习题解答)习题9-2常数项级数收敛性的判定
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习题 9-2
1.判断下列级数的敛散性.
（1）1121n n ∞
=-∑； （2）2111n n ∞=+∑； （3）11
ln(1)n n ∞
=+∑；
（4
）1n ∞
=∑ （5）2111n n n ∞
=++∑； （6）11
1n
n p ∞=+∑（0p >）． 解：（1）1
1
21n n ∞
=-∑
； 方法一：（利用正项级数的比较判别法）
因为
111
1111212
222
n n n n =>=--
，而调和级数11n n ∞=∑发散，从而1111122n n n n ∞∞
===∑∑也发散；由正项级数的比较判别法，得级数1
1
21n n ∞
=-∑
发散。 方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）
因为1
121lim lim 1212n n n n n n →∞→∞-==-，而调和级数11n n
∞
=∑发散，
则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数1
1
21n n ∞
=-∑发散。 （2）2
11
1
n n ∞
=+∑
； 方法一：（利用正项级数的比较判别法）
因为22111n n <+，而级数21
1
n n ∞
=∑收敛（p -级数的结论）；
由正项级数的比较判别法，得级数2
1
1
1n n ∞
=+∑
收敛。 方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）
因为22221
1lim lim 111n n n n n n
→∞→∞+==+，而级数21
1n n ∞=∑收敛（p -级数的结论）
，
则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数2
11
1
n n ∞
=+∑收敛。 （3）1
1
ln(1)n n ∞
=+∑
；
方法一：（利用正项级数的比较判别法）
因为11ln(1)n n >+（1n ≥）
，且调和级数11
n n
∞
=∑发散； 则由正项级数的比较判别法，得级数1
1
ln(1)n n ∞
=+∑
发散。
方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）
因为1
ln(1)
lim lim 1
ln(1)n n n n n n
→∞→∞+=+，而
1
lim
lim
lim (1)1
ln(1)1
x x x x
x x x →+∞→+∞→+∞=+=+∞++洛必达法则， 所以lim
ln(1)n n n →∞=+∞+，即1
ln(1)
lim 1n n n
→∞+=+∞，又调和级数11n n
∞
=∑发散， 则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数11
ln(1)
n n ∞
=+∑发散。
（4
）1n ∞
=∑
；
方法一：（利用正项级数的比较判别法）
3
2
1n
<
=，而级数312
1n n
∞
=∑
收敛（p -级数的结论），
由正项级数的比较判别法，得级数1n ∞
=∑
收敛。
方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）
因为
3
2
3
2
1
n n n
n
n
→∞
===，而级数
3
12
1
n n
∞
=
∑收敛（p-级数的结论），
则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数
n
∞
=
（5）
2
1
1
1
n
n
n
∞
=
+
+
∑；
因为2
2
1
(1)
1
lim lim1
11
n n
n
n n
n
n
n
→∞→∞
+
+
+==
+
，而调和级数
1
1
n
n
∞
=
∑发散，
则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数
2
1
1
1
n
n
n
∞
=
+
+
∑发散。
注：本题中，级数的一般项要进行适当的缩小不易，所以采用正项级数的比较判别法做起来相对比较困难一些，而采用正项级数的比较判别法的极限形式相对容易一些。
（6）
1
1
1n
n
p
∞
=
+
∑（0
p>）．
当01
p
<<时，
11
lim10
110
n
n p
→∞
==≠
++
，则由级数收敛的必要条件，得级数1
1
1n
n
p
∞
=
+
∑（01
p
<<）发散；
当1
p=时，
111
lim lim0
1112
n n
n n
p
→∞→∞
==≠
++
，则由级数收敛的必要条件，得级数1
1
1n
n
p
∞
=
+
∑（1
p=）发散；
当1
p>时，
1
1
lim1
1
n
n
n
p
p
→∞
+
=，且级数
1
1
n
n
p
∞
=
∑是公比为1
p
（
1
1
p
<）的等比级数，
是收敛的，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数
1
1
1n
n
p
∞
=
+
∑收敛。