椭圆、双曲线焦点弦和顶点弦垂直的充要条件

椭圆、双曲线焦点弦和顶点弦垂直的充要条件摘要：本文主要是对椭圆、双曲线焦点弦和顶点弦垂直的条件进行研究，利用向量法证明两直线垂直的充要条件，并且通过例题说明该结论有广泛应用。

关键词：圆锥曲线焦半径焦点弦顶点弦充要条件

圆锥曲线方程一直是高考的热点内容，而且考题难度高，也是同学学习过程中觉得比较难的一个内容之一。因为课本所介绍的方法少，内容少，而考题却五花八门，有些题目如果用课本所介绍的常规方法也可能解得出，但是相当复杂，因此，当学到这章内容时，作为老师都是通过自己在解题过程中所总结出一些规律和结论让

同学们记住，在以后解题时灵活运用，简化题目，化难为易。作为学生，要大量练习之后善于总结、归纳，发现规律，要看通、看透题目所隐含的条件。本人近段时间复习这一章内容时，总结出本文所要介绍的一些结论。

1、有关概念

椭圆（双曲线）上的点与焦点的距离称为焦点弦，过椭圆（双曲线）焦点的直线与椭圆（双曲线）相交于两点，这两点间的线段称为焦点弦。焦半径和焦点弦在解题中有着重要的作用，在实践过程中总结出椭圆焦半径公式：,。焦点弦公式已通过证明其成立，今后在解题过程中可直接运用。椭圆（双曲线）上的点与顶点连成的线段叫顶点弦。

在解有关圆锥曲线问题时，我们发现焦点弦与顶点弦有

一种特殊的关系，当它们互相垂直时，便可以产生许多联想，从而解决很多数学问题。然而焦点弦与顶点弦在什么条件下

互相垂直呢？本文先证明它们互相垂直的充要条件，然后把

这个结论作为定理，去解决圆锥曲线的其它问题。

2、圆锥曲线焦点弦与顶点弦垂直的充要条件

圆锥曲线与直线的位置关系多种多样，我们在做题时经常碰到一些特殊的位置关系。比如，焦点弦与顶点弦所在直线垂直。碰到有关这方面题目后，本人通过证明，验证得出这种位置关系的充要条件。

2.1椭圆焦点弦与顶点弦垂直的充要条件

定理1 f是椭圆的焦点，p是椭圆上一点，a是椭圆长轴端点，且a与f位于y轴的两侧，直线pa的倾斜角为，椭圆的离心率为e，则的充要条件是sinθ=.

证明：不妨设a是椭圆的左端点,f是右焦点（,0），则直线pa 的方程

由对称性，当a是椭圆的右端点，f是左焦点时同样可以证得该定理成立。

2.2 双曲线焦点弦与顶点弦垂直的充要条件

定理2 f是双曲线(>0，b>0)的焦点，p是双曲线上一点，a是双曲线实轴端点，且a与f位于 y轴的两侧，直线pa的倾斜角为，

双曲线的离心率为e,则的充要条件是。

通过以上证明，椭圆和双曲线焦点弦和顶点弦垂直的充要条件，与顶点弦所在直线的倾斜角和它们的离心率e有关，今后在解题过程中，如果题目中的条件符合以上两个定理之一的，我们都可以直接运用，能使解题过程简化。

3 定理1、定理2具有广泛的应用

为了说明这两个定理具有广泛的应用，我们看下面几个例子。

例1：f是椭圆的左焦点，a是椭圆右端点，问椭圆的离心率e 在什么范围内时，椭圆上恒存在一点p，使得

分析：根据题目中所给的条件，由定理1可得。

解：设直线pa的倾斜角为，则由题设和定理1得，sin =,由倾斜角的范围和三角函数的有界性得，0e=2 由e = 得 (1)

点a的坐标为,设直线pa的方程为：

即

右焦点到直线pa的距离为：==3 所以 (2)

联立（1）（2）解得， ,由得 b==

故所求双曲线方程为-=1

以上两个例题运用了定理1或定理2的结论解题，实践证明，这两个定理具有广泛应用，并且在解题过程中具有化难为易的功能。在历年的高考中也出现类似以上两个例题的题目，我们同样可以运用这两个定理来解决。下面这个例题就是2005年全国高考上

海卷上的一个题目。

例3：a、b是椭圆+=1的左右端点，f是右焦点p在椭圆上，并且位于x轴上方，pa┴pf。1）求点p坐标；2）设m是椭圆长轴ab 上的一点，m到直线ap的距离等于|mb|，求椭圆上的点到m的距离d的最小值。

分析：题目中所给的条件符合了定理1的条件，因此可以利用定理1的结论解题。

解：由椭圆方程可知：, , , 设直线pa的倾斜角为，则由题意和定理1得：

sin===

=>=或，因为点p位于轴上方，

所以=，在直角三角形paf中，由椭圆焦点弦公式得：

，

代入椭圆方程解得故所求的点为

2）由1）的解知道直线pa的方程为即

设点m的坐标为，则m到直线pa的距离

由题设知：

椭圆上的点到点m（2,0）的距离为：

即

由椭圆方程得，代入上式得

由椭圆的范围得，所以当时，

近年来高中生压力越来越大，复习时间紧迫，并且对所有科目一视同仁。学生复习时一定要善于总结规律，而且要会运用，这样复习效果就好一些。

参考文献：

(1) 薛金星中学教材全解高二（上）[m] .陕西人民教育出版社.2005年6月

(2) 黄冈市教学创新课题组黄冈高考兵法[m].陕西师范大学出版社.2004年6月

(3) 人民教育出版社中学数学室全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）[m] .人民教育出版社.2004年6月