矩阵的三角分解

§4矩阵的三角分解
矩阵的三角分解定理：设n n
A R ×∈,如果A 的前
n-1个顺序主子式
det()0,1,2,,1i A i n ≠=− ，
则A 可分解为一个单位下三角矩阵L 与一个上三角矩阵U 的乘积，且这种分解是唯一的。

证明：
1.存在性：利用高斯消去法来构L 和U
(1)(2)()
1122det()0,1,2,,1i i ii A a a a i n =≠=−
1L A U −=，A LU
=
21
1
2
1
00101n n m L m m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦ ，
(1)
(1)(1)11
121(2)(1)222()0
n
n n nn a a a a a U a ⎡⎤⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
2．唯一性：分A 非奇异和奇异两种情况来证 （1）A 非奇异
考虑到A 的前n-1个顺序主子式非零，得 det()0,1,2,,i A i n ≠=
设1122A LU
L U ==，12,L L 为单位下三角矩阵，12,U U 为上三角矩阵。

因A 非奇异，所以1U 可逆，从而
11
2121L L U U −−=
11
2121
11
2121(,)
L L E U U L L U U −−−−⇒==因为单位下三角阵为上三角阵2121,L L U U ⇒==
（2）A 奇异
因det()0,1,2,,1i A i n ≠=− ，det()0n A =
()0,1,2,,1i ii a i n ⇒≠=− ，()
0n nn a = 设1122A LU
L U ==，12,L L 为单位下三角矩阵，12,U U 为上三角矩阵。

对它们进行矩阵
分块，得
(1)(1)(1)(1)
(1)
(1)
1
11222
(1)(1)1
122001010n n n n n n n n L U a L U a m a m a −−−−−−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
其中
(1)(1)12,n n L L −−为n-1阶单位下三角矩阵，(1)(1)12,n n U U −−为可逆的n-1阶上三角矩阵
(1)(1)(1)(1)(1)(1)
(1)(1)
11
11
2222
(1)(1)
(1)(1)
(1)(1)(1)(1)
11
11122
222n n n n n n n n n n n n n n n n L U L a L U L a m U m a a m U m a a −−−−−−−−−−−−−−−−⎛⎞⎛⎞⇒=⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠
由(1)(1)(1)(1)112
2n n n n L U L U −−−−=
(1)(1)(1)(1)212
1,n n n n L L U U −−−−⇒==
由(1)(1)(1)(1)
1122n n n n L a L a −−−−=(1)
(1)2
1n n a a −−⇒= 由(1)(1)(1)(1)
1122
n n n n m U m U −−−−=(1)
(1)21n n m m −−⇒=
由(1)(1)(1)(1)
2221
11n n n n m a a m a a −−−−+=+21a a ⇒= 故
2121,L L U U == 证毕。

注：
=称为杜利特（1） 上述定理的三角分解A LU
尔(Doolittle)分解，其中L为单位下三角矩
阵，U为上三角矩阵。

（2） 在上述定理的条件下，A亦可有如下的分=，其中L为下三角矩阵，U为解A LU
单位上三角矩阵，这种分解称为克劳特
(Crout)分解。

（3） 若A LU =，则Ax b =的解可经如下步骤
容易地求出
1）对,Ly b y =求；2）对,Ux y x =求 （4） 若det()0A ≠，则存在一个置换可逆矩阵
P ，使得PA LU =
§5解三对角线方程组的追赶法
一、 三对角线方程组的含义 设Ax f =，如果
11
2
22111i i i
n n n n
n b c a b c
A a b c a b c a b −−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢⎥⎣
⎦
,12n f f f f ⎡⎤⎢⎥⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
且系数矩阵A 满足下列条件 （1）11||||0b c >>
（2）||||||(0,2,3,,1)i i i i i b a c a c i n ≥+≠=− （3）||||0n n b a >>
则称A 为三对角阵，称Ax f =为三对角线方程组。

二、 三对角线方程组的求解
（一） 定理：设Ax f =为三对角线方程组，
则
（1）A 是非奇异矩阵；
（2）A 的所有顺序主子式都不为零，即 det()0,1,2,,i A i n ≠= 证明：用数学归纳法，略。

注：该定理表明，三对角阵可以进行三角分解，并且根据三对角阵的形状，它的三角分解的形状还有特殊性，事实上有
11
2
2211111
2
22
111
1i i i
n n n n
n n n n b c a b c
a b c a b c a b αβγαββγα−−−−⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢⎥⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥⎣⎦
⎣
⎦
（二） 求解方法：追赶法
1． 三角分解A LU =
1111//(),2,3,,1i i i i i c b c b a i n βββ−=⎧⎨
=−=−⎩
,2,3,,i i a i n γ== 111
,2,3,,i i i i b a i n
b αβα−=−==
2． 求解Ly f =
11111/()/(),2,3,,i i i i i i i y f b y f a y b a i n β−−=⎧⎨
=−−=⎩
3． 求解Ux y =
1,1,2,,2,1n n i i i i x y x y x i n n β+=⎧⎨
=−=−−⎩
追：12112,n n y y y βββ−⇒⇒⇒⇒⇒⇒ 赶：121n n x x x x −⇒⇒⇒⇒
§6解对称正定矩阵方程组的平方根法
一、对称正定矩阵的概念及性质
1．对称正定矩阵的概念
设n n A R ×∈,若A 对称，即A T =A;且正定，
即对任意的非零向量n x R ∈，有0T
x Ax >，则称
A 为对称正定矩阵。

2．对称正定矩阵的一些性质
（1）A 的所有顺序主子式都大于0，即
det()0,1,2,,i A i n >=
（2）A 的所有特征值都大于0，即
0,1,2,,i i n λ>=
二、对称正定矩阵的三角分解
对称正定矩阵的三角分解不仅存在、唯一，而且还有更特殊的形式。

1．T A LDL =，其中L 为单位下三角阵，D 为对角阵。

2．T A LL =，其中L 为下三角阵，且当限定L 的对角元素为正时，这种分解是唯一的，该分解称为乔来斯金(Cholesky)分解。

推导：
1）因A 对称正定，故有如下唯一的三角分解：
111212122212111n n n n nn u u u l u u A LU l l u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
0A LDU ⇒=
其中
11121222011,1n n nn u u u u u D U u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦
2）因A T =A ，故
00()()T T T
T A A LDU U DL ===
其中0T
U 为单位下三角阵，T DL 为上三角阵。

根据A 的三角分解的唯一性，有0T
U L =
从而T A LDL =
3）因A 正定，故
1111det()0,1,2,,i ii A u u u i n =>= 0,1,2,,ii u i n ⇒>=
1/21/2
D diag diag D D ⇒=⋅= 1/21/21/21/2ˆˆ()()T T T A LD D L LD LD LL ⇒===
推导毕
三、解对称正定矩阵方程组的平方根法
1． T
A LL =的分解计算：待定系数法
111111/(2,3,,)i i l l a l i n ===
1
21/211
1
()(2,3,,)()/(1,,)j jj jj jk
k j ij ij ik jk jj k l a l j n l a l l l i j n −=−==−==−=+∑∑
2．求解Ly=b
111111/()/,2,3,,i i i ik k ii k y b l y b l y l i n −==⎧⎪⎨
=−=⎪⎩
∑
3. 求解T
L x y =
1/()/,1,,1n n nn
n i i ki k ii k i x y l x y l x l i n =+=⎧⎪⎨
=−=−⎪⎩
∑
注：平方根法的优点
（1） 计算量为316
n 次乘除法，约为一般高斯消
去法的一半
（2） 数值稳定。

因为
211||max ()
j
jk jj jk i n
k l a l ≤≤=≤≤=∑∵
即jk l 有界，数量级不会增长。

（3） 存贮量少，可只存贮对角线以下元素。