信号与系统齐次解法求冲激响应

2 2
+
d
−
−
4
dt
3
两个加法器
e (t )
2
+
∑
+
∑
−
d 2 r (t ) dt 2
−
∫
4
dr (t ) dt
∫
r (t )
+
d
dt ˆ d 2 r (t ) dt 2
−
3
子系统交换
e (t ) +
∑
−
∫
4 3
ˆ dr (t ) dt
∫
ˆ r (t )
2
+
∑
r (t )
+
d
dt
退出
解：
ˆ h( t ) = A1 e − t + A2 e −3 t u( t )
(
dt 2
de( t ) dr ( t ) +4 + 3r ( t ) = + 2e( t ) ，求h(t) 。 dt dt
)
ˆ ∴ h′ 0 + = 1
( )
( )
(
)
(
)
(
)
退出
系统框图
d 2 r (t ) dr ( t ) de( t ) = −4 − 3r ( t ) + + 2e ( t ) 2 dt dt dt d r (t ) dr (t ) e (t ) r (t ) dt + 2 ∑ dt ∫ ∫
有界函数在无穷小 含δ(t)项 (t)项 区间积分为0 区间积分为0 积分不为0 积分不为0 ˆ ˆ ˆ ∴ h (n − 1 ) 0 + = 1 ∴ h(n−1) 0 + − h(n−1) 0 − = 1 积分 为1
+
( ) ( ) ˆ ˆ ˆ 系统是零状态的， 系统是零状态的，故 h( ) (0 ) = h( ) (0 ) = L = h(0 ) = 0 ˆ ˆ ˆ ∴ h( ) (0 ) = h( ) (0 ) = L = h(0 ) = 0
n −1 − n− 2 − − n− 2 wk.baidu.com n− 3 + +
( )
由系统的线性时不变特性， 由系统的线性时不变特性，原系统的冲激响应 h(t ) 为
h(t )的线性组合 .
∧
例题
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已知系统
d 2 r (t )
ˆ h 0+ = 0 1 A1 = ∧ − A1 − 3 A2 = 1 2 将边界条件代入 h(t ) 式 ⇒ 1 A1 + A2 = 0 A2 = − 2 ˆ ( t ) = 1 e − t − e − 3 t u( t ) ∴h 2 ˆ dh( t ) ˆ + 2h( t ) 则由系统的线性时不变特性 h( t ) = dt 1 − t 3 − 3t 1 −t 1 −3t h(t ) = − e + e u( t ) + e − e δ ( t ) + e − t − e − 3 t u( t ) 2 2 2 2 1 −t = e + e − 3t u (t ) 2
u(t)项。∴可以由此定初始条件 项 可以由此定初始条件
) + ) + ) + ) ( n −1 ) + h(0 ), h′(0 ), h′′(0 ), L , h (0 )
此方法比奇异函数系数平衡法简单。 此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更 有优越性。 有优越性。
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定初始条件
0 方程两端在 ∫ − 积分 + + + + 0 0 ˆ (n ) 0ˆ 0ˆ 0 h (t )dt + a n−1 ∫ − h(n−1) (t )dt + L + a0 ∫ − h( t )dt = ∫ − δ ( t )dt ∫0− 0 0 0
齐次解法求冲激响应（补充） 齐次解法求冲激响应（补充）
ˆ 令右端只有一项δ(t)时，冲激响应为 h(t ) 右端只有一项δ(t)时 只有一项 ˆ ˆ d ( n )h (t ) d (n −1)h (t ) ˆ + a n −1 + L + a 0 h (t ) = δ (t ) dt n dt n −1 ∴左端最高阶微分中含有δ(t)项， (n-1)阶微分中含有 项 阶微分中含有