2018年高考数学二轮复习 第一部分 专题一 第四讲 不等式教案.doc

2018年高考数学二轮复习 第一部分 专题一 第四讲 不等式教案

1．选择、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式性质为主，重点求目标函数的最值，有时也与其他知识交汇考查；2.基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，很少考查；3.不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数交汇考查.

[真题自检]

1．(2017·高考全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋3y ≤3，x －y ≥1，

y ≥0，

则z ＝x ＋y 的最大值为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线y ＝－x ，当直线经过点A (3,0)时，z ＝x ＋y 取得最大值，此时z max ＝3＋0＝3.故选D.

答案：D

2．(2017·高考全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，

y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是

( ) A ．－15 B ．－9 C ．1

D ．9

解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝0(图略)，平移直线y ＝－2x ，当直线经过点(－6，－3)时，z ＝2x ＋y 取得最小值，z min ＝2×(－6)＋(－3)＝－15，选A. 答案：A

3．(2017·高考全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

3x ＋2y －6≤0，x ≥0，

y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是

( ) A ．[－3,0] B ．[－3,2] C ．[0,2]

D ．[0,3]

解析：不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

3x ＋2y －6≤0，x ≥0，

y ≥0

表示的平面区域如图中阴影部分所示，

作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]，故选B. 答案：B

4．(2016·高考全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，

x －3≤0，

则z ＝x －2y 的最小值为

________．

解析：不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，

x －3≤0

表示的可行域如图阴影部分所示．

由z ＝x －2y 得y ＝12x －1

2

z .

平移直线y ＝1

2x ，易知经过点A (3,4)时 ，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.

答案：－5

不等式性质及解法

[方法结论]

1．一元二次不等式ax 2

＋bx ＋c >0(或<0)(a ≠0，Δ＝b 2

－4ac >0)，如果a 与ax 2

＋bx ＋c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2

＋bx ＋c 异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．

2．解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．

3．解含参数不等式要正确分类讨论．

[题组突破]

1．(2017·临沂模拟)若1a <1

b

<0，则下列结论不正确的是( )

A ．a 2

B ．ab

C ．a ＋b <0

D ．|a |＋|b |>|a ＋b |

解析：依题意得b

2．(2017·湛江调研)已知函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为

⎩

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

x <12或x >3，

则f (e x

)>0(e 是自然对数的底数)的解集是( ) A ．{x |x <－ln 2或x >ln 3} B ．{x |ln 2

D ．{x |－ln 2

解析：通解：依题意可得f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x

)＝a ⎝

⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0)，

由f (e x

)＝a ⎝

⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)>0可得12

优解：由题知，f (x )>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪

12

，令1

2

答案：D

3．(2017·青岛模拟)若关于x 的不等式4x

－2x ＋1

－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围

为________． 解析：∵4x

－2x ＋1

－a ≥0在[1,2]上恒成立，∴4x －2

x ＋1

≥a 在[1,2]上恒成立，

令y ＝4x

－2

x ＋1＝(2x )2

－2×2x

＋1－1＝(2x

－1)2

－1，∵1≤x ≤2，∴2≤2x

≤4，

由二次函数的性质可知，当2x

＝2，即x ＝1时，y 有最小值0.∴a 的取值范围为(－∞，0]． 答案：(－∞，0] [误区警示]

1．二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况．

2．解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号．

基本不等式

[方法结论]

基本不等式的常用变形

(1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)a 2

＋b 2

≥2ab ，ab ≤⎝

⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时，等号成立．

(3)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且均不为零)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．

(4)a ＋1a

≥2(a >0)，当且仅当a ＝1时，等号成立；a ＋1

a

≤－2(a <0)，当且仅当a ＝－1时，等号

成立．

[题组突破]

1．(2017·合肥第二次质量检测)若a ，b 都是正数，则⎝

⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝

⎛⎭

⎪⎫1＋4a b 的最小值为( )

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

解析：因为a ，b 都是正数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋4a b

＝5＋b a ＋4a b

≥5＋2

b a ·4a

b

＝9，当且仅当b ＝2a 时取等号，选项C 正确． 答案：C

2．(2017·郑州第二次质量检测)已知正数x ，y 满足x 2

＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________．