某市全体7岁男童体重平均数为21.61千克,标准差为2.21千

例1． 某市全体7岁男童体重平均数为21.61千克，标准差为2.21千

克，某小学70个7岁男童体重的平均数为22.9千克，问在0.05的显著性水平下，该校7岁男童体重与该市是否一致？ 本题要求的是检验该校7岁男童体重与该市是否一样，故采用双侧检验，0.025|| 4.88 1.96U μ=>=，从而计算值落入拒绝域，所以在0.05的显著性水平下拒绝原假设0:21.65H μ=，而接受备择假设1:21.65H μ≠，所以，在0.05的置信水平下，认为该校7岁男童体重与该市有显著的差异。

例2 设某校高一年级参加全市学年数学物理统考，从中抽取10 名学生，其数学、物理成绩如下：

学生标号：1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 数学成绩：60，30，50，30，80，20，40，90，40，50， 物理成绩：70，30，30，40，80，30，20，90，50，40， 以知全市数学统考成绩服从正态分布N （50，210），物理成绩服从正态分布N （60，210），试参照全市两科统考平均水平，该校学生两科水平是否有显著差异（a=0.05）?

解： （1）先把两样本分数各自标准化为标准分数如下： 学生标号：1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 数学成绩x ：1， -2， 0， -2， 3，-3， -1，4， -1， 0， 物理成绩y ：1， -3， -3，-2， 2， -3，-4，3， -1，-2，

( 2 ) 由于这两样本成绩通常由i d 一定相关。 看作相关样本，又n=10, 故按相关小样本均值差异显著性检验法，求其 1210,,,d d d 如下：

i d ： 1d ，2d ，, 10d x-y: 0, 1,

, 2

由此求得 1.1d =， 1.197d S =。 （3）关于小样本的t 值可写为

d

t =

=2.91 （4）由a=0.05，f=n-1=10-1=9, 查t 分布双侧分位数表的临界值

0.05 2.262t =。

（5）推断：因为 0.052.91 2.262t t =>=，故推断参照全市统考的数学平均水平与物理平均水平，该校学生数学水平与物理水平有显著差异，又由于0.1,x =- 1.2y =-，x y >， 知数学水平显著高于物理水平。

总体均值μ的区间估计。一般是构造一个含μ的统计量，确定其概率分布，给定置信水平α，解不等式，求μ的1—α的置信区间，分为2σ为已知和未知两种情况。

例3从某区高中入学考试学生中抽取150份语文试卷，算得平均成绩X =81.2分，方差2S =16.0分，试对全区高中入学考生的平均语文成绩μ进行区间估计（α=0.01）。

(主要考查估计中重要的区间估计，需要掌握求置信区间的方法，参看参数假设检验)

解：总体分布未知，但n=150属大样本，由α=0.01，查附表3得到

2/αU =2.58。由于

Ρ(81.2-2.58×4/150≤μ<81.2+2.58×4/150)=0.99，于是μ的99%的置信区间为（80.4，82）

例4设在总体()2,N σμ中抽取一容量为16的样本，这里2,σμ均为未知，

(1).求⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧≤041.2S P 22σ 其中2S 为样本方差，(2).求()

2S D 。

解 (1).⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤041.2S P 22σ=()()⎭

⎬⎫⎩⎨⎧≤1-n 041.2S 1-n P 2

2σ= ()()99.01-16041.2S 1-n P 2

2≈⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧⨯≤σ (2).

()()1n ~S 1n 2

2

2--χσ，()()1n 2S 1n D 2

2

-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-σ 故 ()2

S D =

()()1

n 21n 1n 24

2

4

-=

--σσ 例5 设n 21x x x ，，， 是一样本值，令o X =0，k X =∑=k

1

i i X k 1，证明递推

公式k X =()

n ,,2,1k ,X X k

1

X 1k k 1-k =-+

- 证明 ：,x k 1x k

1i i k ∑==()1k 1

k 1

i i k k 1i i x 1k x ,x k x --==-==∑∑，

故 ()k 1k k x x 1k x k +-=-，两边分别除以k 得 ()1k k 1k k 1k k x x k

1

x k x x k 1k x ----+=+-=

例 6 设总体X~(),4,a N n 21X ,,X ,X 是来自总体的一个样本，X 为样本均值，试问样本大小应取多大，才能使以下各式成立：

(1).1.0a X E 2

≤⎪

⎭

⎫ ⎝⎛- (2). ()

1.0a X E ≤-

(3). ()95.01a X P ≥≤-

解 (1). ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a X E =()

X D ，401

.04n 1.0n 4=≥

⇒≤ (2). X~(),4,a N ~X ,

n 4,a N ⎪⎭

⎫

⎝

⎛()1,0N ~n

2a

X - 设,2n

2a

X y -= ===--∞

+∞

-⎰

dy e

y 21y E 2n

2a

X E

2

y 2π

πππ

2

e 22dy e y 22

2

y

2

y 0

2

2

=⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎣

⎡-=∞

--∞

⎰ 故 6.2541.022,1.022,2

n 2

a X E =≥

≤=-π

π

π

n n 若

取n=255

(3). ()

95.02n n 2a X P 1a X P ≥⎪⎪

⎭

⎪

⎪⎬⎫

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=≤- ，查标准正态表0.95对应1.96，

n 37.15≥，取n=16

例7 在总体()4,12N 随机抽一容量为5的样本521X ,,X ,X ，(1).求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。(2).求概率

(){}15x ,x ,x ,x ,x max P 54321> (3). 求概率(){}10x ,x ,x ,x ,x min P 54321<

解 (1).X~N （12，4），⎪⎭

⎫

⎝

⎛n 4,12N ~X