第五节 椭圆

第五节 椭圆

学习目标

1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质；

2.了解圆锥曲线的简单应用；

3.理解数形结合的思想.

[小题速练]

1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于1

2，则C 的方程是( ) A.x 23＋y 2

4＝1 B.x 24＋y 2

3＝1

C.x 24＋y 2

2＝1

D.x 24＋y 2

3＝1

2．已知椭圆x 225＋y 2

m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．9

3．直线y ＝2x －1与椭圆x 29＋y 2

4＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定

4．已知F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2

3＝1的两个焦点，过点F 2作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，则△F 1AB 的周长为__________．

5．(2017·常州调研)若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是

__________．

考点一 椭圆的标准方程——热考点

例1 (1)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 2

9＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为( ) A.x 220＋y 2

4＝1

B.x 225＋y 24

＝1 C.y 220＋x 2

4＝1

D.x 24＋y 225

＝1

(2)如图，椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，则椭圆的标准方程为________________．

[跟踪演练]

1．若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) A.x 25＋y 2

＝1

B.x 24＋y 2

5＝1 C.x 25＋y 2＝1或x 24＋y 2

5＝1

D ．以上答案都不对

2．椭圆以x 轴和y 轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为( )

A.x 24＋y 2＝1

B.y 216＋x 2

4＝1

C.x 24＋y 2＝1或y 216＋x 24＝1

D.x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2

＝1 考点二 椭圆的定义及应用——常考点

例2 (1)△ABC 的两个顶点为A (－4,0)，B (4,0)，周长为18，则C 点轨迹为( ) A.x 225＋y 2

9＝1(y ≠0) B.y 225＋x 2

9＝1(y ≠0) C.x 216＋y 2

9＝1(y ≠0)

D.y 216＋x 2

9＝1(y ≠0)

(2)椭圆x 25＋y 2

4＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )

A.55

B.655

C.855

D.455

[跟踪演练]

1．设P 是椭圆x 225＋y 2

9＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( ) A ．9,12 B ．8,11 C ．8,12 D ．10,12

2．F 1，F 2是椭圆x 29＋y 2

7＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )

A ．7 B.74 C.72 D.752

考点三 椭圆的几何性质——热考点

角度1：利用椭圆的性质求参数的值或取值范围

例3-1 (1)已知椭圆x 2m －2＋y 2

10－m ＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )

A ．8

B ．7

C ．6

D ．5

(2)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝1

2，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·P A →

的最大值为( )

A ．1

B ．2 3

C ．4

D ．4 3

角度2：求离心率的值或取值范围

例3-2 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13

(2)已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在

点P 使∠F 1PF 2为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，12

[跟踪演练]

1．(2016·全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1

4，则该椭圆的离心率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34

2．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2

3＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )

A.21

4 B ．6 C ．8 D ．12