从一道高考题谈函数的处理方法

从一道高考题谈函数的教学

广东省陆丰市启恩中学（516500）林敏燕

在高考复习第一轮复习二次函数时，我把今年广东省高考（理）第20题：已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 的取值范围．写在黑板上，直接跟学生说明这就是广东省今年的高考题，让学生来自已来处理这类问题。

经过15分钟后，我发现能正确解出的学生很少，大部分学生的错误表现在：1、思维混乱，不知道从何处入手；2、讨论不周全，总在讨论对称轴的大小；3、函数和方程的概念混乱。要从哪里教会学生入手呢？我尝试着用波利亚的数学思想来引导学生，起到了良好的效果，实录如下：

师：你做过这道题吗？

生：没有。

师：你做过这种类似的题吗？最近有吗？

经过一段时间后，有一学生站起来：前天上课有讲过一道这种这种类似的题：若关于x 的方程|1||1|25450x x m -+-+--= 有实根，求m 的取值范围。

师：相似的地方在哪里？

生：换元后也是一个关于二次函数的零点问题，即方程根的问题。

师：还记得当时的处理方法吗？能把这种方法应用到这道高考题上吗？

生：有二种方法，一是利用二次函数的图像，得出不等式组；二是把参数和变量分离，把问题转化为二次函数的值域问题。

师（提示）：大家不妨用这二种方法都试一试，看看能不能解出这道高考题？

同学们大部分都在思考，埋头做起来了。经过几分钟后，有学生站起来：老师，用二次函数的图像来做情况好复杂，应该如何分类才好？

师：这位同学问题提得好，在区间[-1，1]上有解的情况是比较复杂，首先二次函数有可能开口向上，有可能开口向下；有可能在区间[-1，1]有一个根，有可能在区间[-1，1]有两个根，也有可能二次函数与x 轴相切，且切点在区间[-1，1]上。分类如果处理不好，计算量会增大，而且结果也不容易得出。有哪位同学能使分类最简便，更容易计算？

生：利用根的个数来分，分为在区间[-1，1]上有一个根和二个根，重根也记为二个根。这样计算很方便。这是我的解法：

解：函数()y f x =在区间[-1，1]上有零点，即方程2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解，

a=0时，不符合题意，所以a ≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解有两种情况：

（1） 方程f(x)=0在[-1，1]上只有一解<=>(1)(1)0f f -⋅≤15a ⇔≤≤

（2） 方程f(x)=0在[-1，1]上有二解<=>(1)(1)048(3)01[ 1.1]f f a a a

⎧⎪-≥⎪∆=++≥⎨⎪⎪-∈-⎩

⇔a 或5a ≥ 综上，所以实数a

的取值范围是a ≤或a ≥1.

师（赞许）：做得好。这样分类把计算量减少到了最低，又不会漏解。如果利用变量与参数分离，又会如何呢？

生：老师，这道高考题比上次讲的哪个更复杂，参数与变量分离后，变量表示的函数比较复杂，难度较大。我只化简到这里：

解：a=0时，不符合题意，所以a ≠0,又∴2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解，2(21)32x a x ⇔-=-在[-1，1]上有解23221

x a x -⇔=-（[1,1]x ∈-） 师：好，这是一个分式函数，上面是一次函数，下面是二次函数，这种函数的值域我们以前学过吗？

生：学过。

师：能不能用差别式法来求解？

生：不能，因为变量有范围，要用换元法。

师：对，下面大家按这种思想解下去。

生：因为用换元法要分子分母同时除以一个式子，所以我把函数倒过来求值域。请看： 解：a=0时，不符合题意，所以a ≠0,又∴2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解，

2

(21)32x a x ⇔-=-在[-1，1]上有解212132x a x -⇔=-在[-1，1]上有解，问题转化为求函数22132x y x

-=-[-1，1]上的值域；设t=3-2x ，x ∈[-1，1]，则23x t =-，t ∈

[1,5],21(3)217(6)22t y t t t --=⋅=+-，设2277().'()t g t t g t t t

-=+=，t ∈时，'()0g t <，此

函数g(t)单调递减，t ∈时，'()g t >0,此函数g(t)单调递增，∴y 的取值范围是3,1]，

∴2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解 1a ∈3,1]1a ⇔≥或a ≤ 师：这位同学做得好。一是把参数和变量分离成功了，二是没有直接求参数a,而是求它的倒数，这是用换元法的解题过程中的需要；三是利用导数来判断单调性，没有利用基本不等式，因为利用基本不等式只能求出它的最小值，而无法求出最大值。

小结：当出现二次函数的参数问题或可化为二次函数的参数问题的试题时，解法方向有二个，一是讨论二次函数的图像，结合函数来解之；二是变量与参数分离，把参数表示为变量的函数，求出这个函数的值域就可以得到参数的取值范围。

随后，我又布置了一道类似的题：设2()22f x x ax =-+，当[1,)x ∈-+∞时，()f x a

≥恒成立，求实数a 的取值范围。大部分同学都能完成，其中很大一部分同学对利用参数和变量分离的方法来求解。由于他们以前没有用过这种方法，所以当用这种方法解出来时，特别有成就感。有兴题的读者不妨一试。

从这堂课我常常体会到，函数的教学是一个循序渐进的过程，要慢慢的引导学生思考问题，从简单的、熟悉的、做过的题目来联想陌生的、较难的新题，联想解题过程，联想解题方法，联想解题思路，找出简单的、熟悉的题目和陌生的、较难的新题之间的联系，从而找到解题的突破口。