
0 0 cos γ − sin γ cos θ − sin θ 0 1 θαγ cos γ Cij = sin θ cos θ 0 0 cos α − sin α sin γ 0 0 1 0 sin α cos α 0 0 cos θ cos α − sin θ cos α sin γ − cos θ sin γ − sin θ cos α cos γ = sin θ cos γ + cos θ cos α sin γ − sin θ sin γ + cos θ cos α cos γ sin α sin γ sin α cos γ