21.2_降次—解一元二次方程_因式分解法

x1 2; x2 1.
学习是件很愉快的事
淘金者
2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
• 你能用因式分解法解下列方程吗？
1 .x2-4=0; 解：1.(x+2)(x-2)=0,
∴x+2=0,或x-2=0.
∴x1=-2, x2=2.
∴x+6=0,或x-4=0.
因式分解，得
r 5
2r r 5 2r 0.


于是得 r 2r 5 0或r 2r 5 0.
5 5 r1 , r2 (舍去). 2 1 1 2 5 m. 答：小圆形场地的半径是 2 1
小结
拓展
回味无穷
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的 乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一 元二次方程的方法称为因式分解法. • 因式分解法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟 练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零.” • 因式分解法解一元二次方程的步骤是: • (1)化方程为一般形式; • (2)将方程左边因式分解; • • (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程. (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
10 4.9 x 0 以上解方程 x 是如何使二次方程降为一次的？
的方法
x 10 4.9 x 0
①
x 0 或 10 4.9 x 0,
②
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降 次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次， 这种解法叫做因式分解法．
第22章 一元二次方程
22.2.3 因式分解法
风向标
☞
学习目标
了解因式分解法解一元二次 方程的概念,并会用因式分解法 解某些一元二次方程.
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法? 直接开平方法 配方法
X2=a (a≥0) (x+h)2=k (k≥0)
2
b b 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2 a 2.什么叫因式分解?
3x2 6x 3, 4x2 121 0 3 4
解：化为一般式为 解：因式分解，得
x2－2x+1 = 0.
因式分解，得
( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0. 有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
( x－1 )( x－1 ) = 0.
2
2
.
（1） x2+x=0 解： 因式分解，得 x ( x+1 ) = 0. 得 x = 0 或 x + 1 =0， x1=0 , x2=－1.
2 x2 2
解： 因式分解，得
3x 0
x x 2 3 0.
得 x 0 或 x 2 3 0,


x1 0, x2 2 3.
有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0，
11 11 x1 , x2 . 2 2
x1=x2=1.
3 x 2 x 1 4 x 2 5
解：化为一般式为
6 x 4 5 2 x
2
2
Байду номын сангаас
解：变形有 ( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0. 因式分解，得 ( x － 4 － 5 + 2x )( x － 4 + 5 －2x ) = 0. ( 3x － 9 )( 1 － x ) = 0.
2x 14x - 3 0,
2 x 1 0, 或4 x 3 0. 1 3 x1 , x2 . 2 4
想一想
先胜为快
• 一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
解：设这个数为x,根据题意,得
2x2=7x.
2x2-7x=0, x(2x-7) =0, ∴x=0,或2x-7=0.
6x2 － x －2 = 0.
因式分解，得
( 3x － 2 )( 2x + 1 ) = 0.
有 3x － 2 = 0 或 2x + 1 = 0，
2 1 x1 , x2 . 3 2
有 3x － 9 = 0 或 1 － x = 0，
x1 = 3 , x2 = 1.
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面 积增加了一倍，求小圆形场地的半径． 解：设小圆形场地的半径为r 根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π.
7 x1 0, x2 . 2
我最 棒
,用因式分解法解下列方程
2 2 2 1 x x 0 ； 2 x 2 3 x 0; 3 3 x 6 x 3；
4 x2 121 0; 5 3x 2 x 1 4 x 2; 4 6 x 4 5 2 x
公式法


把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做因式分解.
心动
不如行动
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 2 3x.
小颖是这样解的: 小明是这样解的:
解 : x 2 3x 0.
例题欣赏
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因式分解法
用因式分解法解方程: (1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2).
解 : 1.5x 2 4 x 0, 因式分解法解一元二次方程的步骤是: x5x 4 0. 1.化方程为一般形式; x 0, 或5x 4 0. 2. 将方程左边因式分解; 4 x1 0; x2 . 3. 根据“至少有一个因式为 5 零”,转化为两个一元一次方程. 2.x 2 xx 2 0, 4. 分别解两个一元一次 x 21 x 0. 方程，它们的根就是原方 程的根. x 2 0, 或1 x 0.
小亮是这样想的: 0 3 0,15 0 0, 0 0 0. 反过来, 如果a b 0, 那么a 0或b 0 小亮是这样解的:
或a b 0. 即, 如果两个因式的积等于 0, 那么这两个数至少有一 个为0.
解 :由方程x 2 3x, 得 x 2 3x 0. xx 3 0. x 0, 或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
解 : 方程x 2 3x两 边都同时约去 x, 得. x 3.
这个数是3.
小明做得对吗?
3 9 x . 2
这个数是0或3.
小颖做得对吗?
心动
不如行动
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 2 3x.
∴x1=-6, x2=4.
动脑筋
• 1.解下列方程:
争先赛
1. x 2x - 4 0, 2.4x2x 1 32x 1. 解 :1 . x 2 0, 或x - 4 0.
x1 2; x2 4. 2.4x2x 1 32x 1 0,
• 因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显 示了“二次”转化为“一次”的过程.
下课了!
结束寄语
• 配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来掌 握.而某些方程可以用因式分解法简 便快捷地求解.
小亮做得对吗?
我思
我进步
因式分解法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因 式分解法.
老师提示:
1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”