河道非恒定流水面线计算研究

和运动方程组成的方程组，在假定无旁侧入流的情况下，用水位 组过于简化，计算精度往往不能满足实际需要。
变量 ｚ 和流量变量 Ｑ 表示的圣维南方程组如下：
经过上述分析，作者推荐采用特征线法求解。
Ｂ 鄣ｚ ＋ 鄣Ｑ ＝０ 鄣ｔ 鄣ｓ
２
鄣Ｑ ＋ ２Ｑ
鄣Ｑ
＋［ｇＡ －Ｂ （Ｑ
２
）
］Ｑ
ｚ
＝（Ｑ
２
）
鄣Ａ
－ｇＡ Ｑ
ＺＰ
＝
［Ｑ
Ｒ
－Ｑ
Ｌ
＋（Ｂ ｗ －）Ｍ
Ｚ Ｌ
－（Ｂ ｗ ＋
（Ｂ ｗ － ）Ｍ －（Ｂ ｗ ＋ ）Ｍ
）
Ｍ
Ｚ Ｒ
］ …………（７）
Ｑ ｐ ＝Ｑ Ｒ ＋（Ｂ ｗ ＋）Ｍ （ＺＰ －ＺＲ ）＋Ｎ Ｍ △ｔ…………… （８）
或
Ｑ
ｐ
＝Ｑ
Ｌ
＋（Ｂ
ｗ
）
－Ｍ
（Ｚ Ｐ
－Ｚ Ｌ
）＋Ｎ
Ｍ
△ｔ……………
（９）
以上式中：
Ｚ、Ｑ 分别代表水位和流量；
库调度、溃坝洪水演进计算等提供科学依据。对一些简单的工 将直接差分法分为显式差分法和隐式差分法。显式差分法计算
程，可以利用恒定均匀流计算，稍复杂的工程可以利用恒定非均 简单，但限制条件较多；隐式差分法计算过程较为复杂，且仅适
匀计算，但对大型的重要工程仅靠这些计算往往不能反映实际 应缓慢水流，不适应急变流。
关键词：河道；非恒定流；水面线；特征性；库郎格式；网格；水位；流量
1. 问题的提出
算公式简单，容易编程。
在工程实践中，常常要对河道、水库或渠道等的水流进行计
二是直接差分法。此法是将基本方程组直接离散化，进而联
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算，以掌握其水面线和流量数据，从而为工程设计、洪水预报、水 解得到一组代数方程，依据离散化时采用的数值格式不同，又可
ｔ为时间，△ｔ为计算时段长；
ｓ 为顺水流方向的距离；
△ｓ 为断面间距或流段长；
Ｄ 、Ｍ 、Ｅ 为已知网格节点；
Ｐ 为求解网格节点；
Ｌ、Ｒ 分别代表上、下游网格之间过渡计算点；
Ａ 为过水断面面积，Ｂ 为水面宽度；
ｇ 为重力加速度，一般取 ９．８ｍ ／ｓ２。
Ｎ
Ｍ
＝Ｂ（Ｑ Ａ
）２i－
ｇｎ２Ｑ ２ Ａ Ｒ ４／３
＝
△ｔ △ｓ
（ｗ ＋
）Ｍ
（ＺＤ
－ＺＭ
）＋ＺＭ
………………（３）
Ｑ
Ｌ
＝
△ｔ △ｓ
（ｗ ＋
）Ｍ
（Ｑ
Ｄ
－Ｑ
Ｍ
）＋Ｑ
Ｍ
………………（４）
ＺＲ＝
△ｔ △ｓ
（ｗ －）Ｍ
（ＺＭ －ＺＥ）＋ＺＭ
…………………（５）
Ｑ
Ｒ＝
△ｔ △ｓ
（ｗ －）Ｍ
（Ｑ
Ｍ
－Ｑ
Ｅ
）＋Ｑ
Ｍ
………………（６）
根据求得的 ＺＬ、Ｑ Ｌ、ＺＲ 和 Ｑ Ｒ，进而可求得 ＺＰ 和 Ｑ Ｐ，即：
方程组变换为特征线的常微分方程组，然后对常微分方程进行 离散化，再结合水流的初始条件和边界条件求解。该方法物理概 念明确，数学分析严谨，计算结果精度较高，在实际计算中，其计
B(w+) dz = dQ -N…………（２） dt dt
式（２）也为两个方程，式（１）、（２）是特征线法的四个基本常 微分方程。求解这四个基本方程有很多方法，作者经过分析研 究，认为库郎格式求解相对简单，计算时不需要迭代，又有一定 的计算精度。
试验与研究
HENA
N
《河南水利与南水北调》2 0 1 2 年 第 8 期
河道非恒定流水面线计算研究
□褚青来( 河南省河口村水库工程建设管理局)
摘 要：在过去，非恒定流的计算多采用“瞬态法”，即忽略基本方程中的惯性项，将较为复杂的方程进行了极大的简化，从而可 以利用图表法进行计算，随着计算机的应用和普及，可以用“瞬态法”进行编程计算。但由于这种方法过于简化，计算精度往往不能 满足实际工程的需要。近年来，对非恒定流水面线的计算研究有了较大发展，出现了“特征线法”、 “直接差分法”等计算精度较高、易 于计算机编程的理论。文章根据非恒定流水面线的计算理论，进一步分析研究了适合工程实际的计算方法和步骤。
式中：Ｂ 、Ａ 、Ｑ 、Ｒ 、ｎ、ｉ分别代表 Ｍ 节点水面宽度、面积、流
量、水力半径和糙率、底坡。
（３）、（４）、（５）、（６）、（７）、（８）式是特征线法的库郎格式的基本方程
组。该解法是利用已知的 Ｄ 、Ｍ 、Ｅ 网格节点水力要素直接计算
出网格内点 Ｐ 点的水力要素。对于 Ｐ 点位于上下游边界时，则
情况，无法满足工程需要。为解决这一问题，往往要利用理论严
三是瞬时流态法，简称瞬态法。此法将运动方程中的所有惯
谨、计算精度较高的非恒定流原理。
性项忽略，从而使方程组简化为一阶非线性抛物型方程组，然后
2. 河道非恒定流水面线计算的基本方程
对简化方程离散化，再结合初始条件和边界条件进行近似计算。
河道非恒定流水面线计算的基本方程是由水流的连续方程 瞬态法应用较早，也是成熟有效的计算方法，但由于对基本方程
要分别情况，利用上述公式计算（详细情况在下面叙述）。
5. 特征线解法的方法步骤
５．１ 收集各过水断面资料
断面资料包括糙率、底坡坡降和断面几何资料。
对于糙率 ｎ，可参照有关水利设计手册选取，为保证计算精
度，各断面应分别取 ｎ 值，如果各断面相近也可采用统一的 ｎ
值。
对于坡降，各断面应分别计算，且要把握总体坡降趋势。
对于断面几何资料，如果断面规则，比如为矩形或梯形，可
直接建立高程 ｚ 和面积、湿周 ｘ、水力半径 Ｒ 、水面宽度 Ｂ 之间
的关系，如果不规则，如天然河道，则要根据实测资料或地形图，
式（１）为正（顺水流方向）负（逆水流方向）两条特征方程，并
的解析解，只能针对具体的明槽非恒定流问题，使用近似的计算 经过处理得：
方法求解。 3. 基本方程组的解法 根据圣维南方程组的特征，结合非恒定流理论的实际应用，
目前基本方程组的解法大致可分为 ３ 种： 一是特征线法。这一方法是根据偏微分方程理论，先将基本
库郎格式的求解方法，首先建立矩形网格（图 １），并引入积 分中值定理，即：
90
《河南水利与南水北调》2 0 1 2 年 第 8 期
试验与研究
HENAN
图 1 矩形网格图
乙b
a f(x)dx≈f(x)M (b-a) 并考虑网格特点，对 Ｌ 点和 Ｒ 点进行线性内插得到 Ｌ、Ｒ 点
的计算公式，即：
ＺＬ
鄣ｔ Ａ 鄣ｓ
Ａ 鄣ｓ Ａ 鄣ｓ
２
Ｋ
该方程组是非恒定流计算的基本方程组。由于方程组属于
4. 特征线法基本方程组 特征线法的基本思想，是根据基本方程组的特点，引进一条
特征线，经过推导求出特征线方程，即：
姨 ds
dt
=
Q A
±
g
A B
=w±…………（１）
一阶拟线性双曲型偏微分方程，在一般情况下，无法求出其普遍