随机过程第三章 泊松过程

第三章 泊松过程
第一节 泊松过程的基本概念
定义3.1(计数过程)随机过程 {N (t ), t 0} 称为计数过程,如 果 N (t ) 表示t时刻为止,某一特定事件A发生的次数. 由定义,计数过程具有以下两个特点: (1) N (t )取值为非负的整数; (2) s t 时, N ( s) N (t ) 且 N (t ) N ( s) 表示时段 ( s, t ] 内 事件A发生的次数. 如果在不相交的时间区间中发生的事件数是独立的,则该 计数过程有独立增量.即到时刻t已发生的事件个数必须独 立于时刻t与t+s之间所发生的事件数.这就意味着, N (t )与 N (t s) N (t ) 相互独立.
t
定义3.5 计数过程 {N (t ), t 0} 称为强度为 (t ) 0 的非 齐次泊松过程,如果 (1) N (0) 0; (2) 过程有独立增量; (3)对于任意的实数t 0, s 0, N (t s) N (t ) 服从参数为
m(t s) m(t )
E ( N (t )) t
于是可以认为 是单位时间内事件发生的平均次数.
称 为泊松过程的强度、风险率或速率.
ห้องสมุดไป่ตู้
强度为的泊松过程的数字特征：
1. E N t0 , t E N t N t0 t t0 ；
2. D N t0 , t D N t N t0 t t0 ， 特别地，t0 0，由假设N 0 0，可得：
10
5
10
P{N (10) N (0) 1} (4.5)e4.5
二.复合泊松过程
定义3.6 称随机过程 { X (t ), t 0} 为复合泊松过程,如果对 于 t 0 ,它可以表示为如下形式

4
1 5 12

9 4
.
例2 事件A的发生形成强度为 的泊松过程 {N (t ),t 0}.如 果每次事件发生时以概率 p 能够记录下来,并以 M (t )表示到 t时刻被记录下来的事件总数,证明{M (t ), t 0} 是一个强度为 p 的泊松过程. 证 M (t )满足定义3.2中的前两个条件是显然的,下证它也 满足第三个条件. 显然, M (t ) 的可能取值为 0,1,2,, 并且由全概率公式,有
解： (1) PN 5 4 (5)4 e5 4!
(2) P N 5 4, N (7.5) 6, N (12) 9 P N 5 4, N (7.5) N (5) 2, N (12) N (7.5) 3
[(5 )4 e5 4!][(2.5)2 e2.5 2!][(4.5)3 e4.5 3!]
例 12 例 1 ：设{N (t ), t 0}服从参数为 的泊松过程，求 (1) P{N (5) 4}; (2) P{N (5) 4, N (7.5) 6, N (12) 9}; (3) P{N (12) 9 N (5) 4}; (4) P{N (5) 4 N (12) 9}; (5) E[ N (5)], D[ N (5)], Cov[ N (5), N (12)].
P{N (s t ) N (s) 0} P{N (t ) 0} e t
即 X 1 , X 2 相互独立且均服从参数为 重复以上的推导可证定理之结论.
的指数分布.
定理3.3 Tn ~ (n, )
证 由于 Tn
X
i 1
n
i
故由定理3.2以及引理的结论马上可得本定理之结论. 注:1 (n, )的概率密度为
的
X 1 X 2 X n ~ (n, )
(5)泊松过程的样本轨迹是跳跃度为1的阶梯函数.记 Tn 为 第 n 次事件发生的时刻, X n 是第 n 次与第 n 1 次事件发生 的时间间隔. 一. X n和 Tn 的分布 定理3.2 X n (n 1) 服从参数为 的指数分布,且相互独立.
PN (5) 4 PN (12) N (5) 5 PN (12) 9
(5 )4 e5 4!(7 )5 e7 5! 4 5 C 9 12 (12 )9 e12 9!
(5) E[N(5)]=5 , D N 5 5 , Cov[ N (5), N (12)] D N 5 5.
证 当 t 0 时,有
F1 (t ) P{X1 t} 1 P{X1 t} 1 P{N (t ) 0}
1 e t t 0 所以 F1 (t ) t0 0, 又 P{X 2 t | X1 s} P{N (s t ) N (s) 0 | X1 s}
X ~ ( , )
当 1 时,就是参数为 的指数分布. (4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X ~ (1 , ),
Y ~ ( 2 , ), 且 X 与 Y 独立,则
X Y ~ (1 2 , )
引理 设 X1 , X 2 ,, X 相互独立且均服从参数为 n 指数分布,则有
t s t
(u)du 的泊松分布.
定理
定义3.4与定义3.5是等价的.
证 只需证
P{N (t s ) N (t ) n} [m(t s ) m(t )] exp{ [m(t s ) m(t )]} n!
n
证明过程将要用到母函数的概念,从略.
例3.7 设某设备的使用期限是10年,在使用期限内,如果 出现故障则需要维修.设出现故障的计数过程是一个非齐 次的泊松过程,并且已知前5年它平均2.5年需要维修一次, 后5年平均2年需要维修一次. 求它在使用期内只维修过一 次的概率. 1
0

(2)有关 函数的几个重要公式:
( z 1) z( z )
(n 1) n!
1 2
(3)若随机变量 X 的概率密度为 1 x x e , x0 f ( x) ( ) 0, x0 则称 X 服从参数为 , 的 分布,记为

p (t ) t (1 p ) e m! (pt) m tp e m! 所以, {M (t ), t 0}是一个强度为 p 的泊松过程. e
t m m
第二节 与泊松过程相联系的若干分布
预备知识 (1) 函数定义为:
( z ) x z 1e z dz
定理3.1 计数过程 {N (t ),t 0} 称为泊松过程 ,参数为 ( 0), 如果 (1) N (0) 0; (2) 过程有平稳与独立增量; (3) P{N (h) 1} h o(h); (4) P{N (h) 2} o(h).
若 {N (t ), t 0} 是参数为 的泊松过程,则有
为泊松过程. 定理3.2的直接推论 设泊松过程的强度为 ,记 X 为过 程的到达间隔,则
E( X )
1

引理 (无后效性或无记忆性)设随机变量 X 服从参数 为 的指数分布,则
t 0, x 0,
证
P{ X t x | X t} P{ X x}
P{ X t x | X t} P{ X x}
的泊松过程,如果: (1) N (0) 0; (2) N (t ) 有独立增量; (3)对任意的 s, t 0,有
( t ) n t P{N (t s) N ( s) n} e , n!
n 0,1,2,
由条件(3)可知泊松过程有平稳增量并且在任一长度为t 的区间中事件的个数服从参数(均值)为 t 的泊松分布. 在实际过程中,条件(3)的验证存在着一定的困难,为此我 们给出泊松过程另一个等价定义.
P{M (t ) m} P{M (t ) m | N (t ) n}P{N (t ) n}
n 0
而
P{M (t ) m | N (t ) n} 0
若
nm
nm
n m nm P{M (t ) m | N (t ) n} p (1 p) 若 m
(3) P N (12) 9 N (5) 4
PN (12) N (5) 5 (7)5 e7 5!
P N (12) N (5) 5 N (5) 4
(4) P N (5) 4 N (12) 9 P N (5) 4, N (12) 9 P N (12) 9
fTn ( x) e t
2.
(t ) n 1 (n 1)!
(t 0)
{Tn t} {N (t ) n}
由定理3.2,我们给出泊松过程的另一个等价定义. 定义3.3 设{N (t ), t 0} 是计数过程,如果它的相继到达
时间间隔序列相互独立且服从相同的指数分布,则称 N (t )
P{ X t x, X x} P{ X t x} P{ X x} P{ X x}

e
(t x )
e
t
e
x
P{ X x}
第三节 泊松过程的推广
一、非齐次泊松过程
定义3.4 计数过程 {N (t ), t 0}称为强度为 (t ) 0的非 齐次泊松过程,如果 (1) N (0) 0; (2) 过程有独立增量; (3) P{N (t h) N (t ) 1} (t )h o(h); (4) P{N (h) 2} o(h). 令 m(t ) 0 ( s)ds,则有如下的等价定义.
若在任一时间区间中发生的事件个数 N (t ) 的分布只依 赖于时间区间的长度,则称计数过程 N (t ) 有平稳增量.这就 意味着此时 N (t2 s) N (t1 s) 与 N (t2 ) N (t1 ) 有相同的分布.
( 0) 定义3.2(泊松过程)计数过程{N (t ), t 0} 称为参数为
由题意 于是
( t ) n t P{N (t ) n} e n!
n n m ( t ) nm t P{M (t ) m} p ( 1 p ) e m n! nm
e t p m (t ) m m!
(1 p) nm (t ) n m (n m)! nm
N t E N t t , DN t D N t t；
3. CN s, t DN min s, t min s, t ， s, t 0；
s, t 0。
4. RN s, t CN s, t N s N t min s, t 2 st，
解
由题意,强度函数为
则在使用的期限(10年)内,故障发生的次数 N (10) N (0) 服从参数为
2.5 (t ) 1 2
0t 5
5 t 10
1 1 m(10) (t )dt dt dt 4.5 2.5 2 0 0 5
的泊松分布,故