齐次化原理

补充阅读材料之三

齐次化原理的物理背景

以非齐次热传导方程为例，求解

（1）

2(,),0,0,(0,)0,(,)0,0,(,0)0,0.t xx u a u f x t x L t u t u L t t u x x L ⎧=+<<>⎪==>⎨⎪=≤≤⎩

注：边界条件为齐次，初始值为。

0. 由方程推导知 (,)(,)F x t f x t c ρ

=，其中c 为比热（单位质量升高单位温度所需热量），ρ为长杆的（线）密度，为热源强度（单位时间单位体积（长度）产生的热量 (,)F x t

1. 瞬时热源产生的效应：

1) 研究0时刻的热源引起的热效应：考虑短时段[,0]s Δs ,−Δ为无穷小量, 此时段上

的热源强度. 在(,0)F x ≈s −Δ时刻将热源打开，然后在时刻将之关闭，则热源在0x 点附近产生的热量(,0)F x s x ≈ΔΔ (x Δ为无穷小量)，所产生的温度分布(,F x 0)(,0)s x f x s c x

ρΔΔ≈=Δ0≥Δ. 则t 时（热源关闭）的温度分布（即0时刻的热源引起的热效应），设为(,)v x t s Δ，满足齐次热传导方程

20()(),0,(0,)(,)0,,

(,)(,0),0.t xx t v s a v s x L t s v t s v L t s t s v x t s f x s x L =⎧Δ=Δ<<>⎪Δ=Δ=>⎨⎪Δ=Δ≤≤⎩

, 约掉因子s Δ得到

20,0,,(0,)(,)0,,

(,)(,0),0.t xx t v a v x L t s v t v L t t s v x t f x x L =⎧=<<>⎪==>⎨⎪=≤≤⎩

2) 同样方法研究 （固定）时刻的热源引起的热效应：考虑短时段[,,

.在0s ≥]s s s −Δ(,)F x s ≈s s −Δ时刻将热源打开，然后在时刻将之关闭，则热源在s x 点附近

产生的热量，所产生的温度分布(,)F x s s x ≈ΔΔ(,)(,)F x s s x f x s s c x

ρΔΔ≈=ΔΔ.则时（热源关闭）仅由时刻热源引起的热效应产生的温度分布，设为，满足齐次热传导方程

t s ≥s (,;)v x t s s Δ2()(),0,(0,)(,)0,,

(,)(,),0.t xx t s v s a v s x L t s v t s v L t s t s v x t s f x s s x L =⎧Δ=Δ<<>⎪Δ=Δ=>⎨⎪Δ=Δ≤≤⎩

, 约掉因子s Δ得到

2,0,,(0,)(,)0,,(,)(,),0.t xx t s v a v x L t s v t v L t t s v x t f x s x L =⎧=<<>⎪==>⎨⎪=≤≤⎩

（2）

注意：中的不是变量，而是固定的参数.

(,;)v x t s s

2. 热源引起的总热效应：

物理上，方程（1）描述的长杆时刻的温度分布只由t 时刻之前的热源引起，我们可以

将之看成所有瞬时热源效应引起的温度分布v x t (,;)t s s Δ （0s t ≤≤）的“叠加”

，也就是

(,)(,;)t u x t v x t s ds =∫ （3） 是方程（1）的形式解，其中是方程（2）的形式解（(,;)v x t s s 为连续参数，所以“叠加”为积分）. 由于方程（2）的初始条件从t s =开始，不是所熟悉的情形，应用中我们常常将时间变量作简单平移. 对固定的s ，令(,;)(,;)v x t s v x t s s =+，容易验证(,;)v x t s 满足方程

20,0,0,(0,;),;)0,0,(,;)(,),0.t xx t v a v x L t v t s v L t s t v x t s f x s x L =⎧=<<>⎪==>⎨⎪=≤≤⎩

（4）

而且

（5） 注：方程（4）可以通过标准的分离变量法来求解，求解的过程中要注意s 不是变量，而是固定的参数.