(no.1)2013年高中数学教学论文 思想与方法函数与方程的思想方法 新人教版
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函数与方程的思想方法概述
函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是历年高考的重点。
函数的思想,是用运动和变化的观点、集合与对应的思想,去分析和研究数学问题中的数量关系,建立函数关系或构造函数,再利用函数的图像和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决。函数思想的精髓就是构造函数。
方程的思想,是分析数学问题中变量间的等量关系,从而建立方程或方程组,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决。
方程的思想与函数的思想密切相关,函数与方程的思想方法,几乎渗透到中学数学的各个
领域,在解题中有着广泛的运用。对于函数
)
(x
f
y=,当0
=
y时,就转化为方程0
)
(=
x
f,
也可以把函数式
)
(x
f
y=看做二元方程0
)
(=
-x
f
y,函数与方程这种相互转化的关系十
分重要。
函数与表达式也可以相互转化,对于函数
)
(x
f
y=,当0
>
y时,就转化为不等式
)
(>
x
f,借助与函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式。
数列的通项或前n项和时自变量为自然数的函数,用函数观点去处理数列问题也是十分重要。
函数
)
(
)
(
)
(*
N
n
bx
a
x
f n∈
+
=与二项式定理密切相关,利用这个函数,用赋值法和比
较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题。
解析几何中的许多问题,例如直线与二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才能解决,这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。
立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。建立空间向量后,立体几何与函数的关系就更加密切。
函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关问题,达到化难为易、化繁为简的目的。
高考中的方程和不等式问题包括方程、不等式的求解及方程、不等式观点的应用,可以分成逐渐提高的四个层次。
第一层次:解方程或不等式,主要是指解代数(一次、二次等)方程或不等式,指数、对数方程或不等式,三角方程或不等式,复数方程等;
第二层次:对带参数的方程或不等式的讨论,常涉及二次方程的判别式、韦达定理、区间根、区间上恒成立的不等式等问题;
第三层次:转化为方程的讨论,如曲线的位置关系(包括点与曲线及直线与曲线的位置关系)、函数的性质、集合的关系等;
第四层次:构造方程或不等式求解问题。
其中第三、四层次(特别是第四层次)已经进入到方程、不等式观点应用的境界,即把方程、不等式作为基本数学工具去解决各个学科中的问题。
纵观中学数学,可谓是以函数为中心,以函数为纲,“纲举目张”,抓住了函数这个“纲”
就带动起了中学数学的“目”。即使对函数极限、导数的研究,也完全是以函数为对象、为中心的。熟练掌握基本初等函数的图像和性质,是应用函数与方程思想解题的基础。善于
根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键。
经典例题:
一. 函数思想
所谓函数思想,不仅仅是使用函数的方法来研究和解决函数的问题,它的精髓是运用函数分
析问题、、解决问题的观点、方法,是通过构造函数关系,使用函数方法来解决问题的思想。
1. 构造函数,运用函数的性质
例1.(1)已知关于x 的方程0cos 222=+-a x x 有唯一解,求a 的值;
(2)解不等式0)2)1(1)(1()21(22>+++++++x x x x 。
分析:(1)构造函数22cos 2)(a x x x f +-=,则问题转化为求)(x f 的零点唯一时的a 。
(2)由观察可构造函数)21()(2++=x x x f 再利用函数的性质,解决问题。
解析:(1)令22cos 2)(a x x x f +-=,R x ∈是偶函数。)(),()(x f x f x f ∴=-
)(x f ∴的图像关于y 轴对称,而题设方程0)(=x f 由唯一解,从而此解必为0=x (否则
必有另一解),2,020)0(2±==+-=∴a a f 解得。
(2)设R x x x x f ∈++=),21()(2,易证)(x f 在区间[)+∞,0内为增函数。
)上为增函数,,在区间(是奇函数,从而∞+∞-∴-=++-=-)()().()21()(2x f x f x f x x x f 21,1),()()1(,0)1()(f -
>∴->+-=->+>++∴x x x x f x f x f x f x 即即原不等式可化为点评:有关不等式、方程及最值之类的问题,通过构造函数关系式,借助函数的图像与性质,
常可使问题简单得解。
2.选定主元,揭示函数关系
例2.对于]1,1[-∈a 的一切值,使不等式a x ax x +++<21)3
2()32
(2恒成立的x 的取值范围是 分析:从一个含有多变元的数学问题里,选定合适的主变元,从而揭示其中主要的函数关系。
解析; a x ax x +++<21)32()32
(2且13
20<<,a x ax x +>++∴212,即0)1()1(2>-+-x x a 。①
当1=x 时,不定式①不成立。
当1≠x 时,设=)(a f 2)1()1(-+-x x a 。
当0)1(0)(]1,1[)(1
>->->f a f a f x 恒成立,则只需上的增函数,欲使时时,,