解析函数的泰勒展开及洛朗展开

( z 1)
NUDT
§3 泰勒级数
3)逐项积分法与逐项求导法
Example4.
Write the Maclaurin series representation of the function f ( z) ln(1 z).
通过观察发现： 1 z ) ln( dz ( z 1) 0 1 z
n
lim
n
Cn l
Cn1 l n C n lim
1 则幂级数（1）的收敛半径为 R . l
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上次课主要内容回顾
提问:幂级数在收敛圆内的性质是什么?
定理4 设幂级数（1）的收敛半径为 R ( R 0) ，它在圆盘 z z0 R 内的和函数为 f (z ) ，则 （1） f (z ) 在 z z0 R 内解析； （2） f (z ) 在 z z0 R 内可逐项求导数，即
i n z n (i )n z n n! n! 1 i n (1 (1) n ) z n n 0 sin z n 0 2i 2i n 0 n!

1 i 2 m1 2 z 2 m1 (1) m z 2 m1 1,2 2i m0 (2m 1)! m0 (2m 1)! n2m
2)泰勒公式法
Sol. e z
n 0
z
1)代换运算
? Example1. 求函数f ( z) e z在z 0处展开的泰勒级数
f ( z ) e f ( n) ( z0 ) 1 ( z z0 )n z n ( z ) n! z0 0 n 0 n !
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n n 0 n 0


推论 在定理4条件下，有
f ( n ) ( z0 ) n!Cn
f ( n ) ( z0 ) 或 Cn n! (n 0,1,2,)
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§3 泰勒级数
思考下列问题:
(1)函数满足怎样的条件才能展开为幂级数? (2)如果函数能够展开为幂级数, 那么它的系数应如何确定? (3)函数的幂级数展开式是否唯一? (4)如何确定展开式的收敛半径?
obtain this result.
Let f ( z ) an ( z z0 ) , f ( z ) bn ( z z0 ) n ;
n n 0 n 0
we know from corollary that f ( n ) ( z0 ) an bn (n 0,1, 2,L ) n!
2! n!
利用MATHEMATICA求幂级数展开
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§3 泰勒级数
总结函数在某一点展开的方法: 泰勒公式法 (1)利用幂级数的运算性质 (2)利用逐项求导逐项积分的性质 间接展开法 (3)利用代换运算 (4)利用以知的结论即基本函数的展开式 Exercise1.
Find theTaylor series for the function f ( z) e z aboutz0 1.
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§3 泰勒级数
设函数 f (z ) 在圆盘U : z z0 R 内解析，则
f ( n ) ( z0 ) f ( z) ( z z0 ) n , z U . n! n 0

定理（Taylor)
U
r
证明过程:
1 f ( ) 取r R, 对Cr内任意一点z都有f ( z ) Ñr z d 2 i C n z z0 ( z z0 ) n 1 1 1 1 1 z z0 1 z z0 z0 z0 ( z0 ) n1 z0 z z0 ( z z0 ) z 0 1 n 0 n 0 z0 n N 1 ( z z0 ) ( z z0 ) n 1 1 f ( z) f ( )d f ( )d Cr 2 i 蜒n 0 ( z0 ) n 1 2 i Cr n N ( z0 ) n 1
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§3 泰勒级数
提问:当已知函数在某个区域内解析若要将函数 展开成 z z0 幂级数,则如何确定收敛半径R值?

情况一:找 z0 到区域边界最短距离 d R. 情况二:找 z0 与函数离 z0 最近的一个奇点 之间的距离 z0 .
z0
d
.
D
. . . . .
R

z0
推论 函数 f (z ) 在 z0 处解析的充要条件是 f (z ) 可在 z0 的某 邻域内展开成幂级数. Note.实际上该推论是从级数的角度深刻地反映出解析函数的本质.
z
1 1 利用代换运算： (1)n z n (只要 z 1) 1 z 1 ( z ) n 0
z dz (1) n n1 ln(1 z ) (1) n z n dz z ( z 1) 0 1 z 0 n 0 n 0 n 1 z
Cr
.z
z
R
0
.
1 f ( ) n Ñr ( z0 )n1 d ( z z0 ) RN ( z) C n 0 2 i
N 1
(
n 0


1 f ( ) d )( z z0 )n C 2 i Ñr ( z0 )n1
1 而 lim RN ( z ) 0( RN ( z ) N 2

当n 2m时, 有(sin z ) ( 2 m ) (1) m sin z, 而z 0时, sin z 0; 当n 2m 1时, 有(sin z ) ( 2 m1) (1) m cos z, 而z 0, cos z 1.
(cos z )(zn )0 n 观察函数 cos z z n! 求导规律 n 0

(1)m 2m 0 (2m)! z ( z ) m

当n 2m时, 有(cos z )(2 m) (1) m cos z, 而z 0时,cos z 1; 当n 2m 1时, 有(cos z )(2 m1) (1) m sin z, 而z 0,sin z 0.
C0 f (0) 1, f (0) 1 C1 e ln(1 z ) e ( 1) ln(1 z ) , z 0 1! 1 z z 0 f (0) 1 1 C2 ( 1)e ( 2) ln(1 z ) ( 1) z 0 2! 2! 2! f ( n ) (0) 1 Cn ( 1) ( n 1). n! n! ( 1) 2 L ( n 1) n (1 z ) 1 z z L z L 2! n!
f ( n ) (1) e (1)Cn n! n!
(2)e e e
z z 1
( z 1) n e n! n 0

( z 1 )
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§3 泰勒级数
4)其它方法
Example2.
求两个函数f ( z) sin z, g ( z) cos z在z 0处展开的泰勒级数? eiz e iz eiz e iz 由定义： z sin , cos z 2i 2 n (iz ) iz (iz ) n 再根据代换运算： iz e ,e n! n 0 n! n 0
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几个例题
Find the Maclaurin series expansion of the function f ( z) (1 z) ? Note. 我们考虑的对象是单值函数所以应取幂函数的主值分支.
Example3.
f ( z) (1 z) e ln(1 z )
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第四章 级数
§1
复数项级数
§2
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幂级数
—幂级数的收敛域
—幂级数的运算性质
§3 §4 泰勒(Taylor)级数 洛朗(Laurent)级数
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上次课主要内容回顾
C (z z )
n 0 n 0 n
C0 C1 ( z z0 ) L Cn ( z z0 ) n L
f ( z ) [ Cn ( z z0 ) ] nCn ( z z0 ) n1
n
（3） f (z ) 在 z z0 R内可逐项积分，即
n 0
n 1
C
f ( z ) d z C Cn ( z z0 ) d z Cn C ( z z0 ) n d z.
we can use Taylor’s theorem and property of the power series to obtain this corollary.
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§3 泰勒级数
基本结论:函数在某一点的泰勒展开式是唯一的. Note. We can use Taylor’s theorem and corollary to
(1)
——关于( z z0 ) 的幂级数，其中 z0 , Cn (n 0,1,2,) 为常数.
定理1（ Abel第一定理）若幂级数（1）在 z1 ( z0 ) 处收 敛，则它在圆 z z0 z1 z0 内每一点处绝对收敛. 推论 若幂级数（1）在 z2 处发散，则它在 z z0 z2 z0 内每一点处发散. 定理3 对幂级数（1），若下述极限之一成立，
几个例题
Example2.
求两个函数f ( z) sin z, g ( z) cos z在z 0处展开的泰勒级数?
(sin z )(zn )0 n 观察函数 Sol. sin z z n! 求导规律 n 0

(1)m 2m1 0 (2m 1)! z ( z ) m
n 2 m ,0
同理可得余弦函数在原点的泰勒级数.
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§3 泰勒级数
基本初等函数在原点处的泰勒级数: 1 1 z z 2 z n ( z 1) * 1 z z2 zn z * e 1 z L L ( z ) 2! n!
z3 z5 z 2m1 m1 sin z z L (1) L ( z ) 3! 5! (2m 1)! z2 z4 z 2m cos z 1 L (1)m L ( z ) 2! 4! (2m)! z 2 z3 zn ln(1 z ) z L (1)n1 L ( z 1) 2 3 n ( 1) 2 ( 1) L ( n 1) n (1 z ) 1 z z L z L ( z 1)
f ( ) z z0 1 ds Cr n z0 z0 2 N
n
M n qN n r q 2r n Mq M 1 q ) n N N
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人物简介
18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的 英国数学家泰勒（Brook Taylor）,于1685年8月18日 在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。 1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。1712年当 选为英国皇家学会会员，并于两年后获法学博士学位。 同年(即1714年)出任英国皇家学会秘书，四年后因健 康理由辞退职务。他是有限差分理论的奠基人。 1717 年，他以泰勒定理求解了数值方程,他提出的泰勒定理 使任意单变量函数可展为幂级数。最后在1731年12月 29日于伦敦逝世。 泰勒定理