橡胶金属环静刚度特性研究
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Study on the Static Stiffness Characteristics of rubber - mental ring Zhao Cunsheng Zhu Shijian Naval U niversity of Engineering , Wuhan ,430033 Abstract : This paper first simplified t he radial compressed rubber - mental ring as a plane st rain prob2 lem and deduced t he formula for calculating t he static stiff ness of t he rubber - mental ring , t hen it discussed FEM dealing wit h initially compressed rubber - mental ring. Comparing t he result s obtained by t he above two met hods to t he experiment result shows t hat t he two met hods are precise and effective. At last several point s t hat should be given attention to when using t he two met hods are pointed out . Key words : rubber - mental ring ; static stiff ness ; hyperelastic ; FEM
2194 × 10 N/ m ,
6
2 . 3 有限元求解
由于橡胶与轮毂的联接为粘接 , 可以认为它 们之间为固联 , 不是接触联接 。 在有限元分析中 , 采取橡胶体的内表面与内轮毂的外表面共节点 , 橡胶体的外表面与外轮毂的内表面共节点的处理 方法 , 建模时倒角统一作圆弧处理 。 为节省机时 , [5 ] 取 1/ 2 有限元模型 , 见图 3 。 对橡胶金属环的整 个内环面直接施加位移和转动方向的约束 , 由于
0 引言
橡胶金属环是在组合式隔振器中应用很广泛 的重要弹性部件 , 是单双圆筒型橡胶隔振器中的 关键部件 。橡胶金属环由内外两个钢制圆筒及经 硫化将内外筒连结为一体的高强度橡胶组成 。单 双圆筒型橡胶隔振器中的橡胶金属环要传递相当 大的力 ,橡胶材料的变形较大 ,寿命有限 。要了解 此类隔振器的力学性能 , 必须对橡胶金属环的静 态特性进行研究 。
( 16) ( 17) ( 18)
I2 = J
- 2/ 3
2 2 (λ 1λ 2
- 2/ 3
2)
I3 = J
2 2 2 (λ 1λ 2λ 3)
在工程上被广泛应用的应变能密度函数为
W = W ( I1 , I2 ) + W ( I1 , I2 ) =
^
1 a ( I 3 - 1) 2 2
θ v = u0 ( r) sinθ u = u 0 ( r) cos
( 4)
设橡胶材料的剪切弹性模量为 G , 杨氏模量 为 E , 拉伸 、 压缩变形下具有一定几何形状橡胶体 的表观杨氏模量为 Eap , 则对单向拉伸 、 压缩变形
( 微小变形) , 下式成立 : εA L P = Kcδ = Eap
橡胶金属环中的橡胶为超弹性材料 , 可认为 是各向同性 、 不可压缩的非线性弹性材料 。 橡胶材 料常常伴有粘弹性现象 , 但静态计算时常常略去 。 这种超弹性材料热力学过程的特点是变形功全部 以应变能的形式储存在弹性体内 。 单位体积的应 变能 函 数 W 是 相 对 于 自 然 状 态 ( 变 形 前 ) 的 Green 应变张量 Ei ×j 的标量函数 [ 3 ] :
m
( 19)
n
^
m , n =0
∑a
mn
( I 1 - 3)
( I 2 - 3)
( 20)
式中 , a 为罚因子 ; am n 为 Mooney - Rivlin 常数 。
a m n 可根据三种变形模式 ( 单轴拉伸 、 等双轴
・9 6 3 ・
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
x 向变形量为
δ x =
5W 5 Ei ×j
( 11)
∫
2 1
r r
d u0 Px r2 dr = π( Eap + G) l ln r1 dr
式中 , S i ×j 为第二皮阿拉 - 克希霍夫应力张量 ; Ei ×j 为格
( 9)
林 - 拉格朗日应变张量 。
参考式 ( 2) , x 向静刚度为
π( 5 + 3 . 29 S 2 ) Gl Kx = ln ( r2 / r1 )
( 10)
格林 - 拉格朗日应变张量可以表示为
Ei ×j = 1/ 2 ( Ci ×j - I ) ( 12) ( 13)
式中 , I 为单位矩阵 ; Ci ×j 为柯西 - 格林应变张量 。
Ci ×j = F F F =
T
由式 ( 3) 求得形状系数 S 后 , 则可由式 ( 10) 求出 静刚度 。 某橡胶金属环的尺寸如图 2 所示 , 取杨氏模 量 E = 315M Pa , 泊松比 υ = 0149 , 剪切弹性模量 ) ] = 1117M Pa , 可求得径向静刚 G = E/ [ 2 ( 1 +υ 度 K x = 2198 ×106 N/ m 。
中国机械工程第 15 卷第 11 期 2004 年 6 月上半月
拉伸和剪切 ) 的实验来确定 。 根据实验数据进行 计算 , 可得到橡胶材料的各项 Mooney - Rivlin 常 数[4 ] : a 10 = 0 1 0 5 8 9 3 3 9 M Pa , a 01 = 0 1 2 2 1 7 2 5 M Pa ,
r2 - r1 1 r2 - r1 2 ( ) + …] + r1 + r2 3 r1 + r2
1 橡胶金属环的静刚度计算公式
1. 1 表观杨氏模量与剪切弹性模量的关系
在 r1 、 r2 可比的情况下 , 若只取第一项 , 则有 A L = πl ( r1 + r2 ) , 受压面积即为取平均半径的圆柱 面面积 。 1 . 2 橡胶金属环的静刚度 橡胶可看作为各向同性材料 , 径向受压的橡 胶金属环可当作平面应变问题 。 橡胶金属环的径 向位移见图 1 。 取径向为 x 轴 , 以 x 轴为基准建立 柱坐标 ( r ,θ, z ) 。 x 轴上的位移记为 ( u 0 ( r) , 0 , ) ( θ 0 , 在任意点 r , , z ) 上的位移记为 ( u , v , 0) , 则
5x ( 14) 5X 式中 , F 为变形梯度张量 ; x 为变形后节点位置矢量 ; X 为 初始节点位置矢量 。
如果材料为各向同性 , 且使用主拉伸方向为变 形梯度张量和柯西 - 格林应变张量的方向 , 则有
λ 1
F = J
- 1/ 3
0
0 0
( 15)
0 0
λ 2
0
λ 3
J =λ 1λ 2λ 3
由表面积 。
对于本文所研究的橡胶金属环中的橡胶部 件 , 当橡胶金属环径向受压时可用式 ( 2) 计算其 表观杨氏模量 , 其形状系数为
S = AL/ A F = l 1 r1 + r2 ln ( r2 / r1 ) ( 3)
式中 , r1 、 r2 为内外筒半径 ; l 为轴向长度 。
由于
ln ( r2 / r1 ) = 2 [
橡胶金属环静刚度特性研究 — — — 赵存生 朱石坚
105 M Pa , 泊松比 υ = 013 , 屈服应力 σ y = 1 × 103 M Pa , 切线模量 E T = 4 × 104 M Pa 。 本文对外筒 施加 1mm 的径向位移 , 外筒铸钢件的应力值为 1135 ×103 M Pa 。 2 . 2 橡胶的材料特性
W = W ( Ei ×j )
图 1 橡胶金属环的径向位移
Px = ( d u 0 / d r) ( Eap
cos θ dθ + G sin θ ∫ ∫ dθ) rl
2 2 0 0
π 2
π 2
d Ei ×j dW = Si ×j dt dt
即
( 8) S i ×j =
= π( Eap + G) rl ( d u0 / d r)
中国机械工程第 15 卷第 11 期 2004 年 6 月上半月
橡胶金属环静刚度特性研究
赵存生 朱石坚
海军工程大学振动与噪声研究所 ,武汉 ,430033 摘要 : 将径向受压的橡胶金属环简化为平面应变问题 , 得出其静刚度的计 算公式 ; 采用有限元法研究了初始受压的橡胶金属环的静刚度 ; 通过实验验证 了提出的方法是正确有效的 ,并指出这两种方法应注意的问题 。 关键词 : 橡胶金属环 ; 静刚度 ; 超弹性 ; 有限元 赵存生 博士研究生 中图分类号 : TB535 文章编号 :1004 — 132 Ⅹ( 2004) 10 — 00 —
a 20 = 0 1 0 0 2 0 9 3 2 9 M Pa , a11 = 0 1 1 8 3 3 1 7 M Pa , a 02 = - 01188629M Pa 。
2 . 4 结果分析
橡胶金属环 的静刚度符合在 工作区域呈线性 的要求 , 实验所得 的静刚度值为 2199 × 106 N/ m , 采用有限元法按 无初始应力计算 得静刚度值为
Eap = ( 4 + 3 . 29 S 2 ) G ( 2)
考虑 ( r , r + d r) 的薄圆筒 , 其体积元为 rl dθ dr, 长为 r dθ, 宽为 l 的平面上的正应力为
σ = Eap ( 5 u/ 5 r) = Eap ( d u0 / d r) cos θ
( 5)
剪应力为
τ = G ( 5 v/ 5 r) = G ( d u0 / d r) sinθ
1 . 有初始应力 2 . 实验值 3 . 无初始应力
相 对 误 差 为 —变形关系 1167 % , 可见有限 元法有较高的精度 。 按有初始应力 ( 产生 1mm 变 ) 形 计算得静刚度值为 3133 ×106 N/ m , 说明实验 所用橡胶金属环无初始应力 , 有初始压应力情况 下静刚度值变大 。
( 1)
式中 , P 为轴向载荷 ; Kc 为试件的轴向刚度 ;δ 为试件的 轴向变形量 ;ε为轴向应变 ,ε = δ / h ; h 为试件的轴向长 度 ; A L 为试件的横截面面积 。
应用最小应变能原理 , 以橡胶的不可压缩性 作为限制条件 , 研究得出无限长柱状橡胶试件的 表观弹性模量的计算公式如下 [ 1 ] :
( 6)
式中 , S 为试件的形状系数 , S = A L / A F ; A F 为试件的自
收稿日期 :2003 — 07 — 16
该体积元的 x 向载荷为
θ+τ ) l rd θ d Px = (σ cos sinθ
( 7)
因此 , x 向载荷 Px 可用下式表示 :
・962 ・ © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
2 2 2 I 1 = J - 2/ 3 (λ 1 +λ 2 +λ 3)
为提高橡胶金属环的疲劳特性 , 应尽量避免 变形 , 最好能有预加载荷 , 故硫化后要对橡胶进行 处理 , 使其受初始压力 。 内外筒粘结型的筒型橡 胶 , 一般是对外筒进行挤缩加工 。 外筒有凸缘不便 进行挤缩加工时 , 可以把内筒扩大 , 但与外筒挤缩 相比效果差 [ 2 ] 。 橡胶金属环的内外筒为各向同性的铸钢件 , 对外筒进行挤缩加工后 , 外筒产生塑性变形 , 取双 线性 随 动 强 化 模 型 。 取 杨 氏 模 量 E = 211 ×
式中 ,λ i 为材料在第 i 个主方向的拉伸率 。
图 2 橡胶金属环的尺寸图
2 有限元法计算静刚度
2 . 1 铸钢的材料特性
由于超弹材料是各向同性的 , 各个方向上材 料特性相同 , 可以根据应变不变量写出应变能密 度函数 。 应变不变量是一种与坐标无关的应变表 示法 , 可以用柯西 - 格林应变张量和主拉伸率表 示为
2194 × 10 N/ m ,
6
2 . 3 有限元求解
由于橡胶与轮毂的联接为粘接 , 可以认为它 们之间为固联 , 不是接触联接 。 在有限元分析中 , 采取橡胶体的内表面与内轮毂的外表面共节点 , 橡胶体的外表面与外轮毂的内表面共节点的处理 方法 , 建模时倒角统一作圆弧处理 。 为节省机时 , [5 ] 取 1/ 2 有限元模型 , 见图 3 。 对橡胶金属环的整 个内环面直接施加位移和转动方向的约束 , 由于
0 引言
橡胶金属环是在组合式隔振器中应用很广泛 的重要弹性部件 , 是单双圆筒型橡胶隔振器中的 关键部件 。橡胶金属环由内外两个钢制圆筒及经 硫化将内外筒连结为一体的高强度橡胶组成 。单 双圆筒型橡胶隔振器中的橡胶金属环要传递相当 大的力 ,橡胶材料的变形较大 ,寿命有限 。要了解 此类隔振器的力学性能 , 必须对橡胶金属环的静 态特性进行研究 。
( 16) ( 17) ( 18)
I2 = J
- 2/ 3
2 2 (λ 1λ 2
- 2/ 3
2)
I3 = J
2 2 2 (λ 1λ 2λ 3)
在工程上被广泛应用的应变能密度函数为
W = W ( I1 , I2 ) + W ( I1 , I2 ) =
^
1 a ( I 3 - 1) 2 2
θ v = u0 ( r) sinθ u = u 0 ( r) cos
( 4)
设橡胶材料的剪切弹性模量为 G , 杨氏模量 为 E , 拉伸 、 压缩变形下具有一定几何形状橡胶体 的表观杨氏模量为 Eap , 则对单向拉伸 、 压缩变形
( 微小变形) , 下式成立 : εA L P = Kcδ = Eap
橡胶金属环中的橡胶为超弹性材料 , 可认为 是各向同性 、 不可压缩的非线性弹性材料 。 橡胶材 料常常伴有粘弹性现象 , 但静态计算时常常略去 。 这种超弹性材料热力学过程的特点是变形功全部 以应变能的形式储存在弹性体内 。 单位体积的应 变能 函 数 W 是 相 对 于 自 然 状 态 ( 变 形 前 ) 的 Green 应变张量 Ei ×j 的标量函数 [ 3 ] :
m
( 19)
n
^
m , n =0
∑a
mn
( I 1 - 3)
( I 2 - 3)
( 20)
式中 , a 为罚因子 ; am n 为 Mooney - Rivlin 常数 。
a m n 可根据三种变形模式 ( 单轴拉伸 、 等双轴
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© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
x 向变形量为
δ x =
5W 5 Ei ×j
( 11)
∫
2 1
r r
d u0 Px r2 dr = π( Eap + G) l ln r1 dr
式中 , S i ×j 为第二皮阿拉 - 克希霍夫应力张量 ; Ei ×j 为格
( 9)
林 - 拉格朗日应变张量 。
参考式 ( 2) , x 向静刚度为
π( 5 + 3 . 29 S 2 ) Gl Kx = ln ( r2 / r1 )
( 10)
格林 - 拉格朗日应变张量可以表示为
Ei ×j = 1/ 2 ( Ci ×j - I ) ( 12) ( 13)
式中 , I 为单位矩阵 ; Ci ×j 为柯西 - 格林应变张量 。
Ci ×j = F F F =
T
由式 ( 3) 求得形状系数 S 后 , 则可由式 ( 10) 求出 静刚度 。 某橡胶金属环的尺寸如图 2 所示 , 取杨氏模 量 E = 315M Pa , 泊松比 υ = 0149 , 剪切弹性模量 ) ] = 1117M Pa , 可求得径向静刚 G = E/ [ 2 ( 1 +υ 度 K x = 2198 ×106 N/ m 。
中国机械工程第 15 卷第 11 期 2004 年 6 月上半月
拉伸和剪切 ) 的实验来确定 。 根据实验数据进行 计算 , 可得到橡胶材料的各项 Mooney - Rivlin 常 数[4 ] : a 10 = 0 1 0 5 8 9 3 3 9 M Pa , a 01 = 0 1 2 2 1 7 2 5 M Pa ,
r2 - r1 1 r2 - r1 2 ( ) + …] + r1 + r2 3 r1 + r2
1 橡胶金属环的静刚度计算公式
1. 1 表观杨氏模量与剪切弹性模量的关系
在 r1 、 r2 可比的情况下 , 若只取第一项 , 则有 A L = πl ( r1 + r2 ) , 受压面积即为取平均半径的圆柱 面面积 。 1 . 2 橡胶金属环的静刚度 橡胶可看作为各向同性材料 , 径向受压的橡 胶金属环可当作平面应变问题 。 橡胶金属环的径 向位移见图 1 。 取径向为 x 轴 , 以 x 轴为基准建立 柱坐标 ( r ,θ, z ) 。 x 轴上的位移记为 ( u 0 ( r) , 0 , ) ( θ 0 , 在任意点 r , , z ) 上的位移记为 ( u , v , 0) , 则
5x ( 14) 5X 式中 , F 为变形梯度张量 ; x 为变形后节点位置矢量 ; X 为 初始节点位置矢量 。
如果材料为各向同性 , 且使用主拉伸方向为变 形梯度张量和柯西 - 格林应变张量的方向 , 则有
λ 1
F = J
- 1/ 3
0
0 0
( 15)
0 0
λ 2
0
λ 3
J =λ 1λ 2λ 3
由表面积 。
对于本文所研究的橡胶金属环中的橡胶部 件 , 当橡胶金属环径向受压时可用式 ( 2) 计算其 表观杨氏模量 , 其形状系数为
S = AL/ A F = l 1 r1 + r2 ln ( r2 / r1 ) ( 3)
式中 , r1 、 r2 为内外筒半径 ; l 为轴向长度 。
由于
ln ( r2 / r1 ) = 2 [
橡胶金属环静刚度特性研究 — — — 赵存生 朱石坚
105 M Pa , 泊松比 υ = 013 , 屈服应力 σ y = 1 × 103 M Pa , 切线模量 E T = 4 × 104 M Pa 。 本文对外筒 施加 1mm 的径向位移 , 外筒铸钢件的应力值为 1135 ×103 M Pa 。 2 . 2 橡胶的材料特性
W = W ( Ei ×j )
图 1 橡胶金属环的径向位移
Px = ( d u 0 / d r) ( Eap
cos θ dθ + G sin θ ∫ ∫ dθ) rl
2 2 0 0
π 2
π 2
d Ei ×j dW = Si ×j dt dt
即
( 8) S i ×j =
= π( Eap + G) rl ( d u0 / d r)
中国机械工程第 15 卷第 11 期 2004 年 6 月上半月
橡胶金属环静刚度特性研究
赵存生 朱石坚
海军工程大学振动与噪声研究所 ,武汉 ,430033 摘要 : 将径向受压的橡胶金属环简化为平面应变问题 , 得出其静刚度的计 算公式 ; 采用有限元法研究了初始受压的橡胶金属环的静刚度 ; 通过实验验证 了提出的方法是正确有效的 ,并指出这两种方法应注意的问题 。 关键词 : 橡胶金属环 ; 静刚度 ; 超弹性 ; 有限元 赵存生 博士研究生 中图分类号 : TB535 文章编号 :1004 — 132 Ⅹ( 2004) 10 — 00 —
a 20 = 0 1 0 0 2 0 9 3 2 9 M Pa , a11 = 0 1 1 8 3 3 1 7 M Pa , a 02 = - 01188629M Pa 。
2 . 4 结果分析
橡胶金属环 的静刚度符合在 工作区域呈线性 的要求 , 实验所得 的静刚度值为 2199 × 106 N/ m , 采用有限元法按 无初始应力计算 得静刚度值为
Eap = ( 4 + 3 . 29 S 2 ) G ( 2)
考虑 ( r , r + d r) 的薄圆筒 , 其体积元为 rl dθ dr, 长为 r dθ, 宽为 l 的平面上的正应力为
σ = Eap ( 5 u/ 5 r) = Eap ( d u0 / d r) cos θ
( 5)
剪应力为
τ = G ( 5 v/ 5 r) = G ( d u0 / d r) sinθ
1 . 有初始应力 2 . 实验值 3 . 无初始应力
相 对 误 差 为 —变形关系 1167 % , 可见有限 元法有较高的精度 。 按有初始应力 ( 产生 1mm 变 ) 形 计算得静刚度值为 3133 ×106 N/ m , 说明实验 所用橡胶金属环无初始应力 , 有初始压应力情况 下静刚度值变大 。
( 1)
式中 , P 为轴向载荷 ; Kc 为试件的轴向刚度 ;δ 为试件的 轴向变形量 ;ε为轴向应变 ,ε = δ / h ; h 为试件的轴向长 度 ; A L 为试件的横截面面积 。
应用最小应变能原理 , 以橡胶的不可压缩性 作为限制条件 , 研究得出无限长柱状橡胶试件的 表观弹性模量的计算公式如下 [ 1 ] :
( 6)
式中 , S 为试件的形状系数 , S = A L / A F ; A F 为试件的自
收稿日期 :2003 — 07 — 16
该体积元的 x 向载荷为
θ+τ ) l rd θ d Px = (σ cos sinθ
( 7)
因此 , x 向载荷 Px 可用下式表示 :
・962 ・ © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
2 2 2 I 1 = J - 2/ 3 (λ 1 +λ 2 +λ 3)
为提高橡胶金属环的疲劳特性 , 应尽量避免 变形 , 最好能有预加载荷 , 故硫化后要对橡胶进行 处理 , 使其受初始压力 。 内外筒粘结型的筒型橡 胶 , 一般是对外筒进行挤缩加工 。 外筒有凸缘不便 进行挤缩加工时 , 可以把内筒扩大 , 但与外筒挤缩 相比效果差 [ 2 ] 。 橡胶金属环的内外筒为各向同性的铸钢件 , 对外筒进行挤缩加工后 , 外筒产生塑性变形 , 取双 线性 随 动 强 化 模 型 。 取 杨 氏 模 量 E = 211 ×
式中 ,λ i 为材料在第 i 个主方向的拉伸率 。
图 2 橡胶金属环的尺寸图
2 有限元法计算静刚度
2 . 1 铸钢的材料特性
由于超弹材料是各向同性的 , 各个方向上材 料特性相同 , 可以根据应变不变量写出应变能密 度函数 。 应变不变量是一种与坐标无关的应变表 示法 , 可以用柯西 - 格林应变张量和主拉伸率表 示为