线性系统的能控性与能观性分析分解

x = xc + xc
xc 是状态在能控子空间Xc上的投影向量，为状态的能控分量； xc 是状态在正交补空间Xc 上的投影向量，为状态的不能控分量；
这二个向量正交，它们的内积为零，即：
xc , xc xcT xc 0
2．能控性基本判据：
x(t f ) (t f ,t0)xc
tf t0
(t
R
R
C
x2
x1
2 3RC
x1
x2
u
x2
2 3RC
x2
x1
u
x1和 x2完全对称， 必有解：
x1(t) x2 (t)
当初始状态 x1(t0 ) x2 (t0 )时， u 使系统的状态运动到任意的 x1(t) x2 (t) 的目标状态，但不可能运动到 x1(t) x2 (t) 的目标状态；可见，特定 条件下的状态量是可以受控制量支配的。
f
, t ) B(t )u(t )dt
0
xc
tf t0
(t0,t)B(t)u(t)dt
xcT xc
tf t0
xcT (t0,t)B(t)u(t)dt
0
xcT (t0 , t)B(t) 0 xcT 各元素全为0， (t0,t)B(t)的行向量组线性无关
能控性基本判据： 系统在 t0 时刻状态完全能控的充要条件是n p 维 时间函数矩阵 (t0,t)B(t) 的n个行向量线性无关，其中 t0 t t f 。
时刻能控。
（1）将 x(t0) 0 u(t)任意x(t f ) xf ，称为 x f 在 t0 能达；
（2）可以证明，线性连续系统的能控性与能达性是等价的；
（3）如上，线性时变连续系统强调了“t0 时刻”的能控性，若与 初始时刻 t0 无关，则称一致能控。定常系统的能控性与初始时刻 无关，所以不必强调时间，称状态能控或系统能控 。
x1 5x1
x2
2x2
y x1
y就是 x1，所以能够通过 y 来观测 x1 ；
x2 与 y没有任何联系（直接的或间接的）， 不能通过 y来观测 x2 。
x1 x2
5x1 2 x2
x2
y x1
x2 通过能观测的 x1与 y 建立了间接联系 ，
有可能能观测
示例3：
u(t)
R
C
x1
可以证明，时间函数矩阵 (t0,t)B(t)的n个行向量线性无关与下面矩阵 非奇异完全等价：
Gc (t0,t f )
tf t0
(t0
,
t
)
B(t
)
BT
(t
)
T
(t0
,
t
)dt
矩阵Gc (t0,t f ) 称为能控性格拉姆（Gram）矩阵，有能控性基本判据的 另一种表达形式。
能控性格拉姆矩阵判据：系统在 t0 时刻状态完全能控的充要条件是 能控性格拉姆矩阵Gc (t0,t f ) 非奇异，其中 t0 t t f 。
第四章 线性系统的能控性与能观性分析
状态量的引入以及它在系统中的重要地位，有两个问题引起关心： （1）系统能否在合适的控制量作用下从任意的初始状态运动到希望 的终止状态。系统的能控性，控制量对系统状态的支配能力。 （2）根据输出量的测量值能否确定出系统的状态值。系统的能观性， 输出量对系统状态的测辨能力。
示例4：
RL
x1
L x2
u(t)
R
R0 y(t)
x1
R Ro L
x1
Ro L
x2
1u L
x2
R Ro L
x2
Ro L
x1
y Ro x1 Ro x2
u(t) 0 时，x1和 x2 也是完全对称的，在初始状态 x1(t0 ) x2 (t0 ) 的特 定条件下，总有 y(t) 0 。这时，虽然Βιβλιοθήκη Baidu个状态变量都与输出量有 联系，但这种联系通过所存在的二条通道相互抵消，从而不能通过 输出量来观测状态量。
Qc [B AB A2B
An1B] 称为线性定常连续系统的能控性矩阵。
代数判据或秩判据：线性定常连续系统状态完全能控的充要条件 是系统的能控性矩阵的秩为n，即
间 [t0 , t f ] 内在u(t) 的作用下运动到终止状态x(t f ) 0 ，则称该状态x0
在 t0 时刻是能控的，记作 xc 。
任意x0
0
u(t )
x(t f
)
0
2．系统能控：
对于上面系统，如果状态空间中所有初始状态 x0 0 在 t0 时刻都 是能控的，则称系统在 t0 时刻是状态完全能控的，简称系统在 t0
根据能控性格拉姆矩阵判据，可以求得使一个能控状态xc 在时间区 间 [t0 , t f ]内运动到 x(t f ) 0 的控制量：
u(t) BT (t)T (t0,t)Gc1(t0,t f )xc
三、定常系统能控性判据
x = Ax + Bu
上面判据都适用，不再强调“某一时刻”。
1．代数判据：
xcT (t0 , t)B(t) 0 定常系统
凯莱－哈密
xcT e At B 0 顿定理
xcT [0 (t)B + 1(t) AB + n1(t) An1B] 0
xcT [B AB A2B
0 (t)I p
1 (t ) I
p
An1B]
2
(t
)
I
p
0
n1(t)I p
xcT [B AB A2B
An1B] 0 xcT Qc
xcT 各元素全为0，Qc 的行向量组线性无关或秩为n
上面的直观示例对能控性、能观性的说明不严密，需要作出较 严格的定义，推导出可用的判据。
§2 连续系统能控性及其判据
一、能控性定义
x = A(t)x + B(t)u 线性时变连续系统
1．状态能控：
对于上面系统的指定初始时刻t0 的非零初始状态 x(t0 ) x0 ，如 果能找到一个无约束的容许控制 u(t) ，使系统状态在有限的时间区
二、能控性基本判据
1．能控子空间：
我们着重关心的是能控状态 xc 在状态空间的分布情况。
把状态空间中全体能控状态的集合称为能控子空间 Xc ，它是系统 状态空间 X 的一个线性子空间。
还存在能控子空间 Xc的正交补空间 Xc ，它也是系统状态空间 X 的 线性子空间，有
X = Xc Xc
直和
状态空间内的任一向量x都可以表示为在上述两个子空间的投影 向量之和，即：
§1. 系统能控性和能观性的直观示例
示例1：考虑线性系统
x1 x2
x1 2x2
u
u 与 x2有直接联系，可能能支配x2 的运动； u与 x1没有联系，不可能支配 x1的运动；
x1 x2
x1 2x2
x2 u
x1 通过x2与 u 建立起了间接联系，也有可 能能受 u 支配。
示例2：考虑线性系统