估计的评价标准讲述

(2)评价估计量的标准是什么?
二、无偏性
q
定义6.1 若参数θ的估计量 qˆ T ( X 1 , X 2 ,..., X n ) 对一切 n 及θ∈Ω ，有
E (qˆn ) E [T ( X 1 , X 2 ,..., X n )] q
称 qˆn 为θ的无偏估计量.
例6.10 设总体 X 的k 阶矩 k E( X k ) (k 1)存在,
nx n1
f
(
x)
qn
,
0 x q,
0,
其他
所以
E(Xh)
q 0
x
nx
q
n1
n dx
n n
1
X
h
q
,
故
n
n
1
max(
X
1
,
X
2
,,
X
n
)
也是q
的无偏估计量.
由以上两例可知,一个参数可以有不同的无 偏估计量.
三、有效性
思考：已知总体X的样本X1, X2, X3,下列估
n
1 n
lim
n
P{
n
i1
X
i
E(X
)
ε}
0
即 ˆ X 为E(X) 的相合估计量.
例 设总体X的k阶原点矩E(Xk)存在, 证明样k阶
原点矩
1 n
n i1
X
k i
是其无偏、相合估计量.
证 样本构成的随机变量序列X1,X2,…,Xn, …
相互独立同分布，
{X
k i
}
,
i
1,2,
相
互
独
立
同
分
布,
计量是否为总体均值 的无偏估计量？
哪个更好？
1. X ; 2. X 1; 3. X 1 X 2; 4. 0.1 X 1 0.2 X 2 0.7 X 3 .
参数的无偏估计量不惟一.
无偏估计只能保证估计无系统误差：
E (qˆ q ) 0
θ
希望qˆ 的取值在θ及其附近越密集越好，
其方差应尽量小. 定义6.2 设 qˆ1 ( X 1 , X 2 ,..., X n )和 qˆ2 ( X 1 , X 2 ,..., X n )
i1
i1
n
( n 1) E ( S 2 ) E ( X i 2 ) n E ( X 2 ) i1
nE(X 2) nE(X 2)
n{D( X ) E ( X )2} n{D( X ) E ( X )2}
n( 2 2 ) n( 2 2 ) n
E(S2) 2.
(n 1) 2
四、相合性
无偏性：反映估计量相对待估参数有无系 统偏差.
有效性：在无偏类中反映估计量相对待估 参数的偏离程度.
问题：在“偏差性”和“离散性”两者 兼顾的原则下建立估计量为“最优”准则.
定义6.3 设 qˆn qˆ( X 1 , X 2 ,..., X n ) 是未知参数θ的 估计量，若对任意的ε>0，有
都是未知参数θ的无偏估计量,若
D (qˆ1 ) D (qˆ2 ), q
称 qˆ1比 qˆ2 有 效 ( 优 效 ).
设 是qˆ0θ的无偏估计，如果对θ的任何一个
无偏估计量 qˆ都有
D (qˆ0 ) D (qˆ ), q 称 qˆ为0 θ的最小方差无偏估计量.
X和S2 分别是 和 2 的最小方差无偏估计
第三节 估计量的评选标准
一、问题的提出 二、无偏性 三、有效性 四、相合性 五、小结
一、问题的提出
对于总体的参数，可用各种不同的方法去 估计它，因此一个参数的估计量不唯一.
如 X~U(0,q ) , q 的矩法估计量为 2 X ，
极大似然估计量为
m
1
ax{
in
X
i
}
问题
(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?
又设 X1, X2 ,, Xn 是 X 的一个样本，试证明不论
总体服从什么分布,
k 阶样本矩 Ak
1 n
n i 1
X
k i
是k
阶总体矩 k 的无偏估计.
证 因为 X1, X2 ,, Xn 与 X 同分布，
故有
E
(
X
k i
)
E(
X
k
)
k
,
i 1,2,,n.
即
E( Ak
)
1 n
n i 1
E(
X
k i
相合性的估计量是不予以考虑的.
由最大似然估计法得到的估计量, 在一定条 件下也具有相合性. 估计量的相合性只有当样本 容量相当大时,才能显示出优越性, 这在实际中 往往难以做到,因此,在工程中往往使用无偏性和 有效性这两个标准.
lim
n
P { qˆn
q
} 1
则称 qˆ为θ的相合估计量.
例6.15 设总体X的数学期望存在, 估计量 X ,
是μ=E(X)的无偏、相合估计量.
证 样本构成的随机变量序列X1，X2，…， Xn, … 相互独立同分布，服从切比雪夫大数定 理，对任给的ε＞0，有
lim P { X E ( X ) ε}
例6.12 设总体 X 在 [0,q ]上服从均匀分布,参数q 0,
X1, X2 ,, Xn 是来自总体X 的样本，试证明2X 和
n
n
1
max(
X1
,
X
2
,,
X
n
)
都是q
的无偏估计.
证 因为 E(2X ) 2E( X ) 2E( X ) 2q q ,
2
所以 2X 是q 的无偏估计量.
因为 Xh max(X1, X2,, Xn )的概率密度为
)
k
.
故 k 阶样本矩 Ak 是 k 阶总体矩 k 的无偏估计.
特别的: 不论总体 X 服从什么分布, 只要它的数学期望存在,
证明 S2 是σ2 的无偏估计量
例6.11 设总体的方差 D(X)=σ2 >0，则样本方
差S2 是σ2的无偏估计.
证
n
n
(n 1)S 2 ( X i X )2 X i2 nX 2
E(X
k i
)
E(X
k
)
E [ 1 n
n i1
X
k i
]
1 n
n i1
E
(
X
k i
)
E(X
k)
服从辛钦大数定理，对任给的ε＞0，有
n
lim
n
P{
i1
X
k i
E(X
k)
ε}
0
或者
lim
n
P{
1 n
n i1
X
k i
E(X
k)
ε}
1
五、小结
无偏性
估计量的评选的三个标准
有效性
相合性
相合性是对估计量的一个基本要求, 不具备