输出反馈镇定问题

2.2输出反馈镇定问题

建立动态时不变输出反馈系统：

1=τ

F Bu Ax x

+=

ςς'')(A y x C C F F F --= ξξ'A -=

其中 ()()n n n M R R R x ⨯⨯⨯∈τξςτ,0,,,，

0=+τ

ςτM A F J J J J e L y x C L Fu Ex x '

-

)(+-++=+

0=+

ς

x K e

F A M

τξ'=+

其中 ()()n n n M R R R x ⨯⨯⨯∈τξςτ,,,，输出为：

ξ'B u F = x

K u J J =

初始条件为

()000=，τ,()00,0x x =,n

R x ∈0，

()00,0ςς=,n R ∈0ς,()00,0ξξ= , n R ∈0ξ

2,2.1 问题1

我们给出有输出()2的系统()1，然后寻找是否具有状态()K n R k t ∈,η的线性动态时不变输出反馈。我们设系统为

1=τ

()a 1 F K K y B A +=ηη

()b 1 其中()[]n M R ⨯∈τητ,0,

0=+τ ()c 1

J K K y F E +=+ηη ()d 1 其中()[]n M R ⨯∈τητ,

输出：

ημF K F C ,= ()e 1

ημJ K C J

,= ()f 1

并且初始条件为()00,0=τ，()00,0ηη= ，k 0n R ∈η 这样，让=∑

M M

A

e E τ∑

∑

成为闭环单色矩阵，

(I) g C M

⊂∑

∧ ;

(II)(){}σ<∈⊂∑∧s C s M

:，10<<σ ; (III) (){}0=∑

∧M ;

请注意，如果能够找到问题1.I 的解，则动态时不变输出反馈使得闭环系统是渐近稳定的。另一方面，如果能够找到问题1.II 的解，那么，让[]','ηχx =，存在一个常数0,>∈c R c ，使得对于闭环动态系统的任何初始条件()0,0χ，

()()0,0,χσχk c k t ≤最后，如果能够找到问题1.III 的解，那么控制器使得闭环

系统的状态被趋于0。

第三章 实例分析

这章中我的主要贡献是运用已知的理论知识，整理出来算法，结合具体的实例条件去解决问题。在此，我们将给出一个实例来验证本文中提出的结果的有效性。这里我们使用 matlab 工具进行仿真实现。假设有半径为r 的圆盘， 总质量m 和惯性i ，在两个平行壁面之间的水平平面上运动，与运动平面正交，质量无限大。设r l 2+0>l ，是两堵墙之间的距离。设()c c y x ,为圆盘质心的坐标，α表示圆盘的角位置(如下图)。

假设所有撞击都是弹性的，并在预碰撞条件下发生，使圆盘与墙接触的无穷小间隔包含在第一个滑动区间内。 接着是第二次滚动，即

()()

()121,1,-≤-+-k t x u k t r k t y

k c k k c ， ςα l m r 2=ς’μ是描述无穷小滑动的动力摩擦系数，另外假设()00=c x ，

0)0()(>==v x t x

c c ，系统的混杂状态空间描述为[]ααχ c c y

y =，输入[]'21μμμ=。

μχχ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡I +⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000010000

00

100000000010M

()

χςς

ςςχ⎥

⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡----=-----+

11111

010*********

01

r r 和()[]00,,,0,0ααχ c c y

y =，假设系统的唯一可测输出是预冲击垂直和角位置()1,-k t y k c 和()

1,-k t k α， 0>∈Z k 。

0=F C ⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡=01000001J C

由此知道系统是强可达和可控的，但不可测。由于定理2中所述的分离原理，矩

阵F K ,J K ,和F L ,J L 使得g C ∈Y Ξ 可以分离计算。即我们假设设E e A M A τ=~

和][~

,B A A FR e B M τ=。为了计算矩阵F K 和J K ，使得集Ξ是g C 的子集,这是可求的。方法是求解以下方程(通常称为代数Riccati 方程)：

(

)

A P

B B P B I B P A A P A I P ~

'~~'~~'~~'~1-+-+=

通过考虑具有数据的离散线性系统(

)

g C K B A ⊂+∧~

~~是可稳定和可测的矩阵，且我

们知道:

()A P B PB B I K ~'~'~~1-+-=,所以 ()

g C K B A ⊂+∧~~~ 。

因此，设[]

K K K F J ~'

''=，则集Ξ是g C 的子集。利用上面定理所述的对偶性原理，可以计算F L 和J L ，使集Y 是g C 的

子集。因此，时不变动态输出反馈使得闭环系统的特征值是在g C 中，闭环系统是渐近稳定的。