广东省潮州市2019届高三数学上学期期末教学质量检测试题理(含解析)

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【市级联考】广东省潮州市2019届高三上学期期末教学质量检测数学(理)试题

绝密★启用前【市级联考】广东省潮州市2019届高三上学期期末教学质量检测数学（理)试题试卷副标题注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题 1．设集合，，则 A ． B ． C ．R D ． 2．复数z 满足为虚数单位，则 A ． B ． C ． D ． 3．若A 、B 、C 、D 、E 五位同学站成一排照相，则A 、B 两位同学至少有一人站在两端的概率是 A ． B ． C ． D ． 4．下列函数在区间上是增函数的是 A ． B ． C ． D ． 5．已知随机变量～，若，则 A ． B ． C ． D ． 6．等比数列中，若，且成等差数列，则其前5项和为（） A ．30 B ．32 C ．62 D ．64 7．已知命题是P ：“ ”是“ ”的充要条件，q ：，使得；则A ．￢￢为真命题B ．为假命题…………装…………○…………订…※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答…………装…………○…………订…8．已知函数的图象经过点，则 A ．2019 B ． C ．2 D ．1 9．已知函数，则 A ．0 B ．7 C ． D ．4 10．平面直角坐标系xOy 中，点在单位圆O 上，设，若，且，则的值为A ．B ．C ．D ．11．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2，则图中x 的值为A ．1B ．C ．D ．12．已知双曲线C ：的左、右焦点分别为、，且双曲线C 与圆在第一象限相交于点A ，且，则双曲线C 的离心率是A ．B ．C ．D ．…………○………名：___________班级：_____…………○………第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题 13．已知实数x 、y 满足约束条件，则的最小值为______． 14．已知向量、，满足，，且，则在上的投影为______． 15．过点且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为______． 16．设数列的前n 项乘积为，对任意正整数n 都有，则 ______．三、解答题 17．如图，在四棱锥中，， . （1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值. 18．已知点()1F ，圆(222:16F x y +=，点M 是圆上一动点， 1MF 的垂直平分线与2MF 交于点N . （1）求点N 的轨迹方程；（2）设点N 的轨迹为曲线E ，过点()0,1P 且斜率不为0的直线l 与E 交于,A B 两点，点B 关于y 轴的对称点为B '，证明直线AB '过定点，并求PAB ∆'面积的最大值. 19．已知函数．求的解集；若的最小值为T ，正数a ，b 满足，求证：．参考答案1．D【解析】【分析】求解不等式化简集合A、B，然后直接利用交集运算得答案．【详解】，，．故选：D．【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，是基础题．2．C【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由，得，．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．C【解析】【分析】五名同学站成一排照相，共有种排法、B两位同学至少有一人站在两端的排法有：种，由此能求出A、B两位同学至少有一人站在两端的概率．【详解】五名同学站成一排照相，共有种排法．A、B两位同学至少有一人站在两端的排法有：种，、B两位同学至少有一人站在两端的概率为．故选：C．【点睛】该题考查的是有关概率的求解问题，涉及到的知识点有有条件的排列问题以及古典概型概率公式，属于简单题目.4．A【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数在上的单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项，对于A，，其导数，当时，有恒成立，则函数在上为增函数，符合题意；对于B，，其导数为，在上，，则函数在上为减函数，不符合题意；对于C，，其导数为，当时，有恒成立，则函数在上为减函数，不符合题意；对于D，，为二次函数，在上为减函数，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查函数的单调性的判断，注意函数的导数与函数单调性的关系，属于基础题．5．B【解析】【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性即可求解．【详解】～，且，，且，．故选：B．【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．6．C【解析】【分析】设等比数列{a n}的公比为q，a4＝8a1，可得a1q3＝8a1，解可得q．又a1，a2+1，a3成等差数列，可得2（a2+1）＝a1+a3，解可得a1，由等比数列前n项和公式计算可得答案．【详解】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，∵a4＝8a1，∴a1q3＝8a1，a1≠0，解得q＝2．又a1，a2+1，a3成等差数列，∴2（a2+1）＝a1+a3，∴2（2a1+1）＝a1（1+22），解得a1＝2；则其前5项和S562；故选：C．【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，掌握等比数列的通项公式和前n项和公式即可．7．C【解析】【分析】由指数函数的单调性可得：函数在R上为增函数，所以“”是“”的充要条件，由不等式有解问题，存在时，，即命题q是真命题，得结果.【详解】因为函数在R上为增函数，所以“”是“”的充要条件，即命题P是真命题，因为存在时，，即命题q是真命题，即为真命题，故选：C．【点睛】本题考查了指数函数的单调性及不等式有解问题，属简单题目.8．B【解析】【分析】由函数的图象经过点，可得，进而可得答案．【详解】因为函数过点，所以，解得：，所以，故选：B．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，方程思想，函数求值，难度不大，属于基础题．9．B【解析】【分析】推导出，且，由此能求出的值．【详解】函数，，且．故．故选：B．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．C【解析】【分析】利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可．【详解】，，，，则，故选：C．【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．11．A【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，利用体积转化求解即可．【详解】三视图对应的几何体的直观图如图：几何体的体积为：，解得．故选：A．【点睛】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．12．A【解析】【分析】运用双曲线的定义和条件，求得，，由直径所对的圆周角为直角，运用勾股定理和离心率公式，计算可得所求值．【详解】双曲线C与圆在第一象限相交于点A，可得，由，可得，，由，可得，即为，即有，即有．故选：A．【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直径所对的圆周角为直角，以及双曲线的定义，考查化简运算能力，属于中档题．13．【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由解得：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时z最小，此时，故答案为：．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．14．【解析】【分析】根据得，在上的投影为．【详解】，，，，在上的投影为，故答案为：．【点睛】本题平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．15．【解析】【分析】求导函数，确定切线的斜率，可得所求直线的斜率，再利用点斜式可得直线方程．【详解】，，当时，，即曲线在点处的切线斜率为，与曲线在点处的切线垂直的直线的斜率为2，直线过点，所求直线方程为，即．故答案为：．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线方程，解题的关键是理解导数的几何意义．16．【解析】【分析】对任意正整数n都有，时，，化为：时，，可得：利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】对任意正整数n都有，时，，化为：．时，，可得：．．可得：．．故答案为：．【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】(Ⅰ)先证明CD⊥BC．CD⊥CE，得到CD⊥平面BCE．再证明平面BCE⊥平面CDE；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，采用向量法求解二面角的余弦值.【详解】(Ⅰ)证明：因为,，所以.因为,所以,所以,因为,所以平面.又平面,所以平面平面.(Ⅱ)以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,所以,设平面的法向量为,则,即,令 , 解得 ,即 ,显然平面的一个法向量为 , 所以,所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了面面垂直的判定和求二面角的余弦值，考查了空间想象能力以及计算能力；求二面角的空间向量坐标法的一般步骤：建立空间直角坐标系，确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过两个法向量的夹角得出二面角的大小.18．(1) 22142x y +=.(2) 2. 【解析】【试题分析】（1）由于24MN NF +=，所以N 的轨迹为椭圆，利用椭圆的概念可求得椭圆方程.（2）当直线l 的斜率存在时，设出直线方程和点,,A B B '的坐标，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，求得直线AB '的方程，求得其纵截距为2，即过()0,2.验证当斜率不存在是也过()0,2.求出三角形面积的表达式并利用基本不等式求得最大值. 【试题解析】解：（1）由已知得： 1NF NM =，所以1224NF NF MN NF +=+= 又12F F =所以点N 的轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长等于4的椭圆，所以点N 轨迹方程是22142x y +=. （2）当k 存在时，设直线():10AB y kx k =+≠， ()()1122,,,A x y B x y ，则()22,B x y '-，联立直线AB 与椭圆得2224{1x y y kx +==+，得()2212420k x kx ++-=，∴()212212281404{ 12212k kx x k x x k ∆=+>-+=+-=+，∴1212AB y y k x x '-=+，所以直线()121112:y y AB y y x x x x --=-+'，所以令0x =，得122112x y x y y x x +=+，()()122112121211212x kx x kx kx x x x x x +++==+=++，所以直线AB '过定点()0,2Q ，（当k 不存在时仍适合）所以PAB ∆'的面积12221212PQB PQA k S S S x x k ∆∆'=-=+=+2122k k=≤+，当且仅当2k =±时，等号成立. 所以PAB ∆'面积的最大值是2. 【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查与圆锥曲线有关的三角形面积的最值.由于给定点()1F，而圆心恰好是)，由此考虑动点是否满足椭圆或者双曲线的的定义，结合垂直平分线的性质可知动点的轨迹为椭圆. 19．（1）；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）将函数写成分段函数形式，画出函数图象，利用数形结合思想可得的解集；（2）由（1）中的图象可得的最小值为，利用均值不等式可知，进而可得结果.试题解析：（1）由图像可知：的解集为.（2）图像可知的最小值为1，由均值不等式可知，当且仅当时，“”成立，即.。

【精选】广东省2019届高三上学期期末联考数学理试卷及答案解析

华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考理科数学第一部分选择题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则复数的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由复数的运算法则直接计算即可.【详解】，，虚部为【点睛】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题型.2.设，，则下列不等式中恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质，逐项判断即可.【详解】对于A，当a为正数，b为负数时，，所以，A错误；对于B，当a＝2，b＝时，B不成立，所以错误。

对于C，，所以选项C正确；对于D，取反例：【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于基础题型.3.已知是等比数列，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求公比，再求,最后根据等比数列前n项和公式的结果.【详解】，，.，故,选C.【点睛】本题考查等比数列前n项和公式以及通项公式,考查基本求解能力,属基础题.4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的体积相等，在同高处的截面积相等，由于A、B体积相等，A、B在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此是的必要不充分条件.选B.5.如图是一个算法流程图，若输入的值为，输出的值是，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出，即可得到输出条件.详解：输入，第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环，输出，此时应满足退出循环的条件，故的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用定积分先求出阴影部分的面积，再由几何概型的计算公式计算即可.【详解】阴影部分的面积，正方形面积为，所以所求概率为.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型.7.已知函数，R，先将图像上所有点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移个单位长度，得到的图像关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，将其图像上的点的横坐标缩短到原的后所得函数的解析式为，图像在轴左侧的第一条对称轴，故至少向右平移个单位就可以得到关于轴对称的图像，选C.点睛：若三角函数的图像平移后得到的图像为奇函数或偶函数的图像，那么最小的平移往往和轴附近的对称轴或对称中心有关.8.的展开式中常数项为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】的通项为，，根据式子可知当或时有常数项，令 ; 令;故所求常数项为，故选C.【点睛】求解与二项式相关的复杂式子的一般方法及步骤是：将复杂式子分解转化成与简单的二项式相关的式子根据条件找到符合条件的二项式的项，利用二项式的通项求出符合条件的项，整合最终得出所求9.已知是边长为2的等边三角形边上的动点，则的值（）A. 有最大值B. 是定值C. 有最小值D. 与点的位置有关【答案】B【解析】【分析】先设=，=，=t ，然后用和表示出，再由=+将=、=t 代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．【详解】设===t则=﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t , +=+,•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t ﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t]+t 2=﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故答案为：B【点睛】本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起考查综合题，平时要多注意这方面的练习．10.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可.【详解】∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞）f（-x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，本题选择B选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．11.设、分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合题意，计算出，结合两点距离公式，距离方程，用c表示m，结合，建立关于e的不等式，计算范围，即可。

潮州市2019届高三数学上学期期末教学质量检测试题含答案文

广东省潮州市2019届高三数学上学期期末教学质量检测试题文（含）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B. C. R D.【答案】D求解不等式化简集合A、B，然后直接利用交集运算得答案．【详解】，，．故选：D．本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，是基础题．2.复数z满足为虚数单位，则A. B. C. D.【答案】C把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由，得，．故选：C．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.设命题，则是A. B.C. D.【答案】C因为全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为，故选C.4.已知具有线性相关的变量x、y，设其样本点为2，3，，，回归直线方程为，若，，则A. B. C. D.【答案】B首先求得样本中心点，然后利用线性回归方程的性质求解实数a的值即可．【详解】，，因为线性回归直线经过样本中心点，则，即，．故选：B．线性回归直线经过样本中心点．5.下列函数在区间为单调递增函数的是A. B. C. D.【答案】D利用基本函数的单调性逐个判断即可.【详解】，，在都为单调递减函数，在为单调递增函数．故选：D．本题考查基本函数的单调性，熟记简单函数的单调性是关键.6.已知函数，则A. 2019B.C. 2D. 1【答案】B根据自变量所在的范围代入相应的式计算即可得到答案.【详解】函数，，．故选：B．本题考查分段函数函数值的计算，解决策略:(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2) 求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则.7.在等比数列中，已知，且，，成等差数列则的前5项和为A. 31B. 62C. 64D. 128【答案】B设等比数列公比为q，由，可得根据，，成等差数列，可解得，再求和即可.【详解】设等比数列的公比为q，，，，解得．又，，成等差数列，，，解得的前5项和为，故选：B．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，属于基础题.8.已知向量、，满足，，且，则在上的投影为A. B. C. D. 4【答案】C根据可得，进而可求出，利用投影公式即可得结果.【详解】，；；；又；；在上的投影为．故选：C．本题考查向量垂直的充要条件，向量的数量积运算，向量投影的计算公式，属于基础题.9.某几何体的三视图如图所示，若图中，则该几何体的体积为A. 2B. 1C. 4D. 6【答案】A根据三视图知几何体为四棱锥，且侧棱垂直于底面，由图中数据可求该几何体体积．【详解】根据三视图知该几何体为四棱锥，且侧棱底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，画出直观图，如图所示；由图中数据，计算几何体的体积为：．故选：A．解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图.10.已知函数，则A. 0B. 7C.D. 4【答案】B推导出，且，由此能求出的值．【详解】函数，，且．故．故选：B．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.若双曲线的渐近线与直线所围成的三角形面积为2，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A渐近线为，时，，所以，即，，，故选A．12.平面直角坐标系xOy中，点在单位圆O上，设，若，且，则的值为A. B. C. D.【答案】C利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可．【详解】，，，，则，故选：C．本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的最大值为______．【答案】首先利用诱导公式和辅助角公式化简函数式，即可求出函数的最大值．【详解】函数，当时，函数的最大值为，故答案为：．本题考查诱导公式和辅助角公式的应用，考查正弦函数图像的性质的应用，属于基础题.14.已知实数x、y满足约束条件，则的最小值为______．【答案】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由解得：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时z最小，此时，故答案为：．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．15.曲线在点处的切线与圆相切，则______．【答案】求切线的斜率和切点，由点斜式方程得切线方程，再由圆心到切线的距离等于半径，计算可得所求值．【详解】的导数为，可得切线的斜率为，切点为，即有在处的切线方程为，即为，由切线与圆相切，可得，可得．故答案为：．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线和圆相切的条件：，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.设数列的前n项和为，已知，且对任意正整数n都有，则______【答案】对任意正整数n都有，可得，利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】对任意正整数n都有，，即，．数列是首项与公差都为1的等差数列．，解得．故答案为：．本题考查由数列递推关系求通项公式，考查等差数列的通项公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角的对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）已知，的面积为1，求边.【答案】（1）；（2）.(1)利用正弦定理化简即得A的值.(2)通过三角形的面积以及余弦定理，转化求解即可．【详解】（1）∵bcosA+asinB=0∴由正弦定理得：sinBcosA+sinAsinB=0∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA+sinA=0∵，∴tanA=﹣1又0＜A＜π∴（2）∵，S△ABC=1，∴即：又由余弦定理得：故：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形底面积的求法，考查计算能力．18.某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，单位：克中，经统计得频率分布直方图如图所示．经计算估计这组数据的中位数；现按分层抽样从质量为，的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在内的概率．某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：A ：所以芒果以10元千克收购；B ：对质量低于250克的芒果以2元个收购，高于或等于250克的以3元个收购．通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？【答案】（1）268.75；（2）；（3）见.试题：（1）根据频率分布直方图和中位数的定义求解．（2）有分层抽样可得，应从内抽取4个芒果，从内抽取2个芒果，列举出从6个中任取3个的所有可能情况，然后判断出这个芒果中恰有个在的所有情况，根据古典概型概率公式求解．（3）分别求出两种收购方案中的获利情况，然后做出选择．试题：（1）由频率分布直方图可得，前3组的频率和为，前4组的频率和为，所以中位数在内，设中位数为，则有，解得．故中位数为268.75.（2）设质量在内的4个芒果分别为，质量在内的2个芒果分别为. 从这6个芒果中选出3个的情况共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共计20种，其中恰有一个在内的情况有，，，，，，，，，，，，共计12种，因此概率．（3）方案A：．方案B：由题意得低于250克：元；高于或等于250克元故的总计元．由于，故B方案获利更多，应选B方案．：利用频率分布直方图估计样本数字特征的方法(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值；(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和；(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．19.如图，在四棱锥中，,，点为棱的中点.（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）见（2）试题：（1）取的中点，连接，根据三角形中位线定理可得，从而可得四边形为平行四边形，，利用线面平行的判定定理可得平面；（2）由得，由勾股定理可得，从而得平面，到平面的距离为，利用三角形面积公式求出底面积，根据等积变换及棱锥的体积公式可得.试题：（1）取的中点，连接.因为点为棱的中点，所以且，因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为，所以.因为，所以，所以，因为,平面，平面,所以平面.因为点为棱的中点，且，所以点到平面的距离为2..三棱锥的体积.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于中档题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.20.已知椭圆：与抛物线：相交于，两点的顶点是的一个焦点，过点B且斜率为的直线l与、分别交于点M、均异于点A、．Ⅰ求的方程．Ⅱ若点A在以线段MN为直径的圆外，求k的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.Ⅰ由抛物线的顶点，可得椭圆下焦点为即得c值，由，可得，代入抛物线得b，再利用，可得椭圆的方程．Ⅱ依题意知直线l的方程为，分别与椭圆、抛物线的方程联立得点M，N的坐标，再利用数量积的运算性质及其根与系数的关系即可得出．【详解】解：Ⅰ抛物线的顶点为，即椭圆的下焦点为，，由，知，代入抛物线得，得，，的方程为．Ⅱ依题意知直线l的方程为，与联立消去y得：，则，得，，由，得，由，得，则，得，，点A在以MN为直径的圆外，，又，，解得，综上知．本题考查椭圆与抛物线的方程及其性质、数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知函数.其中(1)当时，求函数的单调区间；(2)若对于任意，都有恒成立，求的取值范围.【答案】（1）见；（2）.试题：（1）求导得到区间上单调递减，上单调递增；（2）直接求导，对分类讨论，得到.试题：（1），令其为，则所以可得即单调递增，而，则在区间上，，函数单调递减；在区间上，函数单调递增（2），另，可知.，令，①当时，结合对应二次函数的图像可知，，即，所以函数单调递减，∵，∴时，，时，.可知此时满足条件.②当时，结合对应二次函数的图像可知，，单调递增，∵，∴时，，时，.可知此时不成立.③当时，研究函数.可知.对称轴.那么在区间大于0，即在区间大于0，在区间单调递增，，可知此时.所以不满足条件.综上所述：.22.已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为.（1）求曲线在极坐标系中的方程；（2）求直线被曲线截得的弦长.【答案】（1）；（2）试题：（1）把曲线的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为普通方程，再根据，化为极坐标方程．（2）把直线和圆的直角坐标方程联立方程组，求得交点的坐标，再利用两点间的距离公式求得弦长．试题：（Ⅰ）把曲线的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为普通方程为再化为极坐标方程是．（Ⅱ）直线的直角坐标方程为由求得或可得直线与曲线的交点坐标为，，所以弦长为．考点：极坐标、参数方程23.已知函数.（1）求的解集；（2）若的最小值为,正数满足，求证：.【答案】（1）；（2）见.试题：（1）将函数写成分段函数形式，画出函数图象，利用数形结合思想可得的解集；（2）由（1）中的图象可得的最小值为，利用均值不等式可知，进而可得结果.试题：（1）由图像可知：的解集为. （2）图像可知的最小值为1，由均值不等式可知，当且仅当时，“”成立，即.。

广东省潮州市浮洋中学2019年高三数学理上学期期末试卷含解析

广东省潮州市浮洋中学2019年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中，在定义域上既是减函数又是奇函数的是A．y＝lgx B．y＝－C．y＝x｜x｜D．y＝参考答案：B略2. 将曲线C:上每一点向右平移a>0个单位，得到曲线C’，若曲线C’的一个最低点横坐标为π/4，且当时，曲线C’上任意两点连线斜率恒大于0，则b值为（）A.1B. 2C. 3D. 4参考答案：A化简曲线C:平移得到C’:把最低点坐标代入C’得到，即函数在给定区间单调递增，因此解得故选A7.阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是A.S＜8B. S＜9C. S＜10D. S＜11参考答案：B4. 复数的实部是（）A． B． C． D．参考答案：C5. 已知O为原点，P为椭圆( 为参数)上第一象限内一点，OP的倾斜角为，则点P坐标为( ).A.(2,3)B.(4,3)C.(2,)D.(,)参考答案：D6. 已知i是虚数单位，若复数z满足z2=﹣4，则=（）A．﹣B．﹣i C．D．i参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵复数z满足z2=﹣4，∴z=±2i．则==±．故选：D．7. 数列的首项为1，为等比数列且，若，则（）A 、16B 、32C 、64D 、128参考答案：C 略8. 复数（i 是虚数单位）的共轭复数的虚部为（） A 、B 、0C 、1D 、2参考答案：A9. 如图，一个由两个圆锥组合而成的空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1、一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（）CDA几何体是底面半径为，高为的两个圆锥的组合体，∴V=×π××=．故选A ．10. 如图，长方形的四个顶点为，曲线经过点．现将一质点随机投入长方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A ．B ．C ．D ．参考答案： C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 输入x=2，运行右图的程序输出的结果为。

【国家百强校】2019届广东省潮州市高三上学期期末教学质量检测数学(理)试题扫描版

潮州市2018—2019学年度第一期期末高三级教学质量答案卷理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．．2．，．3．五名同学站成一排照相，共有种排法．符合条件的共有，概率为4．对于有，，5．且故6．设等比数列公比为，所以.且，，所以．7．、都为真命题，则为真命题.8．因为函数过点，所以，所以9．由得，且．故10.，．11．该几何体为四棱锥且平面，，由得12．．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．；14．；15．；16．．13．把改写为，当且仅当动直线过点时，取得最大值为．14．，，由得所以，所以投影为．15. ，曲线在点处的切线斜率为，所以直线垂线的方程为，即．16．，三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．(本小题满分12分)（1）解：∴由正弦定理得：---2分-------3分-----4分又.........................5分∴--------6分（2）(2)，即：--------8分又由余弦定理得：--11分故：-------12分18．(本小题满分12分)解：（1）由图可知，中的芒果的比例为故个芒果中，质量在和内的分别有个和个.则的可能取值为，，，………2分，，，所以的分布列为……6分的数学期望. ……7分（2）方案：…………9分方案：低于克：元高于或等于克元总计元…11分由，故方案获利更多，应选方案. ……………12分19．(本小题满分12分)（1）证明：因为，所以. …………1分因为，所以，所以，…………2分因为，所以平面. …………3分因为平面，所以平面平面. …………4分（2）由（1）知，平面，故以点为坐标原点，分别以、所在的直线为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. (5)分所以，所以，…6分设平面的法向量为，则，所以，…7分取，则，…………8分又因为平面的一个法向量为，…………9分所以，……11分因为二面角为锐角，故余弦值为. ………12分20．(本小题满分12分)解：（1）由已知得：，所以又，…………2分所以点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆，所以点的轨迹方程是. …………4分（2）设直线，，，则，…5分联立直线与椭圆得，得，…………6分∴∴，所以直线，…………8分所以令，得，所以直线过定点， (9)故面积…11分当且仅当时，等号成立.所以面积的最大值是. ……12分21．解：（1），令其为，则所以可得即单调递增，………………………2分而，则在区间上，，函数单调递减；在区间上，函数单调递增. ………………4分（2），另，可知，，令，. ………………6分①当时，结合对应二次函数的图像可知，，即，所以函数单调递减，，时，，时，，可知此时满足条件. ………………8分②当时，结合对应二次函数的图像可知，可知，单调递增，，时，，时，，，可知此时不成立. (10)分③当时，研究函数，可知，对称轴，那么在区间大于0，即在区间大于0，在区间单调递增，，可知此时，所以不满足条件.综上所述：. …………12分22．(本小题满分10分)解：（1）由，平方和得………………2分所以曲线的普通方程为，到……………3分即，将代入方程化简得．所以，曲线的极坐标方程是．………………5分（2）由得因为故直线的直角坐标方程为，……………7分由得直线与曲线的交点坐标为，…8分所以弦长．…10分23．(本小题满分10分)解：（1）当时，………2分由得，当时，………4分由得，当时，………6分由得，综上所述，当时，解集为………7分（2）由图像可知的最小值为，由均值不等式可知，…8分当且仅当时，“”成立，即. …10分。

2018-2019学年广东省潮州市高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2018-2019学年广东省潮州市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：共12题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，1）B．（2，+∞）C．R D．（1，2）2．（5分）复数z满足（﹣2﹣i）z＝|3+4i|（i为虚数单位），则＝（）A．﹣2+i B．2﹣i C．﹣2﹣i D．2+i3．（5分）若A、B、C、D、E五位同学站成一排照相，则A、B两位同学至少有一人站在两端的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）下列函数在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．y＝x2+e x B．y＝cos x﹣e x C．y＝D．y＝x2﹣4x5．（5分）已知随机变量ξ～N（1，σ2），若P（ξ＞3）＝0.2，则P（ξ≥﹣1）＝（）A．0.2B．0.8C．0.1D．0.96．（5分）等比数列{a n}中，若a4＝8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列，则其前5项和为（）A．30B．32C．62D．647．（5分）已知命题是P：“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件，q：∃x0∈R，使得e+≤2；则（）A．（￢p）∨（￢q）为真命题B．p∨q为假命题C．p∧q为真命题D．（￢p）∧q为真命题8．（5分）已知函数f（x）＝的图象经过点（3，0），则f（f（2））＝（）A．2019B．C．2D．19．（5分）已知函数f（x）＝+1，则f（3）+f（2）+f（1）+f（0）+f（﹣1）+f（﹣2）+f（﹣3）＝（）A．0B．7C．﹣7D．410．（5分）平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）在单位圆O上，设∠xOP＝α，若α∈（），且sin（α+）＝，则x0的值为（）A．B．C．﹣D．﹣11．（5分）某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2，则图中x的值为（）A．1B．C．D．12．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），且双曲线C与圆x2+y2＝c2在第一象限相交于点A，且|AF1|＝|AF2|，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：共4题，每题5分，满分共20分，把答案填在答题卷的横线上．13．（5分）已知实数x、y满足约束条件，则z＝+y的最小值为．14．（5分）已知向量、，满足||＝，||＝2，且（﹣）⊥，则在上的投影为．15．（5分）过点（0，1）且与曲线在点（3，2）处的切线垂直的直线的方程为．16．（5分）设数列{a n}的前n项乘积为T n，对任意正整数n都有T n＝1﹣a n，则T n＝．三、解答题：第17～21题为必做题，每题满分各为12分，第22～23题为选做题，只能选做题，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b cos A+a sin B＝0．（1）求角A的大小；（2）已知，△ABC的面积为1，求边a．18．（12分）某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100，150），[150，200），[200，250），[250，300），[300，350），[350，400）（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示（1）现按分层抽样从质量为[250，300），[300，350）的芒果中随机抽取9个，再从这9个中随机抽取3个，记随机变量X表示质量在[300，350）内的芒果个数，求X的分布列及数学期望．（2）以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：A：所以芒果以10元/千克收购；B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购．通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？．19．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2AB＝2CE＝4，∠BCE＝120°，DE＝2．（1）证明：平面BCE⊥平面CDE；（2）若BC＝4，求二面角E﹣AD﹣B的余弦值．20．（12分）已知点F1（﹣，0），圆F2：（x﹣）2+y2＝16，点M是圆上一动点，MF1的垂直平分线与MF2交于点N．（1）求点N的轨迹方程；（2）设点N的轨迹为曲线E，过点P（0，1）且斜率不为0的直线l与E交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为B′，证明直线AB′过定点，并求△P AB′面积的最大值．21．（12分）已知函数．其中（a∈R）（1）当a＝0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对于任意x＞0，都有f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ+）＝2．（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣3|+|3x﹣6|．（1）求f（x）＜2的解集；（2）若f（x）的最小值为T，正数a，b满足，求证：．2018-2019学年广东省潮州市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．【解答】解：∵A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}＝（0，2），B＝{x|＞0}＝{x|x﹣1＞0}＝（1，+∞），∴A∩B＝（1，2）．故选：D．2．【解答】解：由（﹣2﹣i）z＝|3+4i|＝5，得z＝，∴．故选：C．3．【解答】解：五名同学站成一排照相，共有n＝＝120种排法．A、B两位同学至少有一人站在两端的排法有：+＝84种，∴A、B两位同学至少有一人站在两端的概率为p＝．故选：C．4．【解答】解：根据题意，依次分析选项，对于A，y＝x2+e x，其导数y′＝2x+e x，当x＞0时，有y′＝2x+e x＞0恒成立，则函数f （x）在（0，+∞）上为增函数，符合题意；对于B，y＝cos x﹣e x，其导数为y′＝﹣sin x﹣e x，在（π，2π）上，y′＜0，则函数f（x）在（π，2π）上为减函数，不符合题意；对于C，y＝﹣x，其导数为y′＝﹣﹣1，当x＞0时，有y′═﹣﹣1＜0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；对于D，y＝x2﹣4x，为二次函数，在（0，2）上为减函数，不符合题意；故选：A．5．【解答】解：∵ξ～N（1，σ2），且P（ξ＞3）＝0.2，∴P（ξ＜﹣1）＝0.2，且P（ξ＜﹣1）+P（ξ≥﹣1）＝1，∴P（ξ≥﹣1）＝1﹣0.2＝0.8．故选：B．6．【解答】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，∵a4＝8a1，∴a1q3＝8a1，a1≠0，解得q＝2．又a1，a2+1，a3成等差数列，∴2（a2+1）＝a1+a3，∴2（2a1+1）＝a1（1+22），解得a1＝2；则其前5项和S5＝＝62；故选：C．7．【解答】解：因为函数y＝2x在R上为增函数，所以“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件，即命题P是真命题，因为存在x0＝0时，e＝2≤2，即命题q是真命题，即p∧q为真命题，故选：C．8．【解答】解：因为函数过点（3，0），所以log3（3+m）﹣1＝0，解得：m＝0∴f（2）＝log32﹣1＜0，所以f（f（2））＝，故选：B．9．【解答】解：∵函数f（x）＝+1，∴f（﹣x）+f（x）＝+1+＝2，且f（0）＝＝1．故f（3）+f（2）+f（1）+f（0）+f（﹣1）+f（﹣2）+f（﹣3）＝3×2+1＝7．故选：B．10．【解答】解：∵α∈（），∴α+∈（，π），∵sin（α+）＝，∴cos（α+）＝﹣，则x0＝cosα＝cos[（α+）﹣]＝cos（α+）cos+sin（α+）sin＝﹣+＝﹣，故选：C．11．【解答】解：三视图对应的几何体的直观图如图：几何体的体积为：×2＝2，解得x＝1．故选：A．12．【解答】解：双曲线C与圆x2+y2＝c2在第一象限相交于点A，可得|AF1|﹣|AF2|＝2a，由|AF1|＝|AF2|，可得|AF1|＝（3+）a，|AF2|＝（1+）a，由AF1⊥AF2，可得|AF1|2+|AF2|2＝|F1F2|2，即为（12+6）a2+（4+2）a2＝4c2，即有e2＝＝＝4+2，即有e＝1+．故选：A．二、填空题：共4题，每题5分，满分共20分，把答案填在答题卷的横线上．13．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由解得：B（2，﹣4）由z＝+y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点（2，﹣4）时，直线的截距最小，此时z最小，此时z＝﹣3，故答案为：﹣3．14．【解答】解：∵（﹣）⊥，∴（﹣）•＝0，∴2﹣•＝0，•＝3，∴在上的投影为＝，故答案为：．15．【解答】解：∵，∴y′＝，当x＝3时，y′＝﹣，即曲线在点（3，2）处的切线斜率为﹣，∴与曲线在点（3，2）处的切线垂直的直线的斜率为2，∵直线过点（0，1），∴所求直线方程为y﹣1＝2x，即2x﹣y+1＝0．故答案为：2x﹣y+1＝0．16．【解答】解：对任意正整数n都有T n＝1﹣a n，n≥2时，T n＝1﹣，化为：﹣＝1．n＝1时，T1＝1﹣T1，可得：T1＝．＝2．可得：＝2+（n﹣1）＝n+1．∴T n＝．故答案为：．三、解答题：第17～21题为必做题，每题满分各为12分，第22～23题为选做题，只能选做题，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．【解答】（本小题满分12分）（1）解：∵b cos A+a sin B＝0∴由正弦定理得：sin B cos A+sin A sin B＝0﹣﹣﹣（2分）∵0＜B＜π，∴sin B≠0，∴cos A+sin A＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵，∴tan A＝﹣1﹣﹣﹣﹣﹣（4分）又0＜A＜π…（5分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）方法1：解：∵，S△ABC＝1，∴即：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又由余弦定理得：﹣﹣（11分）故：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）方法2：∵，S△ABC＝1，∴即：…①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又…②由①②解得：…（9分）由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝10﹣﹣（11分）故：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）18．【解答】解：（1）由题意知，9个芒果中，质量在[250，300）和[300，350）内的分别有6个和3个；则X的可能取值为0，1，2，3；计算，，，；所以X的分布列为：X的数学期望为；…（6分）（2）方案A：（125×0.002+175×0.002+225×0.003+275×0.008+325×0.004+375×0.001）×50×10000×10×0.001＝25750（元）；方案B：低于250克：（0.002+0.002+0.003）×50×10000×2＝7000（元），高于或等于250克：（0.008+0.004+0.001）×50×10000×3＝19500（元），总计7000+19500＝26500（元）；由25750＜26500，故B方案获利更多，应选B方案…（12分）19．【解答】解：（1）证明：因为AB∥CD，∠ABC＝90°，所以CD⊥BC．因为，所以CD2+CE2＝DE2，所以CD⊥CE，因为BC∩CE＝C，所以CD⊥平面BCE．因为CD⊂平面CDE，所以平面BCE⊥平面CDE．（2）由（1）知，CD⊥平面BCE，故以点C为坐标原点，分别以的方向为x轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz．所以，所以，设平面ADE的法向量为，则，所以，取x＝1，则，又因为平面ABD的一个法向量为，所以，所以二面角E﹣AD﹣B的余弦值为．20．【解答】解：（1）圆F2：（x﹣）2+y2＝16，圆心为（，0），半径为4，由垂直平分线的性质得：|NF1|＝|NM|，∴|NF1|+|NF2|＝|MN|+|NF2|＝|MF2|＝4，又|F1F2|＝2，∴点N的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长等于4的椭圆，∴2a＝4，2c＝2，即a＝2，c＝，∴b2＝a2﹣c2＝4﹣2＝2，∴点N的轨迹方程是+＝1；（2）证明：设直线AB：y＝kx+1，（k≠0），设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则B′（﹣x2，y2），联立直线AB与椭圆得，得（1+2k2）x2+4kx﹣2＝0，显然△＝16k2+8（1+4k2）＞0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，∴k AB′＝，∴直线AB′：y﹣y1＝（x﹣x1），∴令x＝0，得y＝＝＝+1＝2，∴直线AB′过定点Q（0，2），∴△P AB′的面积S＝|PQ|•|x1+x2|＝＝≤＝，当且仅当k＝±时，等号成立．∴△P AB′的面积的最大值是．21．【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝2（x﹣1）lnx，f′（x）＝2lnx+＝2lnx﹣+2，∴f′（x）在（0，+∞）上单调递增，又f′（1）＝0，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调减区间为（0，1），单调增区间为（1，+∞）．（2）设g（x）＝2（x﹣1）lnx﹣（x2﹣x﹣1+）（x＞0），则g′（x）＝2lnx﹣+3﹣2x+，g″（x）＝+﹣2﹣＝＝﹣≤0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递减，又g′（1）＝0，∴当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴g（x）≤g（1）＝0，即2（x﹣1）lnx≤（x2﹣x﹣1+）在（0，+∞）上恒成立，当且仅当x＝1时取等号．由（1）可知2（x﹣1）lnx≥0，∴x2﹣x﹣1+≥0，显然当x＝1时，a取任何数都成立，当x≠1时，＜1，即﹣＞﹣1，∵2（x﹣1）lnx+a（x2﹣x﹣1+）≤0恒成立，∴a≤﹣恒成立，∴a≤﹣1．所以a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．【解答】解：（1）把曲线C的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为普通方程为（x﹣2）2+y2＝4，再化为极坐标方程是ρ＝4cosθ．﹣﹣﹣﹣（5分）（2）∵直线l的直角坐标方程为x+y﹣4＝0，由求得，或，可得直线l与曲线C的交点坐标为（2，2）（4，0），所以弦长为＝2．﹣﹣﹣﹣（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解（1），如图示：由图象可知：f（x）＜2的解集为．（2）证明：由图象可知f（x）的最小值为1，由均值不等式可知，当且仅当a＝b时，“＝”成立，即．。

潮州市2019高三上期末数学(理)试题及答案

潮州市2019高三上期末数学（理）试题及答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，则AB =A ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 4．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ．1x >5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n 6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=，()0AB AD AC -=⋅，则四边形ABCD 是 A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯（即n ∏表示数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．11．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=，则cos A =________． 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i >___？13．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的五位数，其中奇数有个．14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的体积为__________．三．解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数．（1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合；（2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．（1）如果甲、乙来自A 小区，丙、丁来自B 小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A 小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A 小区中任选25个人，记X 表示25个人中低碳族人数，求()E X ． 17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M 、(1,0)N ，若动点P 满足6||MN MP NP =⋅．（1）求动点P 的轨迹C ；（2）在曲线C 上求一点Q ，使点Q 到直线l ：2120x y +-=的距离最小． 18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2π=∠=∠BAD ABC ，42===AD BC AB ，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EF ∥BC ，x AE =．沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图)．G 是BC 的中点，以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥的体积记为()f x ．（1）当2=x 时，求证：BD ⊥EG ；（2）求()f x 的最大值；主视图俯视图左视图（3）当()f x 取得最大值时，求异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）数列{}n a 中112a =，前n 项和2(1)n n S n a n n =--，1n =，2，…．（1）证明数列1{}n n S n +是等差数列；（2）求n S 关于n 的表达式；（3）设 3n n n b S =１，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20．（本题满分14分）二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==，且最小值是14-．（1）求()f x 的解析式；（2）设常数1(0,)2t ∈，求直线l ：2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ；（3）已知0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥m答案及评分标准：8~1：CCDD ；CBBA ；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14．以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-． 2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}AB =．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =． 4．画出直线y x =与双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，显然1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >．5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．６．由0AB CD +=，得AB CD DC =-=，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅，故0DB AC =⋅，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ．8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>．9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=． 10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．11．由(2)cos cos b c A a C -=，得2cos cos cos b A c A a C =+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，故2sin cos sin()B A A C =+，又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =，12．考查循环结构终止执行循环体的条件．13．1132336636C C A =⨯=⋅⋅．14．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，则=，故4a =，底面积142S =⨯⨯=2V Sh ===．15．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-， …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=， ……… 4分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 6分参考答案：学生没有写成集合的形式的扣1分．（2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， …… 10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--． …… 12分 16．解：（1）设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …… 1分2222112222222222()0.50.20.50.50.20.80.50.8P C C C C C C C =+⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.010.160.160.33=++=． …… 4分答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …… 5分（2）设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率20.5(120%)0.32a P a⨯⨯-==．故低碳族的概率10.320.68P =-=． ………… 9分随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即17~(25,)25X B ，故17()251725E X =⨯=． ………… 12分 17．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-，(3,0)MN =-，(1,)NP x y =-． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅，得3(4)x --= ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=， ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分参考答案：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分．（2）椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l ：2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离．m设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-= （*）．依题意得0∆=，即0)12(16422=--m m ，故216m =，解得4m =±．当4m =时，直线1l ：240x y ++=，直线l 与1l 的距离d ==．当4m =-时，直线1l ：240x y +-=，直线l 与1l 的距离5d ==．<，故曲线C 上的点Q 到直线l ．…12分当4m =-时，方程（*）化为24840x x -+=，即2(1)0x -=，解得1x =．由1240y +-=，得32y =，故3(1,)2Q ． ……… 13分 ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小． ……… 14分 18．（法一）（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ，∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥， ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BHDH H =，故⊥EG 平面DBH ．又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+2288(2)333x =--+≤．∴当2x =时，()f x 有最大值为83．（3）解：由（2）知当()f x 取得最大值时2AE =，故2BE =，由（2）知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 与BD 所成的角．在Rt BEH ∆中BH ==，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥ 在Rt BDH ∆中BD =，∴cos3DH BDH BD ∠===．∴异面直线AE 与BD 法二：（1）证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ，∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如图所示．当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==． ∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ．∴(2,2,2)BD =-，(2,2,0)EG =， ∴440BD EG ⋅=-+=． ∴BD EG ⊥，即BD EG ⊥；（2）解：同法一；,AE BD <>或其补角．（3）解：异面直线AE 与BD 所成的角θ等于又(0,0,2)AE =-，故cos ,|||2|AE BD AE BD AE BD <>===⋅⋅∴cos θ=，故异面直线AE 与BD 19．（1）证明：由2(1)n n S n a n n =--，得21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥．∴221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，故111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-．…２分 ∴数列由1{}n n S n+是首项11221S a ==，公差1d =的等差数列； …… 4分（2）解：由（1）得112(1)11n n S S n d n n n+=+-=+-=．……… 6分 ∴21n n S n =+； ………８分（3）由（２），得3n n n b S =１＝321nn n +１＝111(1)1n n n n =-++．…… 10分 ∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+ …１２分1111n n n =-=++． ……… 14分 20．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24af x ax ax a x =-=--． ……………… ２分又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =．∴2()f x x x =-； ………………４分（2）依题意，由22x x t t -=-，得x t =，或1x t =-．（1t -ｔ）……６分由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232t tx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰…… ８分（3）∵()f x 的最小值为14-，故14m -，14n -． …… １０分∴12m n +-≥-，故12m n ++ ……… 12分∵1()02m n +，102m n ++≥， ……… 13分∴11()()22m n m n +++=∴211()()24m n m n +++≥ ……… 14分。

广东省2019届高三上学期期末联考数学理试题(解析版)

对于C，，所以选项C正确；对于D，取反例：【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于基础题型.3.已知是等比数列，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求公比，再求,最后根据等比数列前n项和公式的结果.【详解】，，.，故,选C.【点睛】本题考查等比数列前n项和公式以及通项公式,考查基本求解能力,属基础题.4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的体积相等，在同高处的截面积相等，由于A、B体积相等，A、B在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此是的必要不充分条件.选B.5.如图是一个算法流程图，若输入的值为，输出的值是，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出，即可得到输出条件.详解：输入，第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环，输出，此时应满足退出循环的条件，故的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用定积分先求出阴影部分的面积，再由几何概型的计算公式计算即可.【详解】阴影部分的面积，正方形面积为，所以所求概率为.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型.7.已知函数，R，先将图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移个单位长度，得到的图像关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，将其图像上的点的横坐标缩短到原来的后所得函数的解析式为，图像在轴左侧的第一条对称轴，故至少向右平移个单位就可以得到关于轴对称的图像，选C.点睛：若三角函数的图像平移后得到的图像为奇函数或偶函数的图像，那么最小的平移往往和轴附近的对称轴或对称中心有关.8.的展开式中常数项为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】的通项为，，根据式子可知当或时有常数项，令; 令;故所求常数项为，故选C.【点睛】求解与二项式相关的复杂式子的一般方法及步骤是：将复杂式子分解转化成与简单的二项式相关的式子根据条件找到符合条件的二项式的项，利用二项式的通项求出符合条件的项，整合最终得出所求9.已知是边长为2的等边三角形边上的动点，则的值（）A. 有最大值B. 是定值C. 有最小值D. 与点的位置有关【解析】【分析】先设=，=，=t，然后用和表示出，再由=+将=、=t代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．【详解】设 = = =t则=﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t ﹙﹣﹚=﹙1﹣t ﹚+t , +=+,•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t ﹚+t ﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t ﹚2+[﹙1﹣t ﹚+t]+t2=﹙1﹣t ﹚×4+2+t×4=6 故答案为：B【点睛】本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起来考查综合题，平时要多注意这方面的练习． 10.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【分析】由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可.【详解】∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞）f（-x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，本题选择B选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．11.设、分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合题意，计算出，结合两点距离公式，距离方程，用c表示m，结合，建立关于e的不等式，计算范围，即可。

2019年广东省13市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：函数

yxO 广东省13市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编函数1、（潮州市高三上学期期末）设函数f （）=，则使得f （2﹣2）＞f （3﹣6）成立的的取值范围是（）A ．（﹣∞，2）∪（3，+∞）B ．（2，3）C ．（﹣∞，2）D ．（3，+∞）2、（东莞市高三上学期期末）已知函数，则函数 y ＝f (1－) 的大致图象是( )3、（佛山市高三教学质量检测（一））函数xaxx x f -+-=11log 1)(2为奇函数，则实数=a ________ 4、（广州市高三12月模拟）已知函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ()()g x f x =--，则函数()g x 的图象是5、（惠州市高三第三次调研）函数f ()＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos (－π≤≤π且≠0)的图象可能为( )（A ）（B ）（C ）（D ）6、（江门市高三12月调研）若，，，则 A ． B ．C ．D ．7、（揭阳市高三上学期期末）函数],[|,|sin ππ-∈+=x x x y 的大致图象是8、（茂名市高三第一次综合测试）已知定义域为R 的偶函数()f x 在(,0]-∞上是减函数，且(1)2f =，则不等式2(log )2f x >的解集为（）A . (2,)+∞B . 1(0,)(2,)2+∞ C . (0,(2,)2+∞ D . )+∞ 9、（清远市清城区高三上学期期末）已知函数2f x x bx c =++（），（b ，c ∈R ），集合()()()00{}{|}A x f x B x f f x ====丨，，若存在00x B x A ∈∉，则实数b 的取值范围是（） A ． 04b ≤≤ B ． 0b ≤或4b ≥ C ．04b ≤< D ．0b <或4b ≥ 10、（汕头市高三上学期期末）已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，0)(')(<+x xf x f 成立，若)2()2(1.01.0f a ⋅=，)2(ln )2(ln f b ⋅=，)81log )81(log 22f c ⋅=，则c b a ,,的大小关系是（）A ．c b a >>B ．a b c >> C. b a c >> D ．b c a >>11、（韶关市高三1月调研）已知(1),(1)()3,(1)x f x x f x x +<⎧=⎨≥⎩, 则3(1log 5)f -+=(A) 15(B)53(C)5(D)1512、（肇庆市高三第二次模拟）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（A ）()2x f x = （B ）()sin f x x x =（C ）1()f x x=（D ）x x x f -=)( 13、（珠海市高三上学期期末）（肇庆市高三第二次模拟）若定义域为R 的偶函数()y f x =满足()()2f x f x +=-，且当[]0,2x ∈时，()22f x x =-，则方程()sin f x x =在[]10,10-内的根的个数是 ▲ .14、（广州市高三12月模拟）设0.40.7a =，0.70.4b =，0.40.4c = ，则,,a b c 的大小关系为 (A) b a c << (B) a c b << (C) b c a << (D) c b a << 15、（惠州市高三第三次调研）已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且函数34y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数，给出以下四个命题：（1）函数()f x 是周期函数；（2）函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称；（3）函数()f x 为R 上的偶函数；（4）函数()f x 为R 上的单调函数．其中真命题的序号为______________．（写出所有真命题的序号） 16、（江门市高三12月调研）对于函数，有如下三个命题：①的单调递减区间为()②的值域为③若，则方程在区间内有3个不相等的实根其中，真命题是．（将真命题的序号填写在横线上）17、（揭阳市高三上学期期末）已知0a >且1a ≠，函数()13log ,0,0x x x f x a b x >⎧⎪=⎨⎪+≤⎩满足()02f =，()13f -=，则()()3f f -=（A ）3-（B ）2-（C ）3（D ）218、（清远市清城区高三上学期期末）已知函数()() 1ln 1 1a x f x x x -≥=-<⎪⎩，，有两个零点，则实数的取值范围是．19、（清远市清城区高三上学期期末）已知函数)(x f 及)(x g )(D x ∈，若对于任意的D x ∈，存在o x 使得)()(),()(o o x g x g x f x f ≥≥恒成立且)()(o o x g x f =，则称)(),(x g x f 为“兄弟函数”已知函数),()(2R q P q Px x x f ∈++=, x x x x g 1)(2+-=是定义在区间]221，⎢⎣⎡上的“兄弟函数”，那么函数)(x f 在区间]221，⎢⎣⎡上的最大值为20、（韶关市高三1月调研）已知不恒为零的函数()f x 在定义域[0,1]上的图象连续不间断，满足条件(0)(1)0f f ==，且对任意12,[0,1]x x ∈都有12121|()()|||3f x f x x x -≤-，则对下列四个结论：①若(1)()f x f x -=且102x ≤≤时，11()()202f x x x =-，则当112x <≤时，11()(1)()202f x x x =--；②若对[0,1]x ∀∈都有(1)()f x f x -=-，则()y f x =至少有3个零点；③对1[0,1],|()|6x f x ∀∈≤恒成立；④. 对12121,[0,1],|()()|6x x f x f x ∀∈-≤恒成立其中正确的结论个数有 (A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个参考答案1、【解答】解：函数f （）=为奇函数，当＞0时，f （）=1﹣，可得f （）在（0，+∞）递增，由奇函数的性质，可得f （）在R 上递增，由f （2﹣2）＞f （3﹣6），可得2﹣2＞3﹣6，解得＜2或＞3．故选：A ．2、D3、14、D5、函数f ()＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos (－π≤≤π且≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当＝π时，f ()＝⎝⎛⎭⎫π－1πcos π＝1π－π<0，排除选项C ，故选D.6、B7、C8、 B 解：()f x 是R 的偶函数，在(,0]-∞上是减函数，所以()f x 在[0,)+∞上是增函数，所以2(log )2(1)f x f >=2(|log |)(1)f x f ⇔>2|log |1x ⇔>2log 1x ⇔>或2log 1x <-2x ⇔>或102x <<. 答案B. 9、D 10、B11、333(1log 5)(1log 51)(log 5)f f f -+=-++= 3log 5(3)5==,选C.12、D 13、10 14、C15、【解析】333(3)[()]()()222f x f x f x f x +=++=-+=，所以()f x 是周期为3的周期函数，（1）正确；函数3()4f x -是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，则()f x 的图象关于点3(,0)4-对称，（2）正确；3()()2f x f x -=--+，333()()()222f x f x f x -+=--++=-，所以()()f x f x -=，（3）正确；()f x 是周期函数，在R 上不可能是单调函数，（4）错误．真命题序号为（1）（2）（3）． 16. ①② 17. B18. [1 )+∞， 19. 220.【解析】由(1)()f x f x -=得()y f x =图象关于轴12x =， ①正确； (1)()f x f x -=-，111()(1)()222f f f ∴=-=-1()2f ∴=0，故()y f x =至少有3个零点10,,12. ②正确；当102x ≤≤时，11|()|||36f x x ≤≤；当112x ≤≤时，则112x -≤ 1111|()||()(1)|(1)3326f x f x f x =-≤-≤⨯=. ③正确，设1201x x ≤≤≤，当121||2x x -≤时，121211|()()|||36f x f x x x -≤-≤，当211||2x x ->时，1212|()()||()(0)(1)()|f x f x f x f f f x -=-+- 121211|()(0)||(1)()||0||1|33f x f f f x x x ≤-+-≤-+-221111111111(1)()33333326x x x =⨯+-=--≤-⨯=. ④正确选D.。

广东省潮州市19-20学年高三上学期期末数学试卷 (有解析)

广东省潮州市19-20学年高三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若P ={x|x <4}，Q ={x|x 2<4}，则 ( )A. P ⊆QB. Q ⊆PC. P ⊆∁R QD. Q ⊆∁R P 2. 设i 是虚数单位，复数1+ai 2−i 为纯虚数，则实数a 为( )A. 12B. 2C. −12D. −23. 已知函数f(x)={log 2x,x ≥1x 2+3,x <1则f(f(−1))= ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 已知数列{a n }是等比数列，则“a 1<a 2”是“数列{a n }为递增数列”的( )A. 充分不必要条件B. 充分必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 5. 函数f(x)=ax+b (x+c)2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A. a >0，b >0，c <0B. a <0，b >0，c >0C. a <0，b >0，c <0D. a <0，b <0，c <06. 从1，2，3，4中任取不同的数字构成一个两位数，则这个数小于20的概率为( )A. 14B. 13C. 12D. 23 7. 在四边形ABCD 中，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，BD⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2)，则该四边形的面积为( ) A. √5 B. 2√5 C. 5 D. 108. 若x ，y 满足{2x −y ≤0x +y ≤3x ≥0，则2x +y 的最大值为( )A. 0B. 3C. 4D. 59. 设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X,Y,Z ，则下列等式中恒成立的是( )A. X +Z =2YB. Y (Y −X )=Z (Z −X )C. Y 2=XZD. Y (Y −X )=X (Z −X )10.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)在左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为5，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(−3,−6)，则双曲线的焦距为() A. 2√3 B. 2√5 C. 4√3 D. 4√511.已知函数f(x)={−x 2+2x,x≤0ln(x+1),x>0，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()A. (−∞,0]B. (−∞,1]C. [−2,1]D. [−2,0]12.三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=30°，△APC的面积为2，则三棱锥P−ABC的外接球体积的最小值为()A. 32π3B. 4π3C. 64πD. 4π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线y=kx是曲线y=ln x的切线，则k的值为__________．14.已知{a n}是等差数列，S n为其前n项和，若a1=6，a4+a6=4，则S5=______．15.函数y=3sinx−4cosx在x=θ处取得最大值，则sinθ=__________．16.已知圆O：x2+y2=1和点A(−2,0)，若定点B(b,0)(b≠−2)和常数A满足：对圆O上任意一点M，都有MB=λMA，则：(1)b=________；(2)λ=________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=√3b．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)若0<A<π2，a=6，且△ABC的面积S=7√33，求△ABC的周长．18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中AB．点，AA1=AC=CB=√22(1)求证：BC1//平面A1CD；(2)求锐角二面角D−A1E−C的平面角．19.已知函数f(x)=ax2−x−ln(ax)(a≠0,a∈R)．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)讨论函数f(x)零点的个数．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，过点(1,12)作圆x 2+y 2=1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆C 的右焦点和上顶点．(Ⅰ)求椭圆C 的方程和离心率；(Ⅱ)点P 为椭圆C 上任意一点，求△PAB 面积的最大值．21. 2019年4月21日至28日世界乒乓球锦标赛在匈牙利布达佩斯举办，中国乒乓球队热身选拔赛中，种子选手A 与非种子选手B 1，B 2，B 3分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，选手A 获胜的概率分别为34，23，12，且各场比赛互不影响．(Ⅰ)若A 至少获胜两场的概率大于23，则A 入选征战锦标赛的最终名单，否则不予入选，问A 是否会入选最终的名单？(Ⅱ)求A 获胜场数X 的分布列和数学期望．22. 选修4--4；坐标系与参数方程已知动点P ，Q 都在曲线C ：{x =2cosβy =2sinβ(β为参数)上，对应参数分别为β=α与β=2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点．(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．23.设函数f(x)=|x−2|+|2x−a|．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)≥3的解集；(Ⅱ)当f(x)=|x−a+2|时，求实数x的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，属于基础题．解：由于P ={x |x <4}，C R P ={x |x ≥4}，Q ={x |x 2<4}，C R Q ={x |x ≤−2}∪{x |x ≥2}，所以Q ⊆P ，P 不包含于C R Q ，Q 不包含于C R P ．故选B ．2.答案：B解析：本题考查复数的概念及运算，复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后它的实部为0，可求实数a 的值．解：复数1+ai 2−i =(1+ai)(2+i)(2−i)(2+i)=2−a+2ai+i 5，因为它是纯虚数，所以{2−a =02a +1≠0，解得a =2．故选B ．3.答案：B解析：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．先求出f(−1)=4，从而f(f(−1))=f(4)，由此能求出f(f(−1))的值．解：∵函数f(x)={log 2x,x ≥1x 2+3,x <1， ∴f(−1)=(−1)2+3=4，f(f(−1))=f(4)=log 24=2．故选B ．4.答案：C解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的定义是解决本题的关键．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：∵{a n }是等比数列，∴若“a 1<a 2”，则“数列{a n }不一定是递增数列”如{−1,1，−1，1}，充分性不成立，若“数列{a n }是递增数列”，则“a 1<a 2”成立，即必要性成立，故“a 1<a 2”是“数列{a n }是递增数列”的必要不充分条件，故选C ．5.答案：C解析：本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及f(0)的符号是解决本题的关键．分别根据函数的定义域，函数零点以及f(0)的取值进行判断即可．解：函数在P 处无意义，由图象看P 在y 轴右边，所以−c >0，得c <0，f(0)=bc 2>0，∴b >0，由f(x)=0得ax +b =0，即x =−b a ，即函数的零点x =−b a >0，∴a <0，综上a <0，b >0，c <0，故选C ．6.答案：A解析：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件是从4个数字中选两个数字进行排列，共有A 42种结果，两位数小于20的为：12，13，14共3种结果．得到概率．解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件是从4个数字中选两个数字进行排列，共有A 42=12种结果，两位数小于20的为：12，13，14共3种结果．故这个数小于20的概率P =312=14．故选A ． 7.答案：C解析：本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．解：因为在四边形ABCD 中，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以四边形ABCD 的对角线互相垂直，又|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√12+22=√5， |BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(−4)2+22=2√5，该四边形的面积：12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12×√5×2√5=5．故选C ．8.答案：C解析：本题主要考查线性规划的应用，属于基础题，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．解：不等式组{2x −y ≤0x +y ≤3x ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示，由{2x −y =0x +y =3解得{x =1y =2，故当目标函数z =2x +y 经过点A(1,2)时，z 取得最大值，z max =2×1+2=4．故选C ．9.答案：D解析：本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，属于基础题目．解：取等比数列1，2，4，令n =1得X =1，Y =3，Z =7代入验算，只有选项D 满足．故选D ．10.答案：D解析：解：已知双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(−3,−6)，即点(−3,−6)在抛物线的准线上，又由抛物线y 2=2px 的准线方程为x =−p 2，得p =6，则抛物线的焦点为(3,0)．则双曲线的左顶点为(−2,0)，即a =2；点(−3,−6)在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y =±2x ，即b a =2，可得b =4．则c =√a 2+b 2=√20=2√5，则焦距为2c =4√5．故选：D ．点(−3,−6)在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=6，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点(−3,−6)在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，则双曲线的焦距可求．本题考查双曲线与抛物线的性质，灵活运用双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(−3,−6)是关键，是中档题．11.答案：D解析：本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题.由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f(x)|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．解：由题意可作出函数y=|f(x)|的图象和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为y=x2−2x，求其导数可得y′=2x−2，因为x≤0，故y′≤−2，故直线l的斜率为−2，故只需直线y=ax的斜率a介于−2与0之间即可，即a∈[−2,0]．故选D．12.答案：A解析：本题考查了棱锥与球的位置关系，考查正弦定理的应用，属于中档题．由题意画出图形，设AC=x，由△APC的面积为2，得PA=4x，再由∠ABC=30°，得三角形ABC外接圆的半径r=x，求出球心到平面ABC的距离，再由勾股定理可得外接球的半径，利用基本不等式求得最小值，代入球的体积公式求解．解：如图，设AC=x，由△APC的面积为2，得PA=4x，∵∠ABC=30°，∴三角形ABC外接圆的半径r=x，∵PA⊥平面ABC，PA=4x，∴O到平面ABC的距离为d=12PA=2x，设球O的半径为R，则R=√r2+d2=√x2+4x2≥√2×2=2，当且仅当x=√2时“=”成立．∴三棱锥P−ABC的外接球体积的最小值为43π×23=32π3．故选：A．13.答案：1e解析：本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．解：∵y=lnx，∴y′=1x，设切点为(m,lnm)，得切线的斜率为1m ，所以曲线在点(m,lnm)处的切线方程为： y −lnm =1m (x −m)．它过原点，∴−lnm =−1，解得m =e ，∴k =1e故答案为1e ．14.答案：20解析：解：设{a n }是等差数列的公差为d ，∵a 1=6，a 4+a 6=4， ∴2×6+8d =4，解得d =−1．则S 5=6×5−5×42=20．故答案为：20．设{a n }是等差数列的公差为d ，由a 1=6，a 4+a 6=4，可得2×6+8d =4，解得d ，再利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.答案：35解析：解：y =3sinx −4cosx =2+42(√32+42−√32+42=5sin(x −φ)(其中tanφ=43)，依题意，θ−φ=2kπ+π2(k ∈Z)，故θ=2kπ+π2+φ(k ∈Z)，则sinθ=cosφ=√32+42=35，故答案为：35．利用辅助角公式可得y =3sinx −4cosx =5sin(x −φ)(其中tanφ=43)，结合题意可得θ=2kπ+π2+φ(k ∈Z)，从而可求得答案．本题考查同角三角函数间的基本关系，着重考查辅助角公式求最值的应用，求得θ=2kπ+π2+φ(tanφ=43,k∈Z)是关键，属于中档题．16.答案：−12；12解析：本题考查圆的方程，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．(1)利用|MB|=λ|MA|，可得(x−b)2+y2=λ2(x+2)2+λ2y2，由题意，取(1,0)、(−1,0)分别代入，即可求得b；(2)取(1,0)、(−1,0)分别代入，即可求得λ．解：(1)设M(x,y)，则∵|MB|=λ|MA|，∴(x−b)2+y2=λ2(x+2)2+λ2y2，由题意，取(1,0)、(−1,0)分别代入可得(1−b)2=λ2(1+2)2，(−1−b)2=λ2(−1+2)2，∴b=−12，λ=12．(2)由(Ⅰ)知λ=12．故答案为：−12，12．17.答案：解：(Ⅰ)由2asinB=√3b及正弦定理asinA =bsinB，得sinA=√32，因为0<A<π，所以A=π3或2π3；(Ⅱ)由0<A<π2得，由△ABC的面积S=7√33得，所以bc=283，由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，可得b2+c2−bc=36，即(b+c)2=36+3bc=64，解得b+c=8，故三角形周长为a+b+c=6+8=14.解析：本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的应用，属于基础题．(Ⅰ)由2asinB=√3b及正弦定理asinA =bsinB可得sinA=√32，再结合0<A<π，即可得A的大小；(Ⅱ)由0<A<π2得，根据△ABC的面积S=7√33即可得bc=283，由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA得b2+c2−bc=36，从而求得b+c，即可得△ABC周长．18.答案：解：(1)证明：设AB=2，AA1=AC=CB=√2，则AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，结合该棱柱为直棱柱，可建立以C为坐标原点，分别以CB，CA，CC1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．可得C1(0,0，√2)，B(√2,0，0)，A(0,√2,0)，D(√22,√22,0)，A1(0,√2,√2)，C(0,0，0)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22,√22,0)，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,√2)，设平面A 1CD 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0即{√22x +√22y =0√2y +√2z =0，取x =2，则m⃗⃗⃗ =(2,−2,2)，又BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,0，√2)， BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−2√2+0+2√2=0，即有BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m ⃗⃗⃗ ，则BC 1//平面A 1CD ；(2)B 1(√2,0，√2)，D(√22,√22,0)，A 1(0,√2,√2)，由题意可得E(√2,0，√22)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22,−√22,√22)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0，√22)， A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−√2,−√22)，设平面A 1DE 的法向量为n⃗ =(x 1,y 1,z 1)，则{n ⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0即{√22x 1−√22y 1+√22z 1=0√2x 1−√2y 1−√22z 1=0，取y 1=1，可得：x 1=1,z 1=0，则n ⃗ =(1,1，0)，设平面A 1CE 的法向量为k ⃗ =(x 2,y 2,z 2)，则{k ⃗ ⋅CE⃗⃗⃗⃗⃗ =0k ⃗ ⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0即{√2x 2+√22z 2=0√2x 2−√2y 2−√22z 2=0，取z 2=2，可得：x 2=−1,y 2=−2，则k ⃗ =(−1,−2,2)，则cos <n ⃗ ，k⃗ >=n⃗⃗ ⋅k ⃗ |n ⃗⃗ |⋅|k⃗ |=√2⋅√1+4+4=−√22，由<n ⃗ ，k ⃗ >∈[0,π]，可得<n ⃗ ，k ⃗ >=3π4．则锐角二面角D −A 1E −C 的平面角为π4．解析：本题考查线面平行的证明和二面角平面角的求法，注意运用向量法，运用向量数量积和夹角公式，考查运算能力，属于中档题．(1)以C 为坐标原点，分别以CB ，CA ，CC 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设AB =2，求出CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设平面A 1CD 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，运用向量垂直条件：数量积为0，取x =2，求出法向量，即可得证；(2)由题意可得DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，分别设平面A 1DE 的法向量为n ⃗ =(x 1,y 1,z 1)，平面A 1CE 的法向量为k ⃗ =(x 2,y 2,z 2)，运用向量垂直条件：数量积为0，可得法向量，再由向量夹角公式，即可得到所求平面角．19.答案：解：(1)当a >0时，f(x)的定义域为(0,+∞)，f ′(x)=2ax −1−1x =2ax 2−x−1x，令2ax 2−x −1=0得：x 1=1−√1+8a4a<0，x 2=1+√1+8a4a>0，∴f(x)的单调递增区间为(1+√1+8a4a,+∞)，当a <0时，f(x)的定义域为(−∞,0)，f′(x)=2ax −1−1x=2ax 2−x−1x，当1+8a ≤0即a ⩽−18时，f(x)的单调增区间为(−∞,0)，当1+8a >0，即−18<a <0时，f′(x)=2a x(x −x 1)(x −x 2)(x 2<x 1<0)，f(x)的单调递增区间为(−∞,1+√1+8a4a)和(1−√1+8a4a,0)，(2)由(1)知当a ⩽−18时，f(x)在(−∞,0)内单调递增，f(1a )=0，故f(x)只有一个零点x =1a ，当−18<a <0时，f(x)在x =x 2处取极大值，x =x 1处取极小值，由a =x 1+12x 12知x 1<−1，而1a <x 2<14a <x 1<−1，则f(x 2)>f(1a )=0，f(x 1)=ax 12−x 1−ln (ax 1)=1−x 12+ln(2x 1x1+1)，∵x 1<−1，∴2x 1x1+1−1=x 1−1x 1+1>0，∴f(x 1)>0，∴当a <0时，函数f(x)只有一个零点x =1a ，当a >0时，令g(a)=f(1)=a −1−lna ， g ′(a)=a−1a，g(a)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，g(a)min =g(1)=0，∴g(a)=f(1)≥0(当且仅当a =1时，等号成立)， i)a >1时，1>√8a+1+14a>1a ，f(1a )=0，f(1)>0，由(1)函数单调性知，f(√8a+1+14a)<0，所以函数在(√8a+1+14a,1)存在零点，∴f(x)在(0,+∞)有两个零点． ii)0<a <1时，1<√8a+1+14a<1a ，f(1a )=0，f(1)>0，同理可得函数在(1,√8a+1+14a)存在零点，∴f(x)在(0,+∞)有两个零点． iii)a =1时，f(1a )=f(1)=0，函数在(0,+∞)有一个零点．综上所述，当a <0或a =1时，函数有一个零点，当a >0且a ≠1时，函数有两个零点．解析：本题考查了导数的应用，考查函数的单调性问题，函数的零点问题，综合性较强，属于难题． (1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间； (2)求出函数的最小值，通过讨论a 的范围，从而求出函数的零点的个数即可．20.答案：解：(Ⅰ)由题意，Q(1,12)，可知：c =1，k OQ =12，则k AB =−2，所以直线AB 的方程是y =−2(x −1)，即y =−2x +2，即b =2．所以a 2=b 2+c 2=5，故椭圆的标准方程为x 25+y 24=1．椭圆的离心率e =ca =√55;(Ⅱ)设与直线AB 的平行的直线方程为y =−2x +t ，代入椭圆方程得24x 2−20tx +5t 2−20=0，由△=0得t =±2√6，故当t =−2√6时，点P 到直线AB 的最大距离为d =√6+1)√5，又因为A(1,0)，B(35,45)，所以|AB|=√5，故△PAB 积的最大值12|AB|d =12√5×√6+1)√5=2(√6+1)5．解析：(Ⅰ)由题意可知：c =1，k OQ =12，则k AB =−2，由此能求出椭圆的标准方程．(Ⅱ)设与直线AB 的平行的直线方程为y =−2x +t ，代入椭圆方程，由△=0得t =±2√6，故当t =−2√6时，求出点P 到直线AB 的最大距离，即可求△PAB 面积的最大值．本题考查椭圆的方程与性质，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.答案：(本小题满分12分)解：(1)记：“种子选手A 与非种子选手B i 的对抗赛获胜”为事件A i (i =1,2，3)“种子选手A 至少获胜两场”为事件C ，P(C)=P(A 1A 2A 3+A 1−A 2A 3+A 1A 2−A 3+A 1A 2A 3−)=1724>23 选手A 最终入选．(2)X 的可能值为0，1，2，3． P(X =0)=14×13×12=124，P(X =1)=34×13×12+14×23×12+14×13×12=624； P(X =2)=34×23×12+34×13×12+14×23×12=1124，P(X =3)=34×23×12=624所以，X 的分布列为：所以，X 的数学期望为：E(X)=0×124+1×624+2×1124+3×624=2312．解析：(1)记：“种子选手A 与非种子选手B i 的对抗赛获胜”为事件A i (i =1,2，3)，利用互斥事件的概率以及对立事件的概率的乘法转化求解即可．(2)X 的可能值为0，1，2，3.求出概率，得到X 的分布列，然后求解期望即可．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，互斥事件以及对立事件的关键的求法．考查计算能力．22.答案：解：(I)根据题意有：P(2cosα,2sinα)，Q(2cos2α,2sin2α)，∵M 为PQ 的中点，故M(cosα+cos2α,sin2α+sinα)，∴求M 的轨迹的参数方程为：{x =cosα+cos2αy =sinα+sin2α(α为参数，0<α<2π)．(II)M 到坐标原点的距离d =√x 2+y 2=√2+2cosα(0<α<2π)．当α=π时，d =0，故M 的轨迹过坐标原点．解析：(I)根据题意写出P ，Q 两点的坐标：P(2cosα,2sinα)，Q(2cos2α,2sin2α)，再利用中点坐标公式得PQ 的中点M 的坐标，从而得出M 的轨迹的参数方程；(II)利用两点间的距离公式得到M 到坐标原点的距离d =√x 2+y 2=√2+2cosα，再验证当α=π时，d =0，故M 的轨迹过坐标原点．本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，两点间的距离公式的应用，轨迹方程，属于基础题．23.答案：(1)当a =1时，f (x )={−3x +3,x ⩽12x +1,12<x <23x −3,x ⩾2，不等式f (x )⩾3可化为{−3x +3⩾3x ⩽12或{x +1⩾312<x <2 或{3x −3⩾3x ⩾2，解得：x ≤0或x ≥2，∴不等式的解集为(−∞,0]∪[2,+∞)． (2)f (x )⩾|2x −a −(x −2)|=|x −a +2| ，当且仅当(2x −a )(x −2)⩽0时，取“=” 当a ⩽4时，x 的取值范围为a2⩽x ⩽2；当a >4时，x 的取值范围为2⩽x ⩽a2．解析：本题考查绝对值不等式的解法以及绝对值不等式的性质，属于中档题． (1)对x 分类讨论，去绝对值，再解不等式，即可得到答案;(2)运用绝对值不等式的性质，求出f(x)的最小值，验证等号成立条件，即可得到答案．。

精品解析：广东省潮州市2019-2020学年高三上学期期末数学(理)试题(解析版)

潮州市2019--2020学年度第一期期末高三级数学质量检测卷（数学）理科本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生请用黑色字迹的钢笔或签字笔将字迹的姓名和考号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若{}1P x x =<，{}1Q x x =>，则( ) A. P Q ⊆ B. Q P ⊆C. R C P Q ⊆D. R Q C P ⊆【答案】D 【解析】【分析】利用集合的补集的定义求出P 的补集；利用子集的定义判断出R Q P ⊆ð．【详解】解：{|1}P x x =<Q ， {|1}R P x x ∴=…ð，{|1}Q x x =>Q ， R Q P ∴⊆ð，故选：D ．【点睛】本题考查利用集合的交集、补集、并集定义求交集、补集、并集；利用集合包含关系的定义判断集合的包含关系． 2.i 是虚数单位,复数12aii+-为纯虚数,则实数a 为( )A. 2B. 2-C. 12-D.12【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后令【详解】1(1)(2)2(2)(2)ai ai i i i i +++=--+Q2(21)4a a i-++=2(21)42a a i -+=+复数12aii+-为纯虚数 20,2210a a a -=⎧∴∴=⎨+≠⎩，故选：A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.【此处有视频，请去附件查看】3.已知函数()212xx ax f x ++=，若()()04f f =，则6log a =( ) A.12B. 2C. 1D. 6【答案】C 【解析】【分析】首先计算出()0f ，再根据()()0ff 的值求出a ，即可得解.【详解】解：()212xx ax f x ++=Q ()01f ∴=，∴()()()110142a ff f ++===，解得6a =.于是，6log 1a = 故选：C【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用． 4.“数列{}n a 既是等差数列又是等比数列”是“数列{}n a 是常数列”的（）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】数列{}n a 既是等差数列又是等比数列，则可知{}n a 是常数列，所以充分性成立；若{}n a 是0n a =常数列，则{}n a 不是等比数列，所以必要性不成立，所以“数列{}n a 既是等差数列又是等比数列”是“数列{}n a 是常数列”的充分不必要条件，故选A ． 5.函数()()2x bf x x c -+=+的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A. 0,0b c <>B. 0,0b c >>C. 0,0b c ><D. 0,0b c <<【答案】C 【解析】【分析】根据定义域及特殊点可判断. 【详解】解：∵()()2x bf x x c -+=+的图象与y 轴交于M ，且点M 的纵坐标为正，∴20by c=>，故0b >，()()2x bf x x c -+=+Q 定义域为{}|x x c ≠-其函数图象间断的横坐标为正，∴0c ->，故0c <. 故选：C【点睛】本题考查函数图象的识别，考查数形结合思想，属于基础题.6.现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这个10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( ) A.710B.35C.12D.25【答案】B 【解析】【分析】先由题意写出成等比数列的10个数，然后找出小于8的项的个数，代入古典概率的计算公式即可求解【详解】解：由题意()13n n a -=-成等比数列的10个数为：1，3-，2(3)-，39(3)(3)-⋯-其中小于8的项有：1，3-，3(3)-，5(3)-，7(3)-，9(3)-共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是63105P ==．故选：C ．【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题7.在四边形()()1,2,4,2,ABCD AC BD ==-u u u r u u u r中，则该四边形的面积为（） 5 B. 25 C. 5D. 10【答案】C 【解析】注意到两向量的纵坐标都为2，所以借助坐标系如图，1(14)*252S =+=.或者注意到·0AC BD =u u u r u u u r 分为四个小直角三角形算面积. 【考点定位】本题的处理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的转化还是属于容易题. 8.若实数,x y 满足1111x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2x y +的最大值和最小值分别为( )A. 1,1-B. 2,2-C. 1,2-D. 2,1-【答案】B 【解析】【分析】由不等式组作出可行域，令2z x y =+，数形结合求出z的最大值和最小值．【详解】解：由1111x y x y -+⎧⎨--⎩剟剟作可行域如图，令2z x y =+，则2y x z =-+，由图可知，当2y x z =-+过(1,0)A 时，截距z 最大，最大值为2102z =⨯+=；当2y x z =-+过(1,0)C -时，截距z 最小，最小值为2102z =-⨯+=-．2x y ∴+的最大值和最小值分别为2，2-．故选：B ．【点睛】本题考查线性规划问题，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．属于中档题．9.设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是 A. 2X Z Y += B. ()()Y Y X Z Z X -=- C. 2Y XZ =D. ()()Y Y X X Z X -=-【答案】D 【解析】本题主要考查等比数列的性质：等比数列连续n 项之和仍为等比数列．即,,X Y X Z Y --成等比数列，则由等比中项的性质有2()()Y X X Z Y -=-整理得D 选项．【此处有视频，请去附件查看】10.已知双曲线22x a－22y b ＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( ) 5335【答案】A 【解析】【详解】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为2px =-，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为12y x =±，由双曲线的性质，可得b=1；则5c =5故选A ．【此处有视频，请去附件查看】11.已知函数f (x )＝22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是 ( )A. (－∞，0]B. (－∞，1]C. [－2,1]D. [－2,0]【答案】D 【解析】当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ≤0恒成立，由|f (x )|≥ax 得，x 2－2x ≥ax ，整理得x 2－(2＋a )x ≥0，由于g (x )＝x 2－(2＋a )x ≥0恒成立，因为g (0)＝0，所以－(2)2a -+≥0，解得a ≥－2， x >0时，由于|f (x )|>0，若|f (x )|≥ax 恒成立，满足ax ≤0，同时满足以上两个条件－2≤a ≤0．【此处有视频，请去附件查看】12.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，30ABC ∠=︒，APC ∆的面积为2，则三棱锥P ABC -的外接球体积的最小值为( ) A.83π B.163πC.323πD.643π【答案】C 【解析】【分析】由题意画出图形，设AC x =，由APC ∆的面积为2，得4PA x=，再由30ABC ∠=︒，得三角形ABC 外接圆的半径r x =，求出球心到平面ABC 的距离，再由勾股定理可得外接球的半径，利用基本不等式求得最小值，代入球的体积公式求解．【详解】解：如图，设AC x =，由APC ∆的面积为2，得4PA x=， 30ABC =︒，∴三角形ABC 外接圆的半径r x =，PA ⊥Q 平面ABC ，4PA x=， O ∴到平面ABC 的距离为122d PA x==，设球O 的半径为R ，则22224222R r d x x =+=+⨯=…，当且仅当2x =时“=”成立．∴三棱锥P ABC -的外接球体积的最小值为3432233ππ⨯=．故选：C ．【点睛】本题考查了棱锥与球的位置关系，考查正弦定理的应用，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上13.曲线y ＝x(3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线的斜率为__________．【答案】4 【解析】【分析】先求导函数，利用导数的几何意义，求出在点（1，1）处的切线的斜率．【详解】y ＝x （3lnx +1）的导函数为：y ′＝3lnx +4，当x ＝1时，y ′＝4，曲线y ＝x （3lnx +1）在点（1，1）处的切线的斜率为：4．故答案为4．【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题． 14.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若112a =，23S a =，则7S = _______ 【答案】14 【解析】【分析】设公差为d ，根据23S a =求出公差，即可求出其前n 项和公式，代入求解即可. 【详解】解：设公差为d ，23S a =Q 则1122a d a d +=+，把112a =代入得12d =，21n a n ∴=∴()114n S n n =+，故714S = 故答案为：14【点睛】本题考查等差数列通项公式以及前n 项和公式，属于基础题. 15.函数3sin 4cos y x x =-在x θ=处取得最大值，则sin θ= ______ 【答案】35【解析】【分析】利用辅助角公式、两角差的正弦公式化简解析式：()5sin y x ϕ=-，并求出cos ϕ和sin ϕ，由条件和正弦函数的最值列出方程，求出θ的表达式，由诱导公式求出sin θ的值．【详解】解：()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55y x x x x x ϕ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，其中3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ= 依题意可得()5sin 5θϕ-=，即()sin 1θϕ-=，2,2k k Z πθϕπ∴-=+∈所以3sin sin 2cos 25k πθϕπϕ⎛⎫=++== ⎪⎝⎭故答案为：35【点睛】本题主要考查辅助角公式、诱导公式，以及正弦函数的最大值的应用，考查化简、变形能力． 16.已知圆22:1O x y +=和点()2,0A -，若定点()(),02B b b ≠-和常数λ满足，对圆O 上任意一点M ，都有MB MA λ=，则λ= _____ . 【答案】12λ= 【解析】【分析】设(cos ,sin )M θθ，则22222(cos )sin [(cos 2)sin ]b θθλθθ-+=++，则2222cos 14cos 5b b θλθλ-++=+对任意θ都成立，由此能求出λ、b ．【详解】解：Q 圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，定点(B b ，0)(2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点，都有||||MB MA λ=，∴设(cos ,sin )M θθ，则22222(cos )sin [(cos 2)sin ]b θθλθθ-+=++，2222cos 14cos 5b b θλθλ∴-++=+对任意θ都成立，∴2222415b b λλ⎧-=⎨+=⎩，由||||MB MA λ=，得0λ>，且2b ≠-，解得12b =-，12λ=．故答案为：12【点睛】本题考查实数值的求法，考查圆、两点间距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．三、解答题：第17～21题为必做题，每题满分各为12分，第22～23题为选做题，只能选做一题，满分10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3cos sin 34a Bb A ==. （1）求边长a 的值；（2）若ABC ∆的面积10S =，求ABC ∆的周长L . 【答案】(1)5 (2) 1025+【解析】【分析】（1）由图及已知作CD 垂直于AB ，在直角三角形BDC 中求BC 的长．（2）由面积公式解出边长c ，再由余弦定理解出边长b ，求三边的和即周长．【详解】解：解：（1）3cos sin 34a Bb A ==Q sin 4b A ∴=过C 作CD AB ⊥于D ，则由sin 4CD b A ==，cos 3BD a B ==∴在Rt BCD ∆中，225a BC BD CD =+=（2）由面积公式得1141022S AB CD AB =⨯⨯=⨯⨯=得5AB =，又cos 3a B =，得3cos 5B =，由余弦定理得：2232cos 2525225255b ac ac B =+-=+-⨯⨯=， ABC ∆的周长55251025l =++=+．【点睛】本题主要考查了射影定理及余弦定理，考查运算能力，属于中档题． 18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点，1222AA AC CB AB ====.（1）证明：1BC P 平面1A CD ；（2）求二面角1D A C E --的余弦值.【答案】(1)证明见解析 (2)3【解析】【分析】（1）连接1AC 交1A C 于点F ，由三角形中位线定理得1//BC DF ，由此能证明1//BC 平面1A CD ．（2）以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，CB 的方向为y 轴正方向，1CC 的方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -．分别求出平面1A CD 的法向量和平面1A CE 的法向量，利用向量法能求出二面角1D A C E --的余弦值．【详解】证明：证明：连接1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 的中点．又D 是AB 的中点，连接DF ，则1//BC DF ．因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊂平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD ．（2）由122AA AC CB AB ====2AB =，即222AC BC AB += 所以AC BC ⊥又因为111ABC A B C -直棱柱，所以以点C 为坐标原点，分别以直线1CA CB CC 、、为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则()12220,0,02,0,2),02,222C A D E ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭、、、， 12222,0,2,,,0,2,222CA CD CE ⎛⎫⎛=== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r 设平面1A CD 的法向量为(),,n x y z =r ，则0n CD ⋅=r u u u r且10n CA ⋅=r u u u r ，可解得y x z =-=，令1x =，得平面1A CD 的一个法向量为()1,1,1n =--r，同理可得平面1A CE 的一个法向量为()2,1,2m =-u r，则3cos ,3n m <>=r u r 所以二面角1D A C E --3【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．19.已知函数()()ln f x x a x a R =-∈ （1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（2）谈论函数()f x 的零点个数【答案】(1) ()f x 的单调递减区间是()0,a ，单调递增区间是(),a +∞ (2)见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数不等式，求出函数的单调区间；（2）由（1）知当0a >时，()()max 1ln f a a a =-，分0a e <<，a e =，a e >三种情况讨论，0a =由函数的定义域为()0,∞+显然没有零点，当0a <转化为函数的交点问题. 【详解】解：（1）∵()()ln ,0,f x x a x x =-∈+∞，故()1a x afx x x'-=-=， ∵0a >∴()0,x a ∈时，()0f x '<，故()f x 单调递减，(),x a ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 单调递增，所以，0a >时，()f x 的单调递减区间是()0,a ，单调递增区间是(),a +∞ （2）由（1）知，当0a >时，()f x 在x a =处取最小值()()ln 1ln f a a a a a a =-=-，当0a e <<时，()1ln 0a a ->，()f x 在其定义域内无零点当a e =时，()1ln 0a a -=，()f x 在其定义域内恰有一个零点当a e >时，最小值()()1ln 0f a a a =-<，因为()110f =>，且()f x 在()0,a 单调递减，故函数()f x 在()0,a 上有一个零点，因为a e >，2a e a a >>，()2ln 0aaa a f eea e e a =-=->，又()f x 在(),a +∞上单调递增，故函数()f x 在(),a +∞上有一个零点，故()f x 在其定义域内有两个零点；当0a =时，()f x x =在定义域()0,∞+内无零点；当0a <时，令()0f x =，可得ln x a x =，分别画出y x =与ln y a x =，易得它们的图象有唯一交点，即此时()f x 在其定义域内恰有一个零点综上，0a e ≤<时，()f x 在其定义域内无零点；a e =或0a <时，()f x 在其定义域内恰有一个零点；a e >时，()f x 在其定义域内有两个零点；【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点问题，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点(2P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设()()0000,0Q x y x y ≠为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E ，取点(0,22A ，连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ，点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由.【答案】(1) 22184x y += (2) 直线OG 与椭圆C 一定有唯一的公共点，见解析【解析】【分析】（1）根据题意得到关于a 、b方程组，解得.（2）由题意，E 点坐标为()0,0x ，设(),0D D x ，由AD AE ⊥知，0AE AD ⋅=u u u r u u u r求出D x ，根据对称表示出G 点坐标，即可表示出直线QG 的方程，联立直线与椭圆方程消元可得.【详解】解：（1）因为焦距为4，所以224a b -=，又因为椭圆C 过点(2P ，所以22421a b +=，故28a =，24b =，从而椭圆C 的方程为22184x y +=已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点(2P .（2）由题意，E 点坐标为()0,0x ，设(),0D D x ，则(0,22AE x =-u u u r ，(,22D AD x =-u u u r，再由AD AE⊥知，0AE AD ⋅=u u u r u u u r，即080D x x +=. 由于000x y ≠，故08D x x =-，因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以点08,0G x ⎛⎫⎪⎝⎭. 故直线QG的斜率00020088QG y x y k x x x =--=.又因()00,Q x y 在椭圆C 上，所以220028x y +=.①从而002QG x k y =-，故直线QG 的方程为00082x y x y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭②将②代入椭圆C 方程，得()222200021664160nxy x x x y +-+-=③再将①代入③，化简得：220020x x x x -+=解得0x x =，0y y =，即直线OG 与椭圆C 一定有唯一的公共点.【点睛】本题考查利用待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用问题，属于中档题. 21.心理学研究表明，人极易受情绪的影响，某选手参加7局4胜制的兵乒球比赛.（1）在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为13；但实际上，如果前一句获胜的话，此选手该局获胜的概率可提升到12；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降为14，求该选手在前3局获胜局数X 的分布列及数学期望；（2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为sin sin sin A B C 、、，记、、A B C 为锐角ABC ∆的内角，求证：sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1A B C A B A C B C A B C +---+<+【答案】(1)分布列见解析，数学期望1 (2)证明见解析【解析】【分析】（1）依题意前3局获胜局数X 可取0,1,2,3，分别计算概率，列出分布列，即可求出期望. （2）根据相互独立事件的概率计算公式可得选手至少胜一局的概率为：()1sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin P X A B C A B A C B C A B C ≥=++---+且概率要小于1，即可得证.【详解】解：（1）依题意，可知X 可取：0,1,2,3∴()21190113424P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1111111118111111132434234424P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111111115211132232434224P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()11123232224P X P X ====⨯⨯=∴随机变量X 的分布列为：X12 3P924824524 224∴()0852123124242424E X =+⨯+⨯+⨯=. （2）∵ABC ∆是锐角三角形，∴0sin 1,0sin 1,0sin 1A B C <<<<<<，则三局比赛中，该选手至少胜一局的概率为：()1sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin P X A B C A B A C B C A B C ≥=++---+由概率的定义可知：()11P X ≥<，故有：sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1A B C A B A C B C A B C +---+<+【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及相互独立事件的概率计算问题，属于中档题.选做题：请考生在下面两题中任选一题作答.22. 已知动点,P Q 都在曲线2cos :{2sin x t C y t==（β为参数）上，对应参数分别为t α=与()202t ααπ=<<，M 为PQ 的中点．（1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．【答案】（1）cos cos 2{sin sin 2x y αααα=+=+,(α为参数,02απ<<)（2）过坐标原点【解析】【详解】（1）由题意有，()()2cos ,2sin ,2cos2,2sin 2P Q αααα，因此()cos cos2,sin sin 2M αααα++，M 的轨迹的参数方程为cos cos 2{sin sin 2x y αααα=+=+（α为参数，02απ<<）．（2）M 点到坐标原点的距离为)2222cos 02d x y ααπ=+=+<<，当a π=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．【此处有视频，请去附件查看】23.设函数1()|(0)f x x x a a a=++- （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）15521++．【解析】试题分析：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出min ()2f x =，从而得出结论；对第（2）问，由0a >去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出a 的取值范围. 试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：min ()f x =12a a+≥，当且仅当1a =时，取等号，所以()2f x ≥.（2）因为(3)5f <，所以1335a a ++-<⇔1335a a ++-<⇔132a a-<-⇔ 11232a a a -<-<-155212a ++<<. 【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.考点：本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键. 【此处有视频，请去附件查看】。

[精编试卷]广东省2019届高三上学期期末联考数学理试卷及答案解析

对于C，，所以选项C正确；对于D，取反例：【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于基础题型.3.已知是等比数列，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求公比，再求,最后根据等比数列前n项和公式的结果.【详解】，，.，故,选C.【点睛】本题考查等比数列前n项和公式以及通项公式,考查基本求解能力,属基础题.4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的体积相等，在同高处的截面积相等，由于A、B体积相等，A、B在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此是的必要不充分条件.选B.5.如图是一个算法流程图，若输入的值为，输出的值是，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出，即可得到输出条件.详解：输入，第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环，输出，此时应满足退出循环的条件，故的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用定积分先求出阴影部分的面积，再由几何概型的计算公式计算即可.【详解】阴影部分的面积，正方形面积为，所以所求概率为.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型.7.已知函数，R，先将图像上所有点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移个单位长度，得到的图像关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，将其图像上的点的横坐标缩短到原的后所得函数的解析式为，图像在轴左侧的第一条对称轴，故至少向右平移个单位就可以得到关于轴对称的图像，选C.点睛：若三角函数的图像平移后得到的图像为奇函数或偶函数的图像，那么最小的平移往往和轴附近的对称轴或对称中心有关.8.的展开式中常数项为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】的通项为，，根据式子可知当或时有常数项，令 ; 令;故所求常数项为，故选C.【点睛】求解与二项式相关的复杂式子的一般方法及步骤是：将复杂式子分解转化成与简单的二项式相关的式子根据条件找到符合条件的二项式的项，利用二项式的通项求出符合条件的项，整合最终得出所求9.已知是边长为2的等边三角形边上的动点，则的值（）A. 有最大值B. 是定值C. 有最小值D. 与点的位置有关【答案】B【解析】【分析】先设=，=，=t ，然后用和表示出，再由=+将=、=t代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．【详解】设===t则=﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t , +=+,•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t ﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t]+t 2=﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故答案为：B【点睛】本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起考查综合题，平时要多注意这方面的练习．10.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可.【详解】∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞）f（-x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，本题选择B选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．11.设、分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合题意，计算出，结合两点距离公式，距离方程，用c表示m，结合，建立关于e的不等式，计算范围，即可。

2019-2020学年广东省潮州市高三(上)期末数学试卷(理科)

2019-2020学年广东省潮州市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若{|1}P x x =<，{|1}Q x x =>，则( ) A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R P Q ⊆ðD ．R Q P ⊆ð2．（5分）设i 是虚数单位，复数12aii+-为纯虚数，则实数a 为( ) A ．2B ．2-C ．12-D ．123．（5分）已知函数21()2xx ax f x ++=，若((0))4f f =，则6log (a = )A ．12B ．2C ．1D ．64．（5分）“数列{}n a 既是等差数列又是等比数列”是“数列{}n a 是常数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．（5分）函数2()()x bf x x c -+=+的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．0b <，0c >B ．0b >，0c >C ．0b >，0c <D ．0b <，0c <6．（5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这个10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( ) A ．710B ．35C ．12D ．257．（5分）在四边形ABCD 中，(1,2)AC =u u u r ，(4,2)BD =-u u u r，则该四边形的面积为( )A 5B ．25C ．5D ．108．（5分）若实数x ，y 满足1111x y x y -+⎧⎨--⎩剟剟，则2x y +的最大值和最小值分别为( )A ．1，1-B ．2，2-C ．1，2-D ．2，1-9．（5分）设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( ) A ．2X Z Y += B ．()()Y Y X Z Z X -=- C ．2Y XZ =D ．()()Y Y X X Z X -=-10．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的焦距为( )A ．B ．C ．D ．11．（5分）已知函数22,0()(1),0x x x f x ln x x ⎧-+=⎨+>⎩„，若|()|f x ax …，则a 的取值范围是( )A ．(-∞，0]B ．(-∞，1]C ．[2-，1]D ．[2-，0]12．（5分）三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，30ABC ∠=︒，APC ∆的面积为2，则三棱锥P ABC -的外接球体积的最小值为( ) A ．83πB ．163πC ．323πD ．643π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上 13．（5分）曲线(31)y x lnx =+在点(1,1)处的切线的斜率为． 14．（5分）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若112a =，23S a =，则7S = ． 15．（5分）函数3sin 4cos y x x =-在x θ=处取得最大值，则sin θ= ．16．（5分）已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，若定点(B b ，0)(2)b ≠-和常数λ满足，对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则λ= ．三、解答题：第17～21题为必做题，每题满分各为12分，第22～23题为选做题，只能选做一题，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos sin 34a Bb A ==．（1）求边长a 的值；（2）若ABC ∆的面积10S =，求ABC ∆的周长L ．18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点，122AA AC CB AB ====．（1）证明：1//BC 平面1ACD ；（2）求二面角1D ACE --的余弦值．19．（12分）已知函数()()f x x alnx a R =-∈．（1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（2）讨论函数()f x 的零点个数．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点(2P 3)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设0(Q x ，000)(0)y x y ≠为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E ．取点(0A ，22)，连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ．点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由． 21．（12分）心理学研究表明，人极易受情绪的影响，某选手参加7局4胜制的兵乒球比赛．（1）在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为13；但实际上，如果前一句获胜的话，此选手该局获胜的概率可提升到12；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降为14，求该选手在前3局获胜局数X 的分布列及数学期望；（2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为sin A 、sin B 、sin C ，记A 、B 、C 为锐角ABC ∆的内角，求证：sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1A B C A B A C B C A B C ++---+<选做题：请考生在下面两题中任选一题作答.22．（10分）已知动点P 、Q 都在曲线2cos :(2sin x C y βββ=⎧⎨=⎩为参数）上，对应参数分别为βα=与2(02)βααπ=<<，M 为PQ 的中点．（1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 23．设函数1()||||(0)f x x x a a a=++->．（Ⅰ）证明：()2f x …；（Ⅱ）若f （3）5<，求a 的取值范围．2019-2020学年广东省潮州市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若{|1}P x x =<，{|1}Q x x =>，则( ) A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R P Q ⊆ðD ．R Q P ⊆ð【解答】解：{|1}P x x =<Q ， {|1}R P x x ∴=…ð，{|1}Q x x =>Q ， R Q P ∴⊆ð，故选：D ．2．（5分）设i 是虚数单位，复数12aii+-为纯虚数，则实数a 为( ) A ．2B ．2-C ．12-D ．12【解答】解：复数1(1)(2)222(2)(2)5ai ai i a ai ii i i +++-++==--+，它是纯虚数，所以2a =，故选：A ．3．（5分）已知函数21()2xx ax f x ++=，若((0))4f f =，则6log (a = )A ．12B ．2C ．1D ．6【解答】解：Q 函数21()2xx ax f x ++=，((0))4f f =， (0)1f ∴=， ((0))f f f =（1）242a +==，解得6a =， 66log log 61a ∴==．故选：C ．4．（5分）“数列{}n a 既是等差数列又是等比数列”是“数列{}n a 是常数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：若数列{}n a 既是等差数列又是等比数列，则数列{}n a 为常数列，且0n a ≠，则反之当0n a =时，满足数列{}n a 为常数列，但数列{}n a 不是等比数列，即“数列{}n a 既是等差数列又是等比数列”是“数列{}n a 是常数列”的充分不必要条件，故选：A ．5．（5分）函数2()()x bf x x c -+=+的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．0b <，0c >B ．0b >，0c >C ．0b >，0c <D ．0b <，0c <【解答】解：函数的定义域为{|}x x c ≠-，即0c p -=>，则0c <，排除A ，B ， 2(0)0bf c =>，得0b >，故选：C ．6．（5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这个10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( ) A ．710B ．35C ．12D ．25【解答】解：由题意成等比数列的10个数为：1，3-，2(3)-，39(3)(3)-⋯- 其中小于8的项有：1，3-，3(3)-，5(3)-，7(3)-，9(3)-共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是63105P ==．故选：B ．7．（5分）在四边形ABCD 中，(1,2)AC =u u u r ，(4,2)BD =-u u u r ，则该四边形的面积为( ) A 5 B ．25C ．5 D ．10【解答】解：因为在四边形ABCD 中，(1,2)AC =u u u r ，(4,2)BD =-u u u r ，0AC BD =u u u r u u u rg ，所以四边形ABCD 的对角线互相垂直，又22||125AC =+=u u u r22||(4)225BD =-+=u u u r，该四边形的面积：11||||525522AC BD =⨯⨯=u u ur u u u r g ．故选：C ．8．（5分）若实数x ，y 满足1111x y x y -+⎧⎨--⎩剟剟，则2x y +的最大值和最小值分别为( )A ．1，1-B ．2，2-C ．1，2-D ．2，1-【解答】解：由1111x y x y -+⎧⎨--⎩剟剟作可行域如图，令2z x y =+，则2y x z =-+，由图可知，当2y x z =-+过(1,0)A 时，截距z 最大，最大值为2102z =⨯+=；当2y x z =-+过(1,0)C -时，截距z 最小，最小值为2102z =-⨯+=-． 2x y ∴+的最大值和最小值分别为2，2-．故选：B ．9．（5分）设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( ) A ．2X Z Y += B ．()()Y Y X Z Z X -=- C ．2Y XZ =D ．()()Y Y X X Z X -=-【解答】解：取等比数列1，2，4，令1n =得1X =，3Y =，7Z =代入验算，只有选项D满足．故选：D ．10．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的焦距为( ) A ．25B ．23C ．43D ．45【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，即点(2,1)--在抛物线的准线上，又由抛物线22y px =的准线方程为2px =-，则4p =，则抛物线的焦点为(2,0)；则双曲线的左顶点为(2,0)-，即2a =；点(2,1)--在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为12y x =±，由双曲线的性质，可得1b =；则5c =，则焦距为225c = 故选：A ．11．（5分）已知函数22,0()(1),0x x x f x ln x x ⎧-+=⎨+>⎩„，若|()|f x ax …，则a 的取值范围是( )A ．(-∞，0]B ．(-∞，1]C ．[2-，1]D ．[2-，0]【解答】解：由题意可作出函数|()|y f x =的图象，和函数y ax =的图象，由图象可知：函数y ax =的图象为过原点的直线，当直线介于l 和x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数|()|y f x =在第二象限的部分解析式为22y x x =-，求其导数可得22y x '=-，因为0x „，故2y '-„，故直线l 的斜率为2-，故只需直线y ax =的斜率a 介于2-与0之间即可，即[2a ∈-，0] 故选：D ．12．（5分）三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，30ABC ∠=︒，APC ∆的面积为2，则三棱锥P ABC -的外接球体积的最小值为( ) A ．83πB ．163πC ．323πD ．643π【解答】解：PA ⊥平面ABC ，PA AC ∴⊥，设PA c =，因为APC ∆的面积为2，∴122AC PA =g ，4AC c∴=，在ABC ∆中，设外接圆的半径为r 则2sin sin30AC AC r ABC ==∠︒，4r c∴=，设外接球的半径为R ，由题意知侧棱垂直于底面，则外接球的球心为过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，所以由题意可得：22222221616()24244c c c R r c c =+=+=g …，2R ∴…，所以外接球的体积343233V R ππ=…，故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上 13．（5分）曲线(31)y x lnx =+在点(1,1)处的切线的斜率为 4 ．【解答】解：(31)y x lnx =+的导函数为：34y lnx '=+，当1x =时，4y '=，曲线(31)y x lnx =+在点(1,1)处的切线的斜率为：4．故答案为：4．14．（5分）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若112a =，23S a =，则7S = 14 ．【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，Q 112a =，23S a =， 112222d d ∴⨯+=+，解得12d =．则71761714222S ⨯=⨯+⨯=．故答案为：14．15．（5分）函数3sin 4cos y x x =-在x θ=处取得最大值，则sin θ= 35．【解答】解：3sin 4cos )5sin()y x x x x x ϕ=-==-（其中4tan )3ϕ=，依题意，2()2k k Z πθϕπ-=+∈，故2()2k k Z πθπϕ=++∈，则3sin cos 5θϕ==，故答案为：35．16．（5分）已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，若定点(B b ，0)(2)b ≠-和常数λ满足，对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则λ= 12．【解答】解：根据题意，设(,)M x y ，若||||MB MA λ=，变形可得222||||MB MA λ=，即222222()(2)x b y x y λλ-+=++，又由221x y +=，则变形可得：2221245b bx x λλ+-=+，则有2225142b bλλ⎧=+⎨=-⎩，解可得12λ=，12b =-；故答案为：12．三、解答题：第17～21题为必做题，每题满分各为12分，第22～23题为选做题，只能选做一题，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos sin 34a Bb A ==．（1）求边长a 的值；（2）若ABC ∆的面积10S =，求ABC ∆的周长L ．【解答】解：（1）3cos sin 34a B b A ==Q ，sin 4b A ∴=，过C 作CD AB ⊥于D ，则由sin 4CD b A ==，cos 3BD a B ==，∴在Rt BCD ∆中，225a BC BD CD ==+=．（2）由面积公式可得1141022S AB CD AB =⨯⨯=⨯⨯=，可得5AB =，又cos 3a B =，可得3cos 5B =，由余弦定理可得：2232cos 2525225255b ac ac B =+-=+-⨯⨯=， ABC ∆的周长55251025l =++=+．18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点，122AA AC CB AB ====．（1）证明：1//BC 平面1ACD ；（2）求二面角1D ACE --的余弦值．【解答】解：（1）证明：连接1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 的中点，又D 是AB 的中点，连接DF ，则1//BC DF ， DF ⊂Q 平面1ACD ，1BC ⊂/平面1ACD ， 1//BC ∴平面1ACD ；（2）由122AA AC CB AB ====，可得2AB =，则222AC BC AB +=，即AC BC ⊥，又111ABC A B C -Q 为直三棱柱，∴以点C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则1222(0,0,0),(2,0,2),(2,)C A D E ，1222(2,0,2),(2,CA CD CE ===u u u r u u u r u u u r ，设平面1ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则100n CA n CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u r r g，计算可取(1,1,1)n =--r ；同理可得平面1ACE 的一个法向量(2,1,2)m =-r， ∴3cos ,||||m n m n m n <>==r rg r rr r∴二面角1D ACE --3．19．（12分）已知函数()()f x x alnx a R =-∈．（1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（2）讨论函数()f x 的零点个数．【解答】解：（1）()f x x alnx =-Q ，()1a x af x x x-∴'=-=， 0a >Q 时，∴当0x a <<时，()0f x '<，()f x 在区间(0,)a 上单调递减；当x a >时，()0f x '>，()f x 在区间(,)a +∞上单调递增；（2）由()1a x af x x x-'=-=得：当0a =时，()10f x '=>，()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增，且(0)0f =，故()f x 只有一个零点；当0a <时，()0f x '>，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，且0x →，时，()0f x <，又f （1）10=>，故()f x 只有1个零点；当0a >时，由（1）知()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增；∴当x a =时，()f x 取得最小值f （a ）(1)a alna a lna =-=-，当0a e <<时，f （a ）0>，()f x 无零点；当a e =时，()f x 只有一个零点；当a e >时，f （a ）(1)0a alna a lna =-=-<，且0x →时，()0f x >，x →+∞，时，()f x →+∞， ∴函数()f x 有2个零点．综上所述，当0a e <<时，()f x 无零点；当0a …或a e =时，()f x 只有一个零点；当a e >时，()f x 有2个零点．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点P．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设0(Q x ，000)(0)y x y ≠为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E ．取点(0A，，连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ．点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．【解答】解：()I Q 椭圆2222:(0)x y C a b a b+>>的焦距为4，2c ∴=2=⋯①又Q点P 在椭圆C 上∴22231a b +=⋯② 联解①②，可得28a =且24b =，椭圆C 的方程为22184x y +=；()II 由题意，得E 点坐标为0(x ，0)，设(D D x ，0)，可得0(AE x =u u u r，-，(D AD x =u u u r，-， AD AE⊥Q ，可得0AD AE =u u u r u u u rg0((0D x x ∴+--=g ，即080D x x +=，得08D x x =-Q 点G 是点D 关于y 轴的对称点，∴点G 的坐标为08(x ，0) 因此，直线QG 的斜率为000200088QG y x y k x x x ==--又Q 点0(Q x ，0)y 在椭圆C 上，可得220028x y += 00020022QG x y x k y y ∴==-- 由此可得直线QG 的方程为：0008()2x y x y x =--，代入椭圆C 方程，化简得22220000(2)1664160x y x x x y +-+-= 将220028x y +=代入上式，得220081680x x x x -+=，化简得220020x x x x -+=，所以△2200(2)40x x =-=，从而可得0x x =，0y y =是方程组的唯一解，即点Q 是直线QG 与椭圆C 的唯一公共点．综上所述，可得直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点．21．（12分）心理学研究表明，人极易受情绪的影响，某选手参加7局4胜制的兵乒球比赛．（1）在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为13；但实际上，如果前一句获胜的话，此选手该局获胜的概率可提升到12；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降为14，求该选手在前3局获胜局数X 的分布列及数学期望；（2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为sin A 、sin B 、sin C ，记A 、B 、C 为锐角ABC ∆的内角，求证：sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1A B C A B A C B C A B C ++---+<【解答】解：（1）解：依题意，可知X 可取：0，1，2，3， 2119(0)(1)(1)3424P X ==-⨯-=， 1111111118(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)32434234424P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=， 1111111115(2)(1)(1)(1)32232434224P X ==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=， 1112(3)32224P X ==⨯⨯=． ∴随机变量的分布列为：X 0 1 2 3 P9248245242249852()0123124242424E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）证法一：ABC ∆Q 是锐角三角形，0sin 1A ∴<<，0sin 1B <<，0sin 1C <<，则三局比赛中，该选手至少胜一局的概率为：(1)sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin P X A B C A B B C B C A B C =++---+…，由概率的定义可知：(1)1P X <…，故有：sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1A B C A B A C B C A B C ++---+<．证法二：sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1A B C A B A C B C A B C ++---+- (sin 1)(sin 1)(sin 1)A B C =---，ABC ∆Q 是锐角三角形，0sin 1A ∴<<，0sin 1B <<，0sin 1C <<， sin 10A ∴-<，sin 10B -<，sin 10C -<，(sin 1)(sin 1)(sin 1)0A B C ∴---<，sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1A B C A B A C B C A B C ∴++---+<．选做题：请考生在下面两题中任选一题作答.22．（10分）已知动点P 、Q 都在曲线2cos :(2sin x C y βββ=⎧⎨=⎩为参数）上，对应参数分别为βα=与2(02)βααπ=<<，M 为PQ 的中点．（1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．【解答】解：（1）依题意有(2cos ,2sin )P αα，(2cos2,2sin 2)Q αα，因此(cos cos2,sin sin 2)M αααα++．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2(sin 2sin x y ααααα=+⎧⎨=+⎩为参数，02)απ<<．（2）M 点到坐标原点的距离2)d απ=<<．当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点． 23．设函数1()||||(0)f x x x a a a=++->．（Ⅰ）证明：()2f x …；（Ⅱ）若f （3）5<，求a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：a >Q ，1111()|||||()()|||2f x x x a x x a a a a a a a =++-+--=+=+=厖，故不等式()2f x …成立．（Ⅱ）f Q （3）1|3||3|5a a=++-<，∴当3a >时，不等式即15a a+<，即2510a a -+<，解得3a <<．当03a <„时，不等式即165a a-+<，即210a a -->3a <„．综上可得，a 的取值范围，52．。

广东省潮州市2019-2020学年高三上学期期末数学(理)试题(解析版)

潮州市2019--2020学年度第一期期末高三级数学质量检测卷（数学）理科本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生请用黑色字迹的钢笔或签字笔将字迹的姓名和考号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若{}1P x x =<，{}1Q x x =>，则( ) A. P Q ⊆ B. Q P ⊆ C. R C P Q ⊆ D. R Q C P ⊆【答案】D 【解析】【分析】利用集合的补集的定义求出P 的补集；利用子集的定义判断出R Q P ⊆ð．【详解】解：{|1}P x x =<Q ， {|1}R P x x ∴=…ð，{|1}Q x x =>Q ， R Q P ∴⊆ð，故选：D ．【点睛】本题考查利用集合的交集、补集、并集定义求交集、补集、并集；利用集合包含关系的定义判断集合的包含关系． 2.i 是虚数单位,复数12aii+-为纯虚数,则实数a 为( )A. 2B. 2-C. 12-D.12【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后令实部为0，虚部不为0建立关于a 的方程组解出即可. 【详解】1(1)(2)2(2)(2)ai ai i i i i +++=--+Q2(251)a a i -++=2(21)55a a i -+=+ 复数12aii+-为纯虚数 20210a a -=⎧∴⎨+≠⎩，解得2a =，故选：A .【点睛】本题主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.已知函数()212xx ax f x ++=，若()()04f f =，则6log a =( ) A.12B. 2C. 1D. 6【答案】C 【解析】【分析】首先计算出()0f ，再根据()()0ff 的值求出a ，即可得解.【详解】解：()212xx ax f x ++=Q ()01f ∴=，∴()()()110142a ff f ++===，解得6a =.于是，6log 1a =故选：C【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用． 4.“数列{}n a 既是等差数列又是等比数列”是“数列{}n a 是常数列”的（）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】数列{}n a 既是等差数列又是等比数列，则可知{}n a 是常数列，所以充分性成立；若{}n a 是0n a =常数列，则{}n a 不是等比数列，所以必要性不成立，所以“数列{}n a 既是等差数列又是等比数列”是“数列{}n a 是常数列”的充分不必要条件，故选A ． 5.函数()()2x bf x x c -+=+的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A. 0,0b c <>B. 0,0b c >>C. 0,0b c ><D. 0,0b c <<【答案】C 【解析】【分析】根据定义域及特殊点可判断. 【详解】解：∵()()2x bf x x c -+=+的图象与y 轴交于M ，且点M 的纵坐标为正，∴20by c =>，故0b >，()()2x bf x x c -+=+Q 定义域为{}|x x c ≠-其函数图象间断的横坐标为正，∴0c ->，故0c <. 故选：C【点睛】本题考查函数图象的识别，考查数形结合思想，属于基础题.6.现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这个10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( ) A.710B.35C.12D.25【答案】B 【解析】【分析】先由题意写出成等比数列的10个数，然后找出小于8的项的个数，代入古典概率的计算公式即可求解【详解】解：由题意()13n n a -=-成等比数列的10个数为：1，3-，2(3)-，39(3)(3)-⋯-其中小于8的项有：1，3-，3(3)-，5(3)-，7(3)-，9(3)-共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是63105P ==．故选：C ．【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题7.在四边形()()1,2,4,2,ABCD AC BD ==-u u u r u u u r中，则该四边形的面积为（）B. C. 5D. 10【答案】C 【解析】注意到两向量的纵坐标都为2，所以借助坐标系如图，1(14)*252S =+=.或者注意到·0AC BD =u u u r u u u r 分为四个小直角三角形算面积.【考点定位】本题的处理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的转化还是属于容易题. 8.若实数,x y 满足1111x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2x y +的最大值和最小值分别为( )A. 1,1-B. 2,2-C. 1,2-D. 2,1-【答案】B 【解析】【分析】由不等式组作出可行域，令2z x y =+，数形结合求出z 的最大值和最小值．【详解】解：由1111x y x y -+⎧⎨--⎩剟剟作可行域如图，令2z x y =+，则2y x z =-+，由图可知，当2y x z =-+过(1,0)A 时，截距z 最大，最大值为2102z =⨯+=；当2y x z =-+过(1,0)C -时，截距z 最小，最小值为2102z =-⨯+=-．2x y ∴+的最大值和最小值分别为2，2-．故选：B ．【点睛】本题考查线性规划问题，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．属于中档题．9.设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是A. 2X Z Y +=B. ()()Y Y X Z Z X -=-C. 2Y XZ =D. ()()Y Y X X Z X -=-【答案】D 【解析】本题主要考查等比数列的性质：等比数列连续n 项之和仍为等比数列．即,,X Y X Z Y --成等比数列，则由等比中项的性质有2()()Y X X Z Y -=-整理得D 选项．10.已知双曲线22x a－22y b ＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )【答案】A 【解析】【详解】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为2px =-，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为12y x =±，由双曲线的性质，可得b=1；则c =故选A ．11.已知函数f (x )＝22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是 ( )A. (＝∞＝0]B. (＝∞＝1]C. [＝2,1]D. [＝2,0]【答案】D 【解析】当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ≤0恒成立，由|f (x )|≥ax 得，x 2－2x ≥ax ，整理得x 2－(2＋a )x ≥0，由于g (x )＝x 2－(2＋a )x ≥0恒成立，因为g (0)＝0，所以－(2)2a -+≥0，解得a ≥－2， x >0时，由于|f (x )|>0，若|f (x )|≥ax 恒成立，满足ax ≤0，同时满足以上两个条件－2≤a ≤0．12.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，30ABC ∠=︒，APC ∆的面积为2，则三棱锥P ABC -的外接球体积的最小值为( ) A.83π B.163πC.323πD.643π【答案】C 【解析】【分析】由题意画出图形，设AC x =，由APC ∆的面积为2，得4PA x=，再由30ABC ∠=︒，得三角形ABC 外接圆的半径r x =，求出球心到平面ABC 的距离，再由勾股定理可得外接球的半径，利用基本不等式求得最小值，代入球的体积公式求解．【详解】解：如图，设AC x =，由APC ∆的面积为2，得4PA x=， 30ABC =︒，∴三角形ABC 外接圆的半径r x =，PA ⊥Q 平面ABC ，4PA x=， O ∴到平面ABC 的距离为122d PA x==，设球O 的半径为R ，则2R ==，当且仅当x =”成立．∴三棱锥P ABC -的外接球体积的最小值为3432233ππ⨯=．故选：C ．【点睛】本题考查了棱锥与球的位置关系，考查正弦定理的应用，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上13.曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________【答案】【解析】【详解】函数的导数为，所以在的切线斜率为，所以切线方程为，即.14.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若112a =，23S a =，则7S = _______ 【答案】14 【解析】【分析】设公差为d ，根据23S a =求出公差，即可求出其前n 项和公式，代入求解即可. 【详解】解：设公差为d ，23S a =Q 则1122a d a d +=+，把112a =代入得12d =，21n a n ∴=∴()114n S n n =+，故714S = 故答案为：14【点睛】本题考查等差数列通项公式以及前n 项和公式，属于基础题. 15.函数3sin 4cos y x x =-在x θ=处取得最大值，则sin θ= ______【答案】35【解析】【分析】利用辅助角公式、两角差的正弦公式化简解析式：()5sin y x ϕ=-，并求出cos ϕ和sin ϕ，由条件和正弦函数的最值列出方程，求出θ的表达式，由诱导公式求出sin θ的值．【详解】解：()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55y x x x x x ϕ⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭，其中3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ= 依题意可得()5sin 5θϕ-=，即()sin 1θϕ-=，2,2k k Z πθϕπ∴-=+∈所以3sin sin 2cos 25k πθϕπϕ⎛⎫=++== ⎪⎝⎭故答案为：35【点睛】本题主要考查辅助角公式、诱导公式，以及正弦函数的最大值的应用，考查化简、变形能力． 16.已知圆22:1O x y +=和点()2,0A -，若定点()(),02B b b ≠-和常数λ满足，对圆O 上任意一点M ，都有MB MA λ=，则λ= _____ . 【答案】12λ= 【解析】【分析】设(cos ,sin )M θθ，则22222(cos )sin [(cos 2)sin ]b θθλθθ-+=++，则2222cos 14cos 5b b θλθλ-++=+对任意θ都成立，由此能求出λ、b ．【详解】解：Q 圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，定点(B b ，0)(2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点，都有||||MB MA λ=，∴设(cos ,sin )M θθ，则22222(cos )sin [(cos 2)sin ]b θθλθθ-+=++，2222cos 14cos 5b b θλθλ∴-++=+对任意θ都成立，∴2222415b b λλ⎧-=⎨+=⎩，由||||MB MA λ=，得0λ>，且2b ≠-，解得12b =-，12λ=．故答案为：12【点睛】本题考查实数值的求法，考查圆、两点间距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．三、解答题：第17～21题为必做题，每题满分各为12分，第22～23题为选做题，只能选做一题，满分10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3cos sin 34a Bb A ==. （1）求边长a 的值；（2）若ABC ∆的面积10S =，求ABC ∆的周长L . 【答案】(1)5 (2) 10+【解析】【分析】（1）由图及已知作CD 垂直于AB ，在直角三角形BDC 中求BC 的长．（2）由面积公式解出边长c ，再由余弦定理解出边长b ，求三边和即周长．【详解】解：解：（1）3cos sin 34a Bb A ==Q sin 4b A ∴=过C 作CD AB ⊥于D ，则由sin 4CD b A ==，cos 3BD a B ==∴在Rt BCD ∆中，5a BC ==（2）由面积公式得1141022S AB CD AB =⨯⨯=⨯⨯=得5AB =，又cos 3a B =，得3cos 5B =，由余弦定理得：b == ABC ∆的周长5510l =+++【点睛】本题主要考查了射影定理及余弦定理，考查运算能力，属于中档题．18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点，12AA AC CB AB ====（1）证明：1BC P 平面1A CD ；（2）求二面角1D A C E --的余弦值.【答案】(1)证明见解析 (2) 3【解析】【分析】（1）连接1AC 交1A C 于点F ，由三角形中位线定理得1//BC DF ，由此能证明1//BC 平面1A CD ．（2）以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，CB 的方向为y 轴正方向，1CC 的方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -．分别求出平面1A CD 的法向量和平面1A CE 的法向量，利用向量法能求出二面角1D A C E --的余弦值．【详解】证明：证明：连接1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 的中点．又D 是AB 的中点，连接DF ，则1//BC DF ．因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊂平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD ．（2）由12AA AC CB AB ====2AB =，即222AC BC AB += 所以AC BC ⊥又因为111ABC A B C -直棱柱，所以以点C 为坐标原点，分别以直线1CA CB CC 、、为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则()10,0,0)C A D E ⎫⎛⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭、、、，1,,0,222CA CD CE ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r 设平面1A CD 的法向量为(),,n x y z =r ，则0n CD ⋅=r u u u r且10n CA ⋅=r u u u r ，可解得y x z =-=，令1x =，得平面1A CD 的一个法向量为()1,1,1n =--r，同理可得平面1A CE 的一个法向量为()2,1,2m =-u r，则cos ,n m <>=r u r所以二面角1D A C E --【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．19.已知函数()()ln f x x a x a R =-∈（1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（2）谈论函数()f x 的零点个数【答案】(1) ()f x 的单调递减区间是()0,a ，单调递增区间是(),a +∞ (2)见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数不等式，求出函数的单调区间；（2）由（1）知当0a >时，()()max 1ln f a a a =-，分0a e <<，a e =，a e >三种情况讨论，0a =由函数的定义域为()0,∞+显然没有零点，当0a <转化为函数的交点问题. 【详解】解：（1）∵()()ln ,0,f x x a x x =-∈+∞，故()1a x afx x x'-=-=， ∵0a >∴()0,x a ∈时，()0f x '<，故()f x 单调递减，(),x a ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 单调递增，所以，0a >时，()f x 的单调递减区间是()0,a ，单调递增区间是(),a +∞ （2）由（1）知，当0a >时，()f x 在x a =处取最小值()()ln 1ln f a a a a a a =-=-，当0a e <<时，()1ln 0a a ->，()f x 在其定义域内无零点当a e =时，()1ln 0a a -=，()f x 其定义域内恰有一个零点当a e >时，最小值()()1ln 0f a a a =-<，因为()110f =>，且()f x 在()0,a 单调递减，故函数()f x 在()0,a 上有一个零点，因为a e >，2a e a a >>，()2ln 0aaa a f eea e e a =-=->，又()f x 在(),a +∞上单调递增，故函数()f x 在(),a +∞上有一个零点，故()f x 在其定义域内有两个零点；当0a =时，()f x x =在定义域()0,∞+内无零点；当0a <时，令()0f x =，可得ln x a x =，分别画出y x =与ln y a x =，易得它们的图象有唯一交点，即此时()f x 在其定义域内恰有一个零点综上，0a e ≤<时，()f x 在其定义域内无零点；a e =或0a <时，()f x 在其定义域内恰有一个零点；a e >时，()f x 在其定义域内有两个零点；【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点问题，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点(P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设()()0000,0Q x y x y ≠为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E ，取点(0,A ，连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ，点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由.【答案】(1) 22184x y += (2) 直线OG 与椭圆C 一定有唯一的公共点，见解析【解析】【分析】（1）根据题意得到关于a 、b方程组，解得.（2）由题意，E 点坐标为()0,0x ，设(),0D D x ，由AD AE ⊥知，0AE AD ⋅=u u u r u u u r求出D x ，根据对称表示出G 点坐标，即可表示出直线QG 的方程，联立直线与椭圆方程消元可得.【详解】解：（1）因为焦距为4，所以224a b -=，又因为椭圆C 过点(P ，所以22421a b +=，故28a =，24b =，从而椭圆C 的方程为22184x y +=已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点(P .（2）由题意，E 点坐标为()0,0x ，设(),0D D x ，则(0,AE x =-u u u r，(,D AD x =-u u u r，再由AD AE⊥知，0AE AD ⋅=u u u r u u u r，即080D x x +=.由于000x y ≠，故08D x x =-，因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以点08,0G x ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故直线QG 的斜率00020088QG y x y k x x x =--=.又因()00,Q x y 在椭圆C 上，所以220028x y +=.①从而002QG x k y =-，故直线QG 的方程为00082x y x y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭②将②代入椭圆C 方程，得()222200021664160nxy x x x y +-+-=③再将①代入③，化简得：220020x x x x -+=解得0x x =，0y y =，即直线OG 与椭圆C 一定有唯一公共点.【点睛】本题考查利用待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用问题，属于中档题. 21.心理学研究表明，人极易受情绪的影响，某选手参加7局4胜制的兵乒球比赛. （1）在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为13；但实际上，如果前一句获胜的话，此选手该局获胜的概率可提升到12；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降为14，求该选手在前3局获胜局数X 的分布列及数学期望；（2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为sin sin sin A B C 、、，记、、A B C 为锐角ABC ∆的内角，求证：sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1A B C A B A C B C A B C +---+<+【答案】(1)分布列见解析，数学期望1 (2)证明见解析【解析】【分析】的（1）依题意前3局获胜局数X 可取0,1,2,3，分别计算概率，列出分布列，即可求出期望. （2）根据相互独立事件的概率计算公式可得选手至少胜一局的概率为：()1sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin P X A B C A B A C B C A B C ≥=++---+且概率要小于1，即可得证.【详解】解：（1）依题意，可知X 可取：0,1,2,3∴()21190113424P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1111111118111111132434234424P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111111115211132232434224P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()11123232224P X P X ====⨯⨯=∴随机变量X 的分布列为：∴()0852123124242424E X =+⨯+⨯+⨯=. （2）∵ABC ∆是锐角三角形，∴0sin 1,0sin 1,0sin 1A B C <<<<<<，则三局比赛中，该选手至少胜一局的概率为：()1sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin P X A B C A B A C B C A B C ≥=++---+由概率的定义可知：()11P X ≥<，故有：sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1A B C A B A C B C A B C +---+<+【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及相互独立事件的概率计算问题，属于中档题.选做题：请考生在下面两题中任选一题作答.22. 已知动点,P Q 都在曲线2cos :{2sin x t C y t==（t 为参数）上，对应参数分别为t α=与()202t ααπ=<<，M 为PQ 的中点．（1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．【答案】（1）cos cos 2{sin sin 2x y αααα=+=+,(α为参数,02απ<<)（2）过坐标原点【解析】【详解】（1）由题意有，()()2cos ,2sin ,2cos2,2sin 2P Q αααα，因此()cos cos2,sin sin 2M αααα++，M 的轨迹的参数方程为cos cos 2{sin sin 2x y αααα=+=+（α为参数，02απ<<）．（2）M 点到坐标原点的距离为)02d απ==<<，当a π=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．23.设函数1()|(0)f x x x a a a=++- （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】试题分析：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出min ()2f x =，从而得出结论；对第（2）问，由0a >去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出a 的取值范围. 试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：min ()f x =12a a+≥，当且仅当1a =时，取等号，所以()2f x ≥.（2）因(3)5f <，所以1335a a ++-<⇔1335a a ++-<⇔132a a-<-⇔11232a a a -<-<-，解得：1522a +<<. 【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.考点：本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.。

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广东省潮州市2019届高三上学期期末教学质量检测数学(理)试题一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1. 设集合上「「讥壬，.，则•X —1A. B. C. R D. 'J..'；【答案】D【解析】【分析】求解不等式化简集合A、B,然后直接利用交集运算得答案.【详解】丫i : ■:\ 二]B= {x|——>0} = {x|x - 1 >0}=(],卜曲)，x- 1/ 1 ■ I.. \故选：D.【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，是基础题.2. 复数z满足_ •▼' ：：为虚数单位，则=A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.5 5( - 2 + 1)【详解】由工一|.；+二丨一“：，得，-2-1 (- 2 -1)( - 2 - 1)■- -"-.故选：C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.3. 若A B、C D E五位同学站成一排照相，则A、B两位同学至少有一人站在两端的概率是7IC. —D.A. B.5【答案】C【解析】【分析】五名同学站成一排照相，共有.种排法、B两位同学至少有一人站在两端的排法有：「种，由此能求出A B两位同学至少有一人站在两端的概率.【详解】五名同学站成一排照相，共有爲二*种排法.A、B两位同学至少有一人站在两端的排法有：二二厂L二[二汇种，加7-、B两位同学至少有一人站在两端的概率为120 10故选：C.【点睛】该题考查的是有关概率的求解问题，涉及到的知识点有有条件的排列问题以及古典概型概率公式，属于简单题目•4. 下列函数在区间V.十°上是增函数的是A.、：■：：■B. . 「'、.-「C. < = -D. . . -4【答案】A【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数在上的单调性，综合即可得答案.【详解】根据题意，依次分析选项，对于A, ；= • :「，其导数Td 当时，有丁= I…•二恒成立，贝y函数「I"在上为增函数，符合题意；对于B,、•.宀,：•,.、，其导数为：-：；I ■:. - ,在:]..y 上，，则函数ii.「在:上为减函数，不符合题意；1 I 1对于C, ,其导数为，当时，有- - "'■'恒成立，贝y函数在x x x上为减函数，不符合题意；对于D,「孑为二次函数，在上为减函数，不符合题意；故选：A.【点睛】本题考查函数的单调性的判断，注意函数的导数与函数单调性的关系，属于基础题.5. 已知随机变量「rW，若二”一汀,则A. B. C. .1 D.【答案】B【解析】【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性即可求解.【详解】c「j.TI,-],且- ,「•p(詐-1) = 0.2，且- 1) + P(U -1) = I,故选：B.【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量应用，考查曲线的对称性，属于基础题.6. 等比数列严■，冲，若九〕：；；],且:f •「「.：、成等差数列，则其前5项和为(A. 30B. 32C. 62D. 64【答案】C【解析】【分析】设等比数列｛an｝的公比为q, a4= 8ai，可得ag3= 8ai，解可得q.又ai,比+1, 可得2 (a2+l)= a计as，解可得ai,由等比数列前n项和公式计算可得答案.【详解】根据题意，设等比数列｛an｝的公比为q,3■/ a4 = 8ai,「. aiq = 8ai, ai*0,解得q= 2.又ai, a2+1, a3成等差数列，2 ( &+1 )= ai+a3,••• 2 ( 2ai+i)= ai (i+22),解得ai = 2；则其前5项和S5 -------- - 62;1 - 2故选：C.【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，掌握等比数列的通项公式和前式即可.0 17. 已知命题是P：“”是“”的充要条件，q：」％三「使得-';-;则eA. _7 ' -■ —- i为真命题B. | - '■/ 为假命题C. 为真命题D. 为真命题【答案】C【解析】【分析】由指数函数的单调性可得：函数■在R上为增函数，所以“ ”是“”的充要条件，由不等式有解问题，存在时，…，即命题q是真命题，得结果•e【详解】因为函数在R上为增函数，所以“ ”是“”的充要条件，即命题P是真命题，% 1因为存在时，，即命题q是真命题，e即U为真命题，故选：C.【点睛】本题考查了指数函数的单调性及不等式有解问题，属简单题目I- m)- l,x>08. 已知函数’的图象经过点•，贝U 'I ~ 恳-1)(20191A. 2019B. ----------------C. 2D. 12019【答案】B【解析】【分析】jlog^x-i m)- l,x>0由函数’的图象经过点可得.，进而可得答案.【详解】因为函数过点' ,所以1 1门解得：丿和■:的a3成等差数列,n项和公f(2)=］竖2 - 1 <0,故选： B.【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，方程思想，函数求值，难度不大，属于基础题.sure9.已知函数程 ——[，贝U i 」「」 i"" i ；一二i ■x" + 1A. 0B. 7C.D. 4【答案】B 【解析】【分析】推导出I' ＞：■ !■＞：'二，且，由此能求出:- K I : 2.；的值.SLTIX【详解】■-函数，疋+ I故• IV i . 「. 「 I 二.；「二 ■ 故选：B.【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.则的值为【答案】C 【解析】【分析】利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可.1L 如【详解】「：,4 47[37C4■- ■■.： '： ■.-: , :=4 5 457E兀兀JE则4 4 4 4sin( - x) (*x)2+lsinx疋+ 1sinO0十110.平面直角坐标系xOy 中，点吩:呼升J 在单位圆皿3兀 JE 3O 上，设，若•’，且：一,B.D.血兀故选：C.【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键.俯视图【答案】A【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，利用体积转化求解即可.【详解】三视图对应的几何体的直观图如图：+ 2x几何体的体积为：. ，解得 .故选：A.【点睛】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键.正视團侧视團A. 112. 已知双曲线C: —- — = l（a>O h b> 0）的左、右焦点分别为F】（-、巧（碣0），且双曲线C与a3 b2圆在第一象限相交于点A,且7 | ■. ■- - ■■-:-,则双曲线C的离心率是A. ,5 + IB. ■,? +iC. . :D.【答案】A【解析】【分析】运用双曲线的定义和条件，求得l^.l, ，由直径所对的圆周角为直角，运用勾股定理和离心率公式，计算可得所求值.【详解】双曲线C与圆在第一象限相交于点A,可得.|乏| :由I ■- ■ ■■ 1 - -" I 6-可得- ' , ■., 由• ，可得「’宀即为；丨「：亠加亠厶圧亦=亠r C即有1------a"16+ 8J3 厂4即有：、=•-.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直径所对的圆周角为直角，以及双曲线的定义，考查化简运算能力，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. _____________________________________________________________________ 已知实数x、y满足约束条件贋-2y4 2“，则z = --i y的最小值为_______________________________________________（x y + 2 > 0 2【答案】'【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由I . 解得：•.f ■* a b 3在上的投影为一,I平移直线，1由图象可知当直线v =-:-经过点时，直线的截距最小，此时z最小，此时：• L ' ,故答案为：：.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，禾U 用数形结合是解决本题的关键.14. ____________________________________________________________________ 已知向量;、，满足且丄;，则;在;上的投影为________________________________________________【答案】、【解析】【分析】根据得, 在上的投影为7【详解】b故答案为：2【点睛】本题平面向量数量积的性质及其运算，属基础题.一x I 1 _ 一15. 过点且与曲线y = ——在点③郭处的切线垂直的直线的方程为________________________ .x- 1【答案】【解析】【分析】求导函数，确定切线的斜率，可得所求直线的斜率，再利用点斜式可得直线方程.X + 1【详解】「,X-]2:-- -（X- I）2当：时，，即曲线在点」处的切线斜率为，X I ]…与曲线”:一在点' 处的切线垂直的直线的斜率为2,x- 1■直线过点，…所求直线方程为T I - :,即訟- I故答案为: T -- 1 -匚【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线方程，解题的关键是理解导数的几何意义.16. 设数列hj的前n项乘积为T”，对任意正整数n都有耳=1 - %，则耳广________________________ .【答案】n + 1【解析】【分析】r n 1 1 d对任意正整数n都有[：= "：, 时，二n一，化为：时，•，T u-i 51可得：利用等差数列的通项公式即可得出.【详解】对任意正整数n都有，几 1 I -沦*时，—n一，化为：—丄II -1 丄II 丄11 -]1 1:'I 时，11 - I ,可得：.，•I可得：「• ； . I a -:故答案为：——•n + 1【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17. 如图，在四棱锥L .'十.2中，' ,3正〕：门；二三(1)证明：平面：•’「-平面；(2)若2匚-二，求二面角S-A.C-?的余弦值.【答案】⑴证明见解析；(2)工.5【解析】【分析】(I)先证明CDL BC CDL CE得到CDL平面BCE再证明平面BCEL平面CDE(n)建立空间直角坐标系，采用向量法求解二面角卜--2- •:的余弦值.【详解】(I )证明：因为w二二，,所以-二.E二.因为二I门所以r I :丨「，所以■「二「；耳因为r"i :T - ?：,所以I平面又平面，所以平面忌「平面(n)以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则1^：；1；：■- I I所以『：-'：'_：：、「：• : - -设平面定T.的法向量为，则I ,即’,|AE 1 n z=0 I-5x+- 2z = 0令，解得 ',即..,显然平面圧匸啲一个法向量为：T 旦匕*,叮％3$ 3晶3岳所以',所以二面角卜- U的余弦值为.Klhl 4^x] 88【点睛】本题考查了面面垂直的判定和求二面角的余弦值，考查了空间想象能力以及计算能力；求二面角的空间向量坐标法的一般步骤：建立空间直角坐标系，确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过两个法向量的夹角得出二面角的大小18. 已知点，圆' I ：'■，点i」是圆上一动点，「工F：的垂直平分线与计匚交于点•（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，过点丁,且斜率不为0的直线与交于两点，点关于轴的对称点为，证明直线亍工过定点，并求：•「〒：:审面积的最大值.f V' Q【答案】⑴-■ - 1.（2）•4 2 2【解析】【试题分析】（1）由于0史1十卜疋』-「，所以的轨迹为椭圆，利用椭圆的概念可求得椭圆方程•（2）当直线•的斜率存在时，设出直线方程和点二匚:L的坐标，联立直线方程和椭圆方程，1 + 2k2- + 2|k|2 '|k|等号成立.所以面积的最大值是写出韦达定理，求得直线的方程，求得其纵截距为•，即过.验证当斜率不存在是也过'.求出三角形面积的表达式并利用基本不等式求得最大值【试题解析】解：（1）由已知得：所以「「）「■.\|\ ■又|：- ；='?■./■.,所以点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆，2 2所以点轨迹方程是--- .斗2（2）当存在时，设直线I;；| ：、.，则匚"：、.：.：；.联立直线.与椭圆得’，I y = kx-i- I得.■.l.-./ ■. . ；■A -8（］十4k2 l 3）> 0' -4k•+ =—rI + 2k-,所以令，得，X](kx它+ 1) I- x2(kx1+ 1) 2也]电,X| + Xj -I- X,所以直线「I■:•过定点.■,（当不存在时仍适合）2|k| =」—＜返Q，当且仅当上•二时,3【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查与圆锥曲线有关的三角形面积的最值.由于给定点■,而圆心恰好是.，由此考虑动点是否满足椭圆或者双曲线的的定义，结合垂直平分线的性质可知动点的轨迹为椭圆19. 已知函数-十「，三求■的解集;若的最小值为T,正数a, b满足■■- - ■=..,求证：.-/兰’所以直线所以APAB的面积置='屈品-^APQA-2些x l + x l【答案】（1）丄三；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）将函数- ：-.■■■ 写成分段函数形式，画出函数图象，禾U 用数形结合由图像可知：的解集为 •（2）图像可知的最小值为1,当且仅当时，“ ”成立，即思想可得•的解集；（2）由（1）中的图象可得的最小值为，利用均值不等式可知3 - 2x -i 6 - 3x(x < -)(1) fi ；x) = |2x-3| I |3x- 6| =2x-3 + 6-3x(-<x<2) 2x-3 + 3x-6(x>2)-5x !■ 9(x < -) 3-x 十 3{-<x<2) 5x - 9(x > 2)试题解析:由均值不等式可知。