高中数学知识点精讲精析 对函数的进一步认识

2.2 对函数的进一步认识

2·2·1 函数的概念

1.函数的定义：一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f 对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的一个函数（function ），通常记为.其中，所有的输入值x 组成的集合叫做函数的定义域（domain ）；

注意问题：

（1）“”为“y 是x 的函数”这句话的数学表示，它仅仅是符号，不表示y 等于f 与x 的乘积；

（2）给定函数时要指名函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有指明定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合.在函数定义中，所有能输入的值x 组成的集合A 叫做的定义域，而对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应，我们将所有输出值y 组成集合称为函数的值域；

2.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A .值域C 和对应法则f .当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数；

3.反函数定义：若函数y =f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x .y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x =ϕ（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x =ϕ（y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x =ϕ（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函

数x =ϕ（y ）（y ∈C ）叫做函数y =f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x =f －1（y ）.

在函数x =f －

1（y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量，y

表示函数，因此我们常常对调函数x =f －1（y ）中的字母x .y ，把它改写成y =f －1（x ）.

4.互为反函数的两个函数y =f （x ）与y =f －1（x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y =x

对称.

例1. 求下列函数的定义域：

（1）

（2）

（3）

y f x x A =∈()，y f x =()y f x =()y f x =()y x x =+-22·y x

x =--223()y x x x =

+-20

解：（1）为使函数有意义，则 解得：

所以定义域为 （2）为使函数有意义，则 解得：且

所以定义域为

（3）为使函数有意义，则

解得：且

所以定义域为 小结：一般，求函数定义域，归结为解不等式组成的混合组，要注意：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根被开方数非负；（3）零次幂的底数不为0.

例2. 设函数，求.

解：

例3. 试画出函数

的图象，并根据图象回答下列问题： （1）比较的大小；

（2）若，试比较与的大小.

解：

（1）容易发现，当

所以

（2）由图发现当时，

x x +≥-≥⎧⎨⎩

2020x ≥2{

}x x |≥220230-≥-≠⎧⎨⎩

x x x ≤2x ≠32x x x |≤≠

⎧⎨⎩⎫⎬⎭232且x x x +≠->⎧⎨⎩200x <0x ≠-2{

}x x x |<≠-02且f x x ()=+23f f f a f f ()()()(())121，，，f ()12135=⨯+=f f a a f f f ()()(())()22237

23

1525313=⨯+==+==⨯+=f x x ()=+21f f f ()()()-213，，012<

x

-2 -1 0

1 2 2

1 f f f f f ()()()()()-=<<22123，f f f ()()()123<-<012<

例4. 某市出租汽车收费标准如下：在3km 以内（含3km ）路程按起步价7元收费，超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费.试写出收费额关于路程的函数解析式.

解：设路程为x km 时，收费额为y 元，则由题意得：当时；当时，按2.4元/km 所收费用为，那么有

于是收费额关于路程的解析式为

即

——分段函数：在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式.像这样的函数通常叫做 分段函数

x ≤3y =7x >3()243.⨯-x ()y x =+⨯-7243.()y x x x =<≤+⨯->⎧⎨⎩703

72433.y x x x =<≤+⨯->⎧⎨⎩70372433.()