材料力学第六版答案第16章

15-1 两端为球铰的压杆，当它的横截面为图示各种不同形状时，试问杆件会在哪个平面内失去稳定（即在失稳时，杆的截面绕哪一根轴转动）？
解：(a),(b),(e)任意方向转动，(c),(d),(f)绕图示Z 轴转动。

15-2 图示各圆截面压杆，横截面积及材料都相同，直径d ＝1.6cm ，杆材A 3钢的弹性模量E =200MPa ，各杆长度及支承形式如图示，试求其中最大的与最小的临界力之值。

解：(a) 柔度： 230
1500.4
λ⨯=
=
相当长度：20.30.6l m μ=⨯=
(b) 柔度： 150
1250.4
λ⨯==
相当长度：10.50.5l m μ=⨯=
(c) 柔度： 0.770
122.50.4
λ⨯==
相当长度：0.70.70.49l m μ=⨯=
(d) 柔度： 0.590
112.50.4
λ⨯==
相当长度：0.50.90.45l m μ=⨯=
(e) 柔度： 145
112.50.4
λ⨯==
相当长度：10.450.45l m μ=⨯=
由E=200Gpa 及各柔度值看出：各压杆的临界力可用欧拉公式计算。

即：()
22
cr EJ
P l πμ=各压杆的EJ 均相同，故相当长度最大的压杆(a)临界力最小，压杆(d)与(e)的临界力最大，分别为：
()
2948
2
2
2
320010 1.610640.617.6410cr EJ
P l N
π
ππμ-⨯⨯⨯
⨯⨯=
==⨯
()
2948
2
2
2
320010 1.610640.4531.3010cr EJ
P l N
π
ππμ-⨯⨯⨯
⨯⨯=
==⨯
15-3 某种钢材P σ=230MPa ，s σ=274MPa ，E =200GPa ，直线公式λσ22.1338-=cr ，试计算该材料压杆的P λ及S λ值，并绘制1500≤≤λ范围内的临界应力总图。

解：
9
6
2001092.6
2301033827452.51.22
p p s s E
a b λππσσλ⨯===⨯--===
()
ej
MPa σ
ej z σσ=
338 1.22ej σλ=-
22ej E πσλ
=
274
274
225 216 137 87 λ
52.5≤
52.5
92.6
100
120
150
15-4 6120型柴油机挺杆为45钢制成的空心圆截面杆，其外径和内径分别为，12mm 和10mm ，杆长为383mm ，两端为铰支座，材料的E ＝210GPa ，P σ=288MPa ，试求此挺杆的临界力cr P 。

若实际作用于挺杆的最大压缩力P =2.33kN ，规定稳定安全系数W n =2~5。

试校核此挺杆的稳定性。

解：(1)
()
()(
)
3
4
44
422222
22101084.33
288
64
1164
1210 3.90544
4
1383
9884.833.905
p p p E
J D d D d J i D d mm A
D d l
i
λππσπ
π
π
μλλ⨯====
--=
==
+=+=-⨯=
=
=>=
该压杆属大柔度杆
()
()222922
222
3210100.0120.019847.4610cr EJ E P A l N ππππλμ⨯⨯===⨯+=⨯ （2） 7.46
3.22.33
cr w P n n ===>工作P
该杆的稳定性足够。

15-5 设图示千斤顶的最大承载压力为P ＝150kN ，螺杆内径d ＝52mm ，l =50cm ．材料为A 3钢，E =200GPa 。

稳定安全系数规定为3=W n 。

试校核其稳定性。

解：千斤顶螺杆简化为一端固定一端自由的压杆，故2μ=。

柔度应为：2500
771001524
p l
i μλλ⨯=
=
=<=⨯
应采用经验公式计算其临界力：由表中查出：304a MPa = 1.12b MPa =。

则：
32304 1.1277218218100.0524624
462
3.083150
ej ej ej ej w a b MPa
P A KN P n n P
σλπ
σ=-=-⨯===⨯⨯⨯==
=
=>=工作
所以满足稳定性要求。

15-6 10t 船用轻型吊货杆AB ，长为16cm ，截面为空心圆管，壁厚35
D
t =
，轴向压缩力P =222kN ，规定稳定安全系数5.5=W n ，材料为A 3钢，E =210GPa ，吊杆两端均为铰支座。

试确定用杆的截面尺寸。

解：先按大柔度杆解
()()
4
2
9
2
222
722101064351168.345810cr D D D EJ P l N
πππμ⎛
⎫
⎛
⎫⨯⨯⨯-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⨯=⨯
74
38.3458105.5 5.522210
cr w P D n ⨯⨯>==⨯P 44
22255
3473508.345810D mm mm ⨯==⨯ 1035
D t mm == 330d mm ∴=
校核应用的公式是否对：
22221350330120.2644116000133120.26
p
D d i mm
ul i λλ-==-=⨯===> 所以上面的计算有效。

15-7 图示托架中的AB 杆，直径d ＝40mm ，长l ＝800mm ，两端铰支，材料为A 3钢，试求 (a )托架的权限载荷max Q ；
(b )若工作载荷Q ＝70kN ，稳定安全系数W n ＝2.0，问此托架是否安全？ 解： （1）AB 杆
1,104
800180080
10
d
i mm l mm ul i μλ==
==⨯===
3A 钢100p λ=
p λλ∴< 属于等杆
2
304 1.1280214.4214.440269.44
cr cr cr AB
a b MPa P A KN N σλπσ=-=-⨯===⨯⨯==
22
900sin 600
800600600
800118.8900
cr cr Q P P Q KN θ⨯
=⨯-⨯==极限极限 （2）118.8
1.70
2.070
w Q n Q η===<=极限工作工作
所以托架不安全。

15-8 两端固支的A 3钢管，长6m ，内径为60mm ，外径为70mm ，在C T
20=时安装，此时管子不受力。

已知钢的线膨胀系数C
/1105.126
-⨯=α，弹性模量E =206GPa ．当温度升高到多少度时，管子将失稳？ 解:
2222117060 2.3440.5600130.5100
2.3
p J i D d cm A l i μλλ=
=-=-=⨯===>= 属大柔度杆
设温度t C ∆;则管子变形tl δα=∆ 伸长
管子受压力cr P P = 变形cr P l
EA
∆=
缩短 变形协调条件0δ+∆=或者δ=∆
()2222
226
46.4130.512.510
cr P l E l
tl A
EA EA
t παλππλα-∆==∴∆===⨯⨯
即升至2046.466.4T C =+=的管子失稳.
15-9 有一结构ABCD ，由3根直径均为d 的圆截面钢杆组成如图，在B 点铰支，而在C 点和D 点固定，A 点为铰接。

π10=d
L。

若此结构由于杆件在ABCD 平面内弹性失稳而丧失承载能力。

试确定作用于节点A 处的载荷P 的临界值。

解：AB 杆为铰支1μ=
AC ，AD 杆为一端铰支一端固定0.7μ=
AB 失稳此结构仍能继续承载，直到AC,AD 杆也失稳，此时整个结构才丧失承载能力。

由于对称()()cr cr AC AD P P =
()
()222
2
2
0:2cos30
36.12cos300.7cos30cr
cr
cr AB
AC y P P P EJ
EJ
EJ l l l ππ==+=
+⨯
=
⎛
⎫⨯ ⎪
⎝
⎭∑
15-10 铰接杆系ABC 如图示，是由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成，若由于杆件在ABC 平面内失稳而引起毁坏。

试确定载荷P 为最大时的θ角。

⎪⎭
⎫
⎝
⎛<<20πθ。

解：当AB,BC 杆的轴力同时达到临界力时，P 最大。

两杆的临界力为：
()()222
2cos sin AB
AC
cr AB cr AC EJ
P P l EJ
P P l πθπθ==
==
设BC 间距为L ，则cos ,sin AB AC l L l L ββ==代入上式
2222
22cos sin sin sin A EJ P L EJ
P L πθβπθβ⎫
=⎪
⎪
⎬⎪
=⎪⎭ 消去P 得 2222
22cos cos sin sin EJ EJ
L L ππβθβθ
= 即：2
tg ctg θβ= ()
2arctg ctg θβ∴=
15-11 某快锻水压机工作台油缸柱塞如图示。

已知油压力p =32 MPa ，柱塞直径d =120mm ，伸入油缸的最大行程l ＝1600mm ，材料为45钢，E ＝210Gpa 。

试求柱塞的工作安全系数。

解：工作压力()()2
6
32100.12361.734
P pA KN π
==⨯⨯⨯=工作
2.0μ= 1.6l m =
()10.12
0.03442 1.6106.7
0.03J i d m A l i μλ=
===⨯∴=== 45钢
96
210108628010p p p
E
λππσλλ⨯===⨯∴>
属细长杆
22
229
226
21010 5.7106.732
10
cr cr cr E
E P P πσλ
σσππησλ∴=⨯⨯=====⨯⨯工作工作
15-12 蒸汽机车的连杆如图所示，截面为工字形，材料为A 3钢，连杆所受最大输向压力为465kN 。

连杆在摆动平面（xy 平面）内发生弯曲时，两端可认为是固定支座，试确定其安全系数。

解：（1）xy 平面内：
()()()33
7421,310011961409614851212
1.7755101409685961464705
2.391310059.2
52.39
z l mm
E i A J mm A mm i mm
l i μμλ===
⎡⎤=⨯--⨯⎣⎦=⨯=⨯-⨯-=∴=⨯∴=== 3A 钢：100,106p s λλ==
xy ∴ 面内属短杆p λλ<
()
662351064701015201520
3.27465
cr s cr xy P A KN P mm P ση-∴==⨯⨯⨯=∴=
==工作
（2）xz 面内：
()33
64
0.5,31001185142140859612124.07410
25.1023100
24725.10
y p
l mm E i A J mm i mm l i
μμλλ===
⎡⎤=⨯⨯+⨯-⨯⎣
⎦=⨯∴=⨯∴=
=
=> 所以属细长杆。

()
2296
22
20010647010
247209209
1465
cr cr xy E P A KN P P ππλη-⨯⨯∴==⨯⨯=∴=
=<工作
所以不安全。

15-13钢结构压杆由两个85656⨯⨯等边铰钢组成，杆长1.5m ，两端铰支，P =150kN ，铰钢为A 3钢，计算临界应力的公式有：（1）欧拉公式。

（2）抛物线公式。

试确定压杆的临界应力及工作安全系数。

解：1, 1.5,150l m P KN μ===工作
查表：56568⨯⨯角钢：
244
min 28.367223.63247.24223.63
1.6828.3671 1.589.3
0.0168
z y z A cm J cm J cm J i cm A l i μλ=⨯=⨯=⨯⨯∴=
==⨯⨯∴===
3A 钢：123e λλ=>
所以采用抛物线公式计算：
22643
2400.006822400.0068289.3185.6185.61028.36710 2.0715010
cr cr a MPa b MPa
a b MPa P P σλη-===
-=-⨯=⨯⨯⨯⨯∴===⨯工作
工作
15-14 图示结构，用A 3钢制成，E ＝200GPa ，P σ＝200MPa ，试问当q ＝20N/mm 和q =40N/mm 时，横梁截面B 的挠度分别为多少？BD 杆长2m ，截面为圆形，直径d =40mm 。

解：首先考虑q 不同时，BD 杆的轴力的变化。

34
3
2
2
52
4838453841
482
,416
BD
BD BD B BD
l N N l ql
l y EJ EJ EA A ql J N l A J J d l m A ∆==
-=-∴=+== （1）20/q N mm =时：33222516201043840.0450*******.042BD N KN ⨯⨯⨯⨯∴==⨯+
（2）40/q N mm =时：3322
2516401043840.0410********.042
BD N KN ⨯⨯⨯⨯
∴==⨯+ 122000.044
p l i
μλλ⨯===>
2292
22
200100.0461.94200cr E N A KN πππλ⨯⨯∴==⨯⨯=
∴ 当20/q N mm =时：BD cr N N <
∴ 349250104 3.98102200100.042
4
BD B N l y m EA π-⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯
当40/q N mm =时：BD cr N N > 所以杆件失稳破坏。

15-15 由两槽钢组成的立柱如图示，两端均为球铰支承，柱长l ＝4m 。

受载荷P ＝800kN ，型钢材料为A 3钢，许用压应力[]σ＝120MPa ，试选选槽钢的型号，并求两槽钢间的距离2b 及连接板间的距离a 。

解：(1)选槽钢
设
()33226
0.90
800107.410740.912010i i p
A m cm
φφσ-=⨯≥==⨯=⨯⨯
选22号槽钢
2
440'36.242571.4;8.42176.4; 2.212.031400
47.5;0.908.42
i z y A cm J cm i cm J cm i cm X cm
l
i
μλφ======⨯=
=
==
故合适
[]3
480010110.4108236.2410P MPa MPa A σφσ-⨯===>=⨯⨯
但 110.4108 2.2%108
-= 仍可用
（2）求2b
应使组合截面的z y J J =
()()2
02
2222571.42176.4 2.0336.24z y J J b X A b ⎡⎤
=+-⎣⎦
⎡⎤
⨯=+-⨯⎣⎦
故10.16b cm =
（3）求a
14001;8.42 2.21140018.42 2.211.05l
l a
i i a
a m
λλμμλλ=⨯⨯=
=
==
⨯⨯==局
整局整
15-16 图示万匹柴油机连杆作为等截面压杆考虑，D ＝260mm ，d ＝80mm ，许用压应力[]σ＝150MPa ，材料为高强度钢，试计算许用压力P 。

解：
()()4
444
222222.2231064
1
4.807104
6.80110I D d m A D d m I i m
A
π
π---=
-=⨯=-=⨯==⨯
此连杆有两种失稳形式： （1） 在xy 平面内：
1, 2.88
42.35p l l i
μμλλ==∴==< 查λϕ-表得0.918ϕ=；故许用压力为
[][]82
60.9925 1.510 4.807107.1610P A N
ϕσ-==⨯⨯⨯⨯=⨯
结论：该连杆的许用压力为3
6.6110KN ⨯
15-17 试用挠曲线近似微分方程式及边界条件推导两端均为固定支座压杆的临界力如图15-7（a ）。

解：根据上下对称知两支座处水平反力为零，其反力偶相等。

因此，在杆的任何一截面x 上的弯矩为：()cr e M x P M ν=- （1）
由挠曲线近似微分力和有：''e cr EI M P νν=- （2） 令2
cr P EI
κ= 得：''22e cr M k k P νν+= （3） 上式的通解为：sin cos e cr M A kx B kx P ν=++ （4） 求导可得：'cos sin Ak kx Bk kx ν=- （5）
由边界条件：'0;0,0x νν=== 得0,e cr M A B P ==-
代入（4）得 ()1cos e cr
M kx P ν=- （6） 再由边界条件：';0,0x L νν===得
1cos 0,sin 0kL kL -== （7）
即要求()20,1,2,
kL n n π== 其最小非零解为 2kL π=
由此得该压杆临界力cr P 的欧拉公式 ()220.5cr EI
P L π=
15-18 一根长为2L ，下端固定，上端自由的等截面压杆，如图（a ），为提高其承压能力，在长度中央增设肩撑如图（b ），使其在横向不能横移。

试求加固后压杆的临界力计算公式，并计算与加固前的临界力的比值。

解：当0x L ≤≤时，()()()cr M x P Q L x δν=--+- （1）
由()''1EI M x ν=-，有 ''2211cr cr Q Q k k x L P P ννδ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭
（1） ()111sin cos cr A kx B kx L x P θ
νδ∴=++-- (3)
'111cos sin cr
A k kx
B k kx P θνδ=-++
( 4) 当2L x L ≤≤时 ()()cr M x P δν=-- (5 )
由()''2EI M x ν=-有 ''2222k k ννδ+= (6 )
222'222sin cos cos sin A kx B kx A k kx B k kx
νδ
ν∴=++=- ( 7) (8 ) 由边界条件'0;0,0x νν=== 得
11,cr
cr
L A B kP P θθδ=-=- ( 9) 由边界条件2;x L νδ==有
22sin 2cos 20A L B L θθ+= ( 10)
由边界条件''1212;,x L νννν===有 1122sin cos sin cos A kL B kL A kL B kL +=+ ( 11)
1122cos sin cos sin cr A k kL B k kL A k kL B k kL P θ
-+=- (12 )
由(11 ) (12 )联立，解得：
22sin 22cos cr cr L B kL kL kP P θ
θδ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ (13) 2cos 2cos cos 2sin cr cr L L L A L kP P kL θθθθθδ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ (14) 将1212,,,A A B B 代入（12），整理可得
sin sin 2cos 2cr P kL L k kL L
δθθθ-⨯=+ （15） 又由边界条件12;0x L νν===得
11sin cos 0A kL B kL δ++= （16）
代入11,A B 得
cos sin cos 1
cr P kL kL kL k kL δθ-⨯=- （17） 由式（15）（17）得
sin sin 2cos sin cos 2cos 1
L L kL kL kL kL L kL θθθ--+=- （18） 整理上式，得稳定方程
()cos223cos sin 0kL L kL kL θ+-= （19） 式中2cr P k EL
= 解放程（19）可得
2.51k L π
= (取最小正k)
故加固后临界力计算公式为
()222.51cr EI
P L π=
加固前临界力()2'
24cr EI
P L π=则
2
24 2.542.51
cr cr P P ==加固后加固前 即加固后临界力为加固前的2.54倍。

15-19 一等截面压杆，下端固定，上端由一弹簧常数为C （N/m ）的弹簧支持，但设失稳时的挠曲线为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=l x f y 2cos 1π 试用能量法确定它的临界力。

提示：当oA 杆挠曲时，A 点下移()dx y l 20
21⎰'=δ，P 力完成功为δP ，而当A 点侧移f 时，弹簧力也将完成功22
1Cf -。

解：由 1cos
2x y f l π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
得 '2''2sin 22cos 42f x y l l f x y l l
ππππ== 应变能：()4
42
2''24302216264l EI EI l EI f U y dx f l l ππ==⨯⨯=⎰ P 外力做功：
()4
42
2'22200sin 224216l l cr cr cr cr l l x f P P y dx P f dx P l l l
πππδ-=-⨯=-⨯⨯=-⎰⎰ 弹簧力做功：212
cf 压杆总势能
212
cr H U P cf λ=-+ 由0H f ∂=∂，得临界力42316264cr l c EI P l ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
15-20 一两端铰支压杆AB ，在其中点C 处受有一轴向力P 。

假设失稳时的挠曲线为
x l f y πsin
= 试按能量法求临界力。

解：sin x
y f l
π=
'2''2cos sin f x y l l f x y l l
ππππ==- 应变能为：()4
42
2''2430
2224l EI EI l EI f U y dx f l l ππ==⨯⨯=⎰ P 外力做功： ()()/2/222''002221122124
l l cr cr cr l P y dx P y dx l P f l π⎛⎫-⨯+-=- ⎪⎝⎭=-⨯⨯⎰⎰ 即22
8p cr f W P l π=- 则压杆总势能为 4222
348cr EIf f H P l l ππ=- 由0H f ∂=∂临界力为 ()
222220.5cr EI EI P l l ππ==
15-21 设压杆轴线的初弯曲可用半波正弦曲线来表示，
即
x l a y π
sin 0=
在压力P 作用下，试证压杆挠曲线的方程式应为 l x a y y y παsin 1110-=+=， 式中 EJ
Pl P P cr 22
πα== 解：设压杆在压力P 作用下其挠度曲线为()y x ，如图示 则()
''''0M EI y y =-
同时M py =- （1）
故可得平衡方程
()''''00EI y y py -+= （2） 令2
h P EI =,上式化为
2
''2sin x y h y a l l ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭
（3） 设（3）式的特解为 sin y c x l π*=，代入（3）式 22
2sin sin sin A x h A x a x l l l l l πππππ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
可导出 22222cr
l P C l h P ππ==- （4） 故可得出（3）式的一般解为 1cos sin sin 1y A kx B kx a x l
πα=++
- 由边界条件()()00,0y y l ==
0,0A B ∴==
故挠度曲线为 ()1sin 1y x a x l πα=-。