高等数学同济版(下)第九章课件

解 1 直接利用公式;
解 2 将所给方程的两边对 x求导并移项，得

y
dy dx

z
dz dx


x

dy

dz

1
dx dx
dy dx

z x, yz
dz dx

x y
y, z

y dy dx
dy
z dz
dz dx 1

x
dy
0,
dx (1,2, 1)
dz
dx
1,
dx(1,2, 1)
dx
由此得切向量 T {1 ,0 , 1 },
所求切线方程为 x1y2z1, 1 0 1
法平面方程为 ( x 1 ) 0 ( y 2 ) ( z 1 ) 0 ,
xz0
例3 求球x面 2 y2 z2 50与锥x面 2 y2 z2
解


当t 0时， x 0 ,y 1 ,z 2 , M (x 0,y 0,z0)、 T
xetcots, y2co ts sit,n z3e3t,
x(0)1, y(0)2, z(0)3,
切线方程 x0y1z2,
1 23
法平面方程 x 2 ( y 1 ) 3 ( z 2 ) 0 ,
偏导数 (3,4,5 在 )处点 的值 6,8分 ,1,0 6,别 8,1为 0
由于 (F,G)
8 10

160 0
(y,z)
8 10
(3,4,5)
(F,G)
切线方程为 x 1x0y (xy00 )z (xz00),
法平面方程为
( x x 0 ) ( x 0 ) y y ( 0 ) ( x 0 ) z z 0 ( ) 0 .
如 果 空 的 间方 曲 x y程 线 ((z为 z)),
所 截 出 的 曲(线 3,4,5在 )处点的 切 线 与.法 平
解
设
F(x,y,z)x2y2z250 G(x,y,z)x2y2z2
它 们 关 于 x与y的 偏 导 数 依 次 为 ：
F x 2 x , F y 2 y , F z 2 z ; G x 2 x , G y 2 y , G z 2 z
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
( t 0 ) x ( x 0 ) ( t 0 ) y ( y 0 ) ( t 0 ) z z ( 0 ) 0
例1 求曲线 : x t eu cos udu， y 2sint cost 0 z 1 e3t 在t 0处的切线和法平面方程.
求 出 ddxy(x0),
dz dx

(
x0
)
及T
切线方程为？
法平面方程为?
切线方程为
xx0 yy0 zz0 , Fy Fz Fz Fx Fx Fy Gy Gz0 Gz Gx0 Gx Gy0
法平面方程为
G F y y G F z z0 (x x 0) G F z z G F x x0 (y y 0) G F x x G F y y0 (z z0) 0
t
t
t
当 M M ,即 t 0 时 ,
重要结论
x t (t0) ,y t (t0) ,z t (t0)
曲线在M处的切线方程
xx0
(t0)
y (ty 00 ) z (tz00).
切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
T ( t 0 ) , ( t 0 ) , ( t 0 )
即 x 2y 3 z 80 .
特殊地：
1.空间曲线方程为
y

z
(x)
,
(x)
xx
取 x为 参 数 ， 它参 就数 可方 以程 表 y的 为 (x形 ) 式
(x) , (x)在 xx0处可导 z(x)
在 M(x0,y0,z0)处 , T{1, (x0) ,(x0)}
割线 MM 的方程为:
xo y
xx0yy0zz0 点向式(对称式) x y z
考察割线趋近于极限位置——切线的过程
空间直线的方程
割线 MM的方程为
xx0yy0zz0 x y z
z
M
M
xo y
考察割线趋近于极限位置——切线的过程
上式分母同除以 t,
xx0yy0zz0, x y z
则 曲 线 在M(x0, y0,z0)处 的 切 线 方 程
xx0 y y0 zz0
(z0) (z0)
1
法平面方程为
(z0)x (x0)(z0)y (y0)(zz0)0
类似的可以写 的出 方程zx为((yy))时
曲线在某一点处方的程切和线法平面 . 方程
隐函数存在定理３
2.空间曲线方程为GF((xx,,yy,,zz))00,
(F,G) ( y, z)
0
M
F[x,(x),(x)]0
G[x,(x),(x)]0 两边分别对x求全导数

Fx

Gx
Fy Gy
dy dx Fz dy dx Gz
dz 0, dx dz 0. dx
注意： 第二种情况中的三个雅可比行列式
(F,G),(F,G),(F,G)其 中 至 少 一 个 不 为 零 (y,z) (x,z) (x, y) 均 满 足 定 理 . 条 件
例 2 求曲线 x2 y2 z2 6， x y z 0在 点(1,2, 1)处的切线及法平面方程.
第六节 微分法在几何上的应用
空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 小结 思考题 作业
一、空间曲线的切线与法平面 参数式
x (t)
设空间曲线的方程

y


(t
)
三个函数均可导.
(1)
z ( t )
z
M
设 M (x0,y0,z0)对 , 应 tt0;于
M ( x 0 x ,y 0 y ,z 0 z )对 ,t t 0 应 t. M