原子物理第二章复习

根据角动量量子化条件
h mvr n 2
电子在第一波尔轨道的速度为
h vH 1 2 mrH 1
电子的质量为
m 9.10956 1031 kg
h vH 1 2 mrH 1
6.6262 1034 vH 1 m/s 31 11 2 3.14159 9.10956 10 5.2916 10
新的规律——量子化
氢原子光谱的经验公式： 两边同乘 hc ：
RH RH v 2 2 m n
物 理 含 义
hcRH hcRH hcv (h ) 2 2 m n
左边：为每次发射光子的能量；
右边：也必为能量，应该是原子在辐射 前后的能量之差
h E2 E1
原子的能量仍采用负值， 则原子能量的一般表示：
(1)由公式
4 0 h 2 n2 n2 r 2 2 a1 4 me Z Z
n 1, 2,...
4π 0 h 2 a1 0.52916埃 2 me e
对于氢Z=1,所以氢的第一(n=1)波尔轨道半径
12 rH 1 a1 a1 5.2916 1011 m 1
16 RBe
1 1 2 n2 2 n1
1
里德伯常数的变化
2Z 2 me4 M M 1 R R R 2 3 m (40 ) h c M m M m 1 M
RH 1.0967758米 R 1.0973731米
1 1
RHe 1.0972227米
1 1 v RH 2 2 n 3, 4, 5, 2 n
从n=∞跃迁到n=2放出的能量
1 E41 hcR ( 2 ) 5.4506 1019 J 2
类氢离子及其光谱
类氢离子光谱的具体例子
类氢 离子
原子核外只有一个 电子的离子，但 原子核带有Z >1的正电荷，Z不同 代表不同的类氢体系。
2 4
2 2me4 7 1 R 1 . 0973731 10 m 2 3 (40 ) h c
（理论值） （实验值）
RH 1.0967758 10 m
7
1
1 Ze 2 E 4 π 0 2 r 2 me e Z 2 2 2 (4 0 ) n h
2 4 2
2 2 me4 R 2 3 (4 0 ) h c
hc 21 1.2157 107 m E21
从n=3跃迁到n=1放出的能量
1 1 E31 hcR( 2 2 ) 1.9380 1018 J 1 3
从n=3跃迁到n=1的谱线的波长
hc 31 1.0257 107 m E31
从n=4跃迁到n=1放出的能量
(1) 式和 (2)式表示平衡时各状态的原子数分布.
能级愈高, 原子愈少. 在基态上的原子最多.
原子的自发辐射
原子被激发到高能级后, 除上面所说通过碰撞可以放出能 量外, 还有可能自发地从高能级跃迁到较低能级, 把多余的 能量以辐射的形式放出. 可是对被激发的每一个原子, 我们 不能预知它在什么时刻跃迁. 我们只能求得跃迁的几率. 设 有一个状态2 和一个能量较低的状态1 . 那么在dt 时间内, 从状态2 跃迁到状态1 的原子数dN2 1 必然与当时在状态2 的原子数N2 成正比, 与时间dt 成正比, 所以
hcR E 2 n
角动量量子化假设
玻尔认为：符合经典力学的一切可能轨道中，只有 那些角动量与 2 的乘积为 h 的整数倍的轨道才 能实际存在。
2 r.mv 2 .mvr nh
h L mvr n 2
n 1, 2,3....
n 1, 2,3....
关于氢原子的主要结果
氢和氦离子从第一激发态跃迁到基态发出光 子的波长分别为
hc H 1.2150 107 m EH 1 hc He 3.3075 108 m EHe 1
原子的激发与辐射
我们所说一个原子的各个状态和相应的各个能级是指这原 子可能有的状态和相应的一定能量. 在某一时刻, 一个原子
第二章 原子的能级和辐射
氢原子的光谱和原子光谱的一般情况
氢原子光谱的线系 巴尔末系 从氢气放电管可以获得氢原子光谱. 人们早就发现氢原子谱 在可见区和近紫外区有好多条谱线, 构成一个很有规律的系 统.谱线的间隔和强度都向着短波方向递减.其中有四条的波 长开列如下:
1890年 Rydberg用波数改写:
（红外三个线系） 帕邢系： 布喇开系：
1 1 v RH 2 2 n 4,5,6 3 n
1 1 v RH 2 2 n 4 1 1 v RH 2 2 n 5 n 5,6,7
普丰特系：
n 6,7,8
线系的一般表示：
跃迁产生95nm波长对应的上下能级差
6.6262 1034 3 108 18 E1 J 2 . 0925 10 J 8 1 9.5 10 hc
跃迁产生125nm波长对应的上下能级差
6.6262 1034 3 108 18 E2 J 1 . 5903 10 J 7 1 1.25 10 hc
12 1 rHe 1 a1 a1 2.6458 1011 m 2 2 rHe 2 22 a1 2a1 1.0583 1010 m 2
氦离子在第一波尔轨道和第二波尔轨道的速 度分别为
h vHe 1 4.3755 106 m / s 2 mrHe 1 vHe 2 2h 2.1878 106 m / s 2 mrHe 2
vH 1 2.1878 106 m / s
同理氢的第二(n=2)波尔轨道半径
rH 2 22 a1 4a1 2.1166 1010 m 1
电子在第二波尔轨道的速度为
vH 2 2h 2 mrH 2
vH 2 1.0939 106 m / s
对于He+, Z=2,所以氦离子的第一(n=1)波尔 轨道半径和第二(n=2)波尔轨道半径分别为
(2) 氢和氦离子的电离能分别为
EH hcR 2.1814 1018 J
EHe Z 2 hcR 4 2.1802 1018 J 8.7256 1018 J
(3) 氢和氦离子由基态激发到第一激发态的能 量分别为
1 1 EH 1 hcR( 2 2 ) 1.63611018 J 1 2 1 1 EHe 1 Z 2 hcR( 2 2 ) 4 1.63611018 J 6.5444 1018 J 1 2
1 1 18 E41 hcR( 2 2 ) 2.0440 10 J 1 4
从n=4跃迁到n=1的谱线的波长
hc 41 9.7253 108 m E41
从n=5跃迁到n=1放出的能量 1 1 18 E51 hcR( 2 2 ) 2.0930 10 J 1 5 巴耳末系：
Ni e

Ei kT
(1)
k为玻尔兹曼常数，其值为1.38062×10-23焦耳.开-1，T是这群 原子所在处的绝对温度. (1)式表达的是玻尔兹曼分布.如果几 个状态具有相同的能量 (例如不同自旋量子数的状态)，那么 这一能级是简并的. (1)式就应该改写为：
Ni gi e

Ei kT
(2)
h 6.62620 10 焦耳 秒
34
me 9.10956 10 千克
31
e 1.60219 1019 库仑
量子化能量
1 Ze E 4 π 0 2 r
2
2 2 me e 4 Z 2 (4 0 ) 2 n 2 h 2
n 1,2,.....
能量的数值是分立的，能量量子化
-1
例 2 对于氢原子、一次电离的氦离子 He+分别计 算 它 们 的 ( 氢 和 氦 的 里 德 伯 常 数 取 RH=RHe= R∞=1.0973731×107m-1)
(1)第一、第二玻尔轨道半径及电子在这些轨道上 的速度； (2)它们的电离能；
(3)由基态到第一激发态所需的激发能量及由第一 激发态退激到基态所放光子的波长．
hcR E hcT 2 n
例 1 在波长从95nm到125nm的光带范围内， 氢原子光谱中包含哪些谱线? (已知氢的里德 伯常数R=1.09678×107m-1)
例 1 在波长从95nm到125nm的光带范围内， 氢原子光谱中包含哪些谱线? (已知氢的里德 伯常数R=1.09678×107m-1)
当然只能在某一状态. 但进行具体观察时, 对象总是大量的
原子. 观察到的现象是大量原子同时分布在不同状态的情 况的反映. 例如我们同时看见许多光谱线, 这是不同原子从 不同的能级跃迁到另外一些能级的结果. 而光谱线的强弱 反映了参与发射不同谱线的原子的多少.
大量原子会互相碰撞, 彼此交换能量. 有些会被激发到高能 级, 有些在低能级. 在达到平衡时, 在各个状态的原子数Ni 决定于状态的能量Ei和温度T,它们的关系可表达如下:
41 1 v 2 2 RH B 2 n 1
1 1 2 n 3, 4, 5, 2 2 n
RH 1.0967758 107 m1 氢原子的Rydberg常数
巴尔末线系限：
RH v 2 2
H原子光谱的其它线系
（远紫外）赖曼系：
1 1 v RH 2 2 n 2,3, 4 1 n
1 1 v RH 2 2 n m
T:光谱项
RH RH 令： T (m) 2 T ( n) 2 m n 并合原则： v T (m ) T (n )
每一谱线的波数差都可表达为二光谱项之差
电子在原子核的库仑场中的运动 库仑力提供电子绕核运动的向心力：
me v 2 Ze 2 r 4 0 r 2
He+，Li2+，Be3+，B4+，…
对于一次电离的He+, Z=2,二次电离的Li++, Z=3, 三次电离 的Be+++, Z=4, 这三种离子的光谱分别由下列三个式子表 示
4 RHe
1 1 2 n2 2 n1 1
9 RLi 2 n2 2 n1
产生95nm到125nm波长直接的谱线，其上下能 级的跃迁放出的能量在∆E1和∆E2之间。
赖曼系
1 1 v RH 2 2 n 2,3, 4 1 n
从n=2跃迁到n=1放出的能量
1 1 E21 hcR( 2 2 ) 1.6352 1018 J 1 2 从n=2跃迁到n=1的谱线的波长
量子化轨道半径
电子定态轨道角动量满足量子化条件：
圆周运动：
பைடு நூலகம்
nh mrv 2
v2 Ze 2 m r 4π 0 r 2
n 1, 2, ...
4 0 h 2 n2 n2 r a1 2 2 4 me Z Z
轨道量子化 4 π 0 h 2 a1 0.5292 埃 氢原子中电子的最小半径 2 me e
氢原子的能级和光谱 ~ ( E E ) / hc
2 1
2 2 me4 Z 2 E (4 0 )2 n2 h2
对氢原子
2 me 1 1 ~ ( 2 2) 2 3 (4 0 ) h c n1 n2 2 4 2 me 1 1 ~ R( 2 2 ) R 2 3 (4 ) hc n1 n2 0
原子的内部能量由电子的动能和体系的势能构成 (原子核暂 时作为不动的,所以不计算动能).由库仑力可求出，势能为
Ze 2 K4 π 0 r
K是
r 时的势能，它的值可以随意选定.如果把 r 时
的势能定为零，那么势能为 Ze 2 4 π 0 r
2 2 1 Ze 1 Ze 原子体系的能量： E me v 2 2 4π 0 r 4π 0 2r